人教版高三数学教案
人教版高三数学教案篇一：高中数学人教版必修5全套教案
课题: 1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课
[探索研究](图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的A
则定
义
，
有
a
?sinAc
?
，
b
?sinBc
，又sCi??n
c
c
,1
a
sinA
?
b
sinB
c
sinC
?c?
从而在直角三角形ABC中，
a
sinA
b
sinB
?
c
sinC
CaB
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB?bsinA,则同理可得从而
a
sinA
?
b
sinB
，c
sinC?
?
b
sinB?
，a
sinA
b
sinB
c
sinC
Ac B
(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
??????
（证法二）：过点A作j?AC， C
???????由向量的加法可得 AB?AC?CB
??????????????
则j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB j ??????????0
jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?
∴csinA?asinC，即
???
ac
?
?????bc
同理，过点C作j?BC，可得 ?
从而
sinAsinBsinC
类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
?
b
?
c
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC； （2）
a
sinAsinBsinC
从而知正弦定理的基本作用为：
?
b
?
c
等价于
a
sinA
?
b
sinB
，
c
sinC
?
b
sinB
，
a
sinA
?
c
sinC
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?
bsinA
； sinB
ab
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]
例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，
C?1800?(A?B)
?1800?(32.00?81.80)
?66.20； 根据正弦定理，
asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；
sin32.00
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.20c???74.1(cm). 0
sin32.0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
bsinA28sin400
sinB???0.8999.
因为00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160. ⑴ 当B?640时，
C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，
asinC20sin760c???30(cm).
sin400
⑵ 当B?1160时，
C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，
asinC20sin240c???13(cm).
sin400
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c （答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：
a
sinAsinBsinC
或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0) （2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。 ●板书设计 ●授后记
?
b
?
c
?
a?b?c
?k?k?0?；
sinA?sinB?sinC
课题: 1.1.2
余弦定理
授课类型：新授课
●教学目标 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和?C，求边
Ac B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课 [探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A
?????????????????
如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 bc
???????c?c?a?ba?b
??????
?ab?b??2a??b C a??2a??2
?a??2a?b
?2
????
从而 c2?a2?b2?2abcosC (图1．1-5)
同理可证 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b2?c2?a2
cosA?
a2?c2?b2
cosB?
b2?a2?c2
cosC?
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析]
例1．在?ABC
中，已知a
?，c，B?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB
=2?2?2?cos450
=12?2?1) =8
∴b?
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2?c2?a21
, ⑵解法一：∵
cosA?
∴A?60.
a解法二：∵
sinA?sinBsin450,
2.4?1.4?
3.8,
2?1.8?3.6,
∴a＜c，即00＜A＜900,
∴A?60.
人教版高三数学教案篇二：新课标人教版高中数学必修1优秀教案全套
备课资料
［备选例题］
【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:
(1)被3除余1的自然数组成的集合;
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;
(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;
(4)设a、b是非零实数,求y=abab的所有值组成的集合. ??|a||b||ab|
思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
解：(1)被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1(n∈N).用描述法表示为{x|x=3n+1,n∈N}.
(2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有7个,用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.
(3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对(x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}.
(4)当ab<0时,y=abab=-1;当ab>0时,则a>0,b>0或a<0,b<0. ??|a||b||ab|
abababab=3;若a<0,b<0,则有y==-1. ????|a||b||ab||a||b||ab|若a>0,b>0,则有y=
∴y=abab的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列举法表示为{-1,3}. ??|a||b||ab|
【例2】定义A-B={x|x∈A,x?B},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},试用列举法表示集合N-M. 分析:应用集合A-B={x|x∈A,x?B}与集合A、B的关系来解决.依据定义知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集合.观察集合M、N,它们的公共元素是2,3.集合N中除去元素2,3还剩下元素6,则N-M={6}.
答案：{6}.
(设计者：张新军)
设计方案（二）
教学过程
导入新课
思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出
课题.
思路2.开场白:集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式x-3>5的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离等
于定长的点的集合.接着点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么?
(1)1~20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.
活动：教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.
引导过程:
①一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
②集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…表示.
③集合的表示法:a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.
④集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的. ⑤集合相等:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
⑥元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“∈”和“?”表示.
元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合A,要么a∈A,要么a?A.
⑦在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法: 自然数集(包含零):N,正整数集:N*(N+),整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.
因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.
提出问题
(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.
(2)你能写出不等式2-x>3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？
活动：学生回答后,教师指出:
①在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A={0,1,2,3,4}.
②描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.其中x为元素的一般特征,p(x)为x满足的条件.如数集常用{x|p(x)}表示,点集常用{(x,y)|p(x,y)}表示. 应用示例
思路1
1.课本第3页例1.
思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内.
点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.
变式训练
请试一试用列举法表示下列集合:
(1)A={x∈N|且9∈N}; 9?x
(2)B={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};
(3)C={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.
分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.
(1)集合A中元素x满足9均为自然数; 9?x
(2)集合B中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;
(3)集合C中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.
答案：(1)A={0,6,8};
(2)B={2,5,6};
(3)C={(0,6),(1,5),(2,2)}.
2.课本第4页例2.
思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内.
点评：本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素,(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式;描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.
变式训练
课本P5练习2.
思路2
1.下列所给对象不能构成集合的是( )
A.一个平面内的所有点
B.所有大于零的正数
C.某校高一(4)班的高个子学生
D.某一天到商场买过货物的顾客
思路分析：本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在B中由于大于零的正数很明确,因此B也能组成一个集合;C中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合.
答案：C
变式训练
下列各组对象中不能构成集合的是( )
A.高一(1)班全体女生
B.高一(1)班全体学生家长
C.高一(1)班开设的所有课程
D.高一(1)班身高较高的男同学
分析:判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确
定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”,则能构成集合.
答案：D
2.用另一种形式表示下列集合:
(1){绝对值不大于3的整数};
(2){所有被3整除的数};
(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};
(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z};
(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}.
思路分析：用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
答案：(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(2){x|x=3n,n∈Z}.
(3)∵x=|x|,∴x≥0.
又∵x∈Z且x<5,
∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.
(4){-2}.
(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
变式训练
用适当的形式表示下列集合:
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;
(2)所有被3整除的数组成的集合;
(3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0实数解组成的集合;
(4)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.
分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法. 答案：(1){x||x|≤3,x∈Z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};
(2){x|x=3n,n∈Z}; (3){5,-2}; 3
(4){(x,y)|y=x+6}.
3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
思路分析：对于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论.
解：当a=0时,原方程为-3x+2=0?x=2,符合题意; 3
?a?0,9解得a≠0且a≤. 8?9?8a?0.当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则?
综上所得a的取值范围是{a|a≤
4.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组?9}. 8?2x-3y?14,的解集;
?3x?2y?8
(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;
(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;
(4)所有正方形;
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.
分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方
?2x-3y?14,程组?的解为x=4,y=-2.故(1)宜用列举法;(2)中尽管是有限集,但由于它的元素个3x?2y?8?
数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)则宜用列举法为好.
解：(1){(4,-2)};
(2){x|x=3k+2,k∈N且x<1000};
(3){(x,y)|x<0且y>0};
(4){正方形};
(5){(x,y)|x<-1或x>１}.
知能训练
课本P5练习1、2.
拓展提升
1.已知A={x∈R|x=|a||b||c||ab||ac||bc||abc|,abc≠0},用列举法表示集??????abcabacbcabc
合A.
分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.
解：题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况讨论:
(1)a、b、c全为正时,x=7;
(2)a、b、c两正一负时,x=-1;
(3)a、b、c一正两负时,x=-1;
(4)a、b、c全为负时,x=-1.
∴A={7,-1}.
注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况),解题时应考虑全面.
2.已知集合C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}.
(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C中所有元素之和S;
(2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C中所有元素之和S;
(3)联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出(2)中的S.
思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.
答案：(1)列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.
(2)列举法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014.
(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050.
本题(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.
课堂小结
在师生互动中,让学生了解或体会下列问题:
(1)本节课我们学习过哪些知识内容?
(2)你认为学习集合有什么意义？
(3)选择集合的表示法时应注意些什么?
人教版高三数学教案篇三：人教版高中数学必修3全套教案
高中数学教案（人教A版必修全套）
【必修3教案｜全套】
目 录
第一章 算法初步 ................................................................................................................................................... 1
1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 .............
2.1 随机抽样 ................................................................................................................................................ 76 2.1.1 简单随机抽样 ..................................................................................................................................... 76 2.1.2 系统抽样 ............................................................................................................................................. 81 2.1.3 分层抽样 ............................................................................................................................................. 85 2.2 用样本估计总体 .................................................................................................................................... 89 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 ..................................................................................................... 89 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征.......................................................................................... 97 2.3 变量间的相关关系 .............................................................................................................................. 107 2.3.1 变量之间的相关关系 ....................................................................................................................... 107 2.3.2 两个变量的线性相关 ....................................................................................................................... 107 第三章 概率 ........................................................................................................................................................115
3.1 随机事件的概率 ...................................................................................................................................115 3.1.1 随机事件的概率 ................................................................................................................................115 3.1.2 概率的意义 ........................................................................................................................................118 3.1.3 概率的基本性质 ............................................................................................................................... 121 3.2.1 古典概型 ........................................................................................................................................... 124 3.2.2 （整数值）随机数（random numbers）的产生 ............................................................................. 128 3.3.1 几何概型 ........................................................................................................................................... 132 3.3.2 均匀随机数的产生 ........................................................................................................................... 136
第一章 算法初步
本章教材分析
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助. 本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.
在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.
本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章： （1）知识间的联系； （2）数学思想方法； （3）认知规律.
1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念
整体设计
教学分析
算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固. 三维目标
1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.
2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣. 重点难点
教学重点：算法的含义及应用.
教学难点：写出解决一类问题的算法. 课时安排 1课时
教学过程
导入新课
思路1（情境导入）
一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，
如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路2（情境导入）
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？ 答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念. 思路3（直接导入）
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究 提出问题
（1）解二元一次方程组有几种方法？
?x?2y??1,(1)
（2）结合教材实例?总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
2x?y?1,(2)?
（3）结合教材实例?
?x?2y??1,(1)
总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
?2x?y?1,(2)
（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤. （5）根据上述实例谈谈你对算法的理解. （6）请同学们总结算法的特征. （7）请思考我们学习算法的意义. 讨论结果：
（1）代入消元法和加减消元法. （2）回顾二元一次方程组
?x?2y??1,(1)
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： ?
2x?y?1,(2)?
第一步，①+②×2，得5x=1.③ 第二步，解③，得x=
1
. 53. 5
第三步，②-①×2，得5y=3.④ 第四步，解④，得y=
1?
x?,??5
第五步，得到方程组的解为?
?y?3.?5?
(3)用代入消元法解二元一次方程组
?x?2y??1,(1)
我们可以归纳出以下步骤： ?
?2x?y?1,(2)
第一步，由①得x=2y－1.③
第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④ 第三步，解④得y=
3.⑤ 5
35
1. 5
第四步，把⑤代入③，得－1=
1?x?,??5
第五步，得到方程组的解为?
3?y?.?5?
(4)对于一般的二元一次方程组?
?a1x?b1y?c1,(1)
ax?by?c,(2)22?2
其中a1b2－a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：
第一步，①×b2-②×b1，得 （a1b2－a2b1）x=b2c1－b1c2.③ 第二步，解③，得x=
b2c1?b1c2
.
a1b2?a2b1
第三步，②×a1-①×a2，得（a1b2－a2b1）y=a1c2－a2c1.④ 第四步，解④，得y=
a1c2?a2c1
.
a1b2?a2b1
b2c1?b1c2?x?,?a1b2?a2b1?
第五步，得到方程组的解为?
?y?a1c2?a2c1.?a1b2?a2b1?
(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作
洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例
思路1
例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数. （2）设计一个算法，判断35是否为质数. 算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.
算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7. 第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7. 第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7. 第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.
（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35. 第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.
点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1997是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤. 变式训练
请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.
分析：对于任意的整数n(n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作.
这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止. 算法如下：第一步，给定大于2的整数n. 第二步，令i=2.
第三步，用i除n,得到余数r.
第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示. 第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步. 例2 写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.
分析：令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点. “二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b］(满足f(a)·f(b)<0）“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］.根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足够小”，则［a,b］内的数可以作为方程的近似解. 解：第一步，令f(x)=x2-2,给定精确度d. 第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0. 第三步，取区间中点m=
a?b
. 2
第四步，若f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.
第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.