数学北师大版九年级上册

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数学北师大版九年级上册篇一：北师大版初三上册数学课后习题答案

北师大版九年级上册数学

第4页练习答案

解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°.

在Rt△ABO中，OB=√(AB^2-AO^2 )=√(5^2-4^2 )=3（cm）.

因为在菱形ABCD中，对角线AC

，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm.

1.11.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，

∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.

2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4，DO= 1/2 BD= 1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO2+DO2)=√(42+32)=5.∴菱形ABCD的周长为4AD=4×5=20.

3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.

同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.

4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.

第7页练习答案

解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm.

1.21.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.

∵EF是

AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF,

∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD的中点，

∴OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,∴OE=OG,OF=OH,

∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

3.解：四边形CDC′E是菱形.

证明如下：由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^' D=CD,CE=C^' E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）.

第9页练习答案

1.解：（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.

∵对角线AC=10cm，∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°.

∵AD//BC,∴∠BAD+∠B=180°，∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，∴∠BCD=∠BAD=120°，∠D=∠B=60°.

（2）如图1-1-34所示，连接BD，交AC于点O，∴AO=1/2 AC= 1/2×10=5（cm）.

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理，得BO=√(AB^2-AO^2 )=√(〖10〗^2-5^2 )=5√3 （cm）， ∴BD=2BO=2×5√3=10√3 （cm），∴这个菱形另一条对角线的长为10√3 cm.

2.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，

∴∠B=90°-∠BAC=90°-60°=30°.

∵FD是BC的垂直平分线，∴EB=EC,∴∠ECB=∠B=30°（等边对等角）.

∴∠ECA=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°.

在△AEC中，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-60°-60°=60°. ∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE.在Rt△BDE中，∠BDE=90°，

∴∠BED=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠AEF=∠BED=60°（对顶角相等）.

∵AE=CF,AF=CE,∴AF=AE,

∴△AEF是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.

∴AF=EF，∴AF=EF=CE=AC,∴四边形ACEF是菱形（四边相等的四边形是菱形）.

1.31.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.

∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.

在△ADE和CDF中，.

（2）∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）.

2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.

求证：S菱形ABCD=1/2 AC?BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2 AO.BO.

∴S菱形ABCD=4×1/2 AO?BO= 1/2×2AO?2BO=1/2 AC?BD.

3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO= 1/2 AC= 1/2×16=8，BO= 1/2 BD= 1/2×12=6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO^2+BO^2 )=√(8^2+6^2 )=10.

∵S菱形ABCD=1/2 AC?BD= 1/2×16×12=96，

又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB?DH,

∴96=AB?DH,即96=10DH,DH=9.6.

∴菱形ABCD的高DH为9.6.

4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2 AD,EH//AD,EH=1/2AD,

∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2 BC.

又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

5.略

第13页练习答案

解：在矩形ABCD中，AO=4，BD=AC=2AO=8.因为∠BA=90°，所以在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD=√(BD^2-AB^2 )=√(8^2-6^2 )=2√7.

所以BD与AD的长分别为8与2√7.

1.41.解：如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD，两条对角线相交于点O，OA=OB=3.在△AOB中， ∠OAB=∠OBA=45°，于是∠AOB=90°，AB=√(OB^2+OA^2 )=3√2,同理AD=3√2,所以 BC=AD=3√2 AB=DC=3√2

所以这个矩形的各边长都是3√2.

2.解：如图1-2-34所示，

设这个矩形AB-CD两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AC=BD=15，∴AO=1/2AC=7.5，BO=1/2 BD=7.5，∴OA=OB,

∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5.

3.解：四边形ADCE是菱形.

证明如下：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB,

∴AD=CD.∵AE//CD,CE//AD,∴四边形ADCE是平行四边形.

又∵AD=CD,∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

4.已知：如图1-2-35所示，

在△ABC中，BO为AC边上的中线，BO=1/2 AC.

求证：△ABC是直角三角形.

证明：如图1-2-35所示，延长BO到D，使BO=DO,连接AD,CD.

∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°.

∴△ABC是直角三角形.

第16页练习答案

证明：∵四边形ABCDS是平行四边形，∴AB=DC.

∵M是AD的中点，∴AM=DM.又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）,

∴∠A=∠D.又∵AB//DC,∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.

∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.

数学北师大版九年级上册篇二：北师版最新版数学九年级上册目录

北师版最新版数学九年级上册目录

数学北师大版九年级上册篇三：2015年(新版)九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

2015年（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 第二章 一元二次方程 第三章 概率的进一步认识 第四章 图形的相似 第五章 投影与视

图 第六章 反比例函数

（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的．．．．．

两顶点连成的线段叫做它的对角线。 ．．．

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个

距离称为平行线之间的距离。

第一章 特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一

组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ．．

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条

对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

- 1 -

对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

鹏翔教图3

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

第二章 一元二次方程

1认识一元二次方程

※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax?bx?c?0（a、b、c为 常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 ．．．．．．

※把ax?bx?c?0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

- 2 -

2

2

2用配方法求解一元二次方程

①配方法 <即将其变为(x?m)2?0的形式>

※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成(x?m)2?0的形式； ⑥两边开方求其根。

3用公式法求解一元二次方程

?b?b2?4ac

②公式法 x? （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）

2a

4用因式分解法求解一元二次方程

③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

5一元二次方程的根与系数的关系

※根与系数的关系：当b-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

当b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b-4ac<0时，方程无实数根。

2

※如果一元二次方程ax?bx?c?0的两根分别为x1、x2，则有：x1?x2??

222

ba

x1?x2?

c。 a

※一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：

22①x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2 ②

11x1?x2

③(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ??

x1x2x1x2

④|x1?x2|?

(x1?x2)2?4x1x2 ⑤(|x1|?|x2|)2?(x1?x2)2?2x1x2?2|x1x2|

33

⑥x1?x2?(x1?x2)3?3x1x2(x1?x2)⑦其他能用x1?x2或x1x2表达的代数式。

（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：x?(x1?x2)x?x1x2?0

（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程x?(x1?x2)x?x1x2?0

的根

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2

2

6应用一元二次方程

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。 ※处理问题的过程可以进一步概括为： 问题

分析求解

?方程?解答 抽象检验

第三章 概率的进一步认识

用树状图或表格求概率

相关知识点链接： 频数与频率

频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。 【知识点1】频率与概率的含义

在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率?

频数

总次数

把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。 【知识点2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率

在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。 我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。 【只是点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）

第四章 图形的相似

1成比例线段 一. 线段的比

※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比

AB:CD=m:n ,或写成

Am?. Bn

ac

?,那么这四条线段a、b、c、d叫bd

※2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即做成比例线段,简称比例线段.

- 4 -

※3. 注意点:

①a:b=k,说明a是b的k倍;

②由于线段 a、b的长度都是正数,所以k是正数;

③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b之外,a:b≠b:a,

ab

与互为倒数; ba

acac

⑤比例的基本性质:若?, 则ad=bc; 若ad=bc, 则?

bdbd

2平行线分线段成比例

_ A

_ 图1

_ C

_ B

※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

.如图2, l1 // l2 // l3,则

二. 黄金分割

※1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果

ABBC

?. DEEF

_l 1_ _l 2_ _l 3_

ACBC

,那么称线段AB被点C黄金分割,点C?

ABAC

_ 图2

叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. AC:AB?※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 3相似多边形

¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.

?1

?0.618:1 2

※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※1. 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.

※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. ※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一

样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ※5. 相似三角形周长的比等于相似比. ※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.

※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方. 4探索三角形相似的条件 ※1. 相似三角形的判定方法:

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