高中数学评职称论文
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高中数学评职称论文篇一:高中数学职称论文中学数学职称论文:从一道职考题看高中数学教师学与教的缺憾
高中数学职称论文中学数学职称论文:
从一道职考题看高中数学教师学与教的缺憾
上海市2008年高中数学教师晋升高级职称考试试题中有这样一道题:
已知α,β为锐角.
(1)求证:sinα+sinβ≠sin(α+β);
(2)若sin2α+sin2β=sin(α+β),求证:α+β=π2.
参加考试的都是从教十年以上的数学教师,许多还是各校、区的中青年骨干,但对这道题的解答却不容乐观.许多教师能较好地解答第
(1)问,不能完整地解答第(2)问.这里我们从大部分教师的解题失败出发,找出失败的原因,逐步分析出正确的解法,与大家共同经历一个思维的过程,并以小见大地分析教师在解题学习与教学中的缺憾.
一、教师学的缺失
首先,大部分教师能用反证法,结合和差化积知识证明第(1)问:
(1)反设:sinα+sinβ=sin(α+β),则2sinα+β2cosα-β2=2sinα+β2cosα+β2.又α,β∈(0,π2),
∴α+β2∈(0,π2),α-β2∈(-π4,π4),
∴α+β2=-α-β2,或α+β2=α-β2,
∴α=0或β=0与α,β∈(0,π2)矛盾.
∴sinα+sinβ≠sin(α+β).
对第(2)问也延续第(1)问的方法,处理成:
1-cos2α2+1-cos2β2=sin(α+β),
即1-cos(α+β)cos(α-β) =sin(α+β).
发现不能消去α-β和1,无法求得α+β的三角函数值,或使式子变得单纯,证明陷入困境.很多人无法调整,又不能回头追寻新的方法,结果无功而返.
1. 缺乏解题分析的自觉性
上述过程中,问题(2)没有解决,也很少有教师能自觉地分析自身解题的成败得失,吸取教训,挖掘有利因素,逐步向目标靠拢.事实上,事物往往具有两面性,我们不能消去α-β,就应当进一步注意结论中的“1”,联想sin(α+β)的有界性,向目标靠近一大步.
思路1 由sin(α+β)≤1,得cos(α+β)cos(α-β)≥0,又α+β∈(0,π),α-β∈(-π2,π2),
∴cos(α+β)≥0,故0<α+β≤π2.
这样,α+β的范围变小了,由π2联想把正、余弦互换,进一步控制范围,使问题得证:由0<α≤π2-β<π2,得0<sinα≤cosβ;同理,0<sinβ≤cosα.
∴sin2α+sin2β≤sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β),
当且仅当sinα=cosβ,sinβ=cosα时,等号成立.
∴α+β=π2.
这个方法虽千回百转,但抓住失败的原因,突出其他有利因素,成功地完成了证明.
从教师的解题失败中,我们明显地感觉到,这些教师很大程度上仍
停留在对题型的简单记忆和方法模仿上,思维的惯性太大,缺乏对解题过程的自觉评估、有意监控,尤其是对不利、有利因素的全面分析,解题仅是一个“记流水账”的过程.
上述方法最关键的是,将范围缩小到0<α+β≤π2,然后正、余弦互换,成功地完成了不等式放缩.抓住了这个关键,我们可以省去前面的解题回路,得到更为简洁的方法.请看:
思路2 反设0<α+β<π2,或α+β>π2,与思路1后面一样分别可得:
sin2α+sin2β<sin(α+β),sin2α+sin2β>sin(α+β)与题设矛盾.
∴α+β=π2.
2. 缺乏对反证法的全面认识
第(1)问的结论以否定形式出现,教师都想到了反证法,证明奏效了.第(2)问以肯定的形式出现,反证法意识明显弱化.反证法往往是正面证明有困难时更需要想到的,我们常谓“正难则反”就是这个道理.现在(2)的正面突破有困难,你为什么不“反”呢?一反就很容易形成上面的思路2了.
其实,结论中也有解题信息.对于(1)我们也不要因为否定形式就一定用反证法,从正面思考,自然会问:不等!那是“恒大于?”“恒小于?”抑或“时大时小?”.如果是“恒大于”或“恒小于”直接证明也许更简单.于是产生:
思路3 (1)∵α,β∈(0,π2),
∴0<cosα,cosβ<1,
∴sinα+sinβ>sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β),显然sinα+sinβ≠sin(α+β).
这个过程对问题(2)的方法暗示程度更高,更有借鉴的价值!可见,大部分教师对反证法的理解也只停留在语言形式的表象上,没有从结论的本质上去认识反证法.
3.缺乏对数学对象的辩证思考
数学对象的深刻认识,就建立在对其多角度的观察上,是辩证思考的结果.证明的开始,大家就陷入了习惯思维的窠臼,都只想从繁到简,从左到右,一个劲地埋头向右,连抬头看左的时间都没有.其实,谁都明白对一个公式(比较重要的等式)就有正用、逆用,证明也常从左到右、从右到左或左右开弓.对这个问题,如果我们辩证地处理,从右向左,很容易想到解题目标和放缩法,方法显得更加统一、自然.
思路4 (1)将思路3倒过来书写即可.(2)sin(α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ,要等于sin2α+sin2β,显然要比较sinα与cosβ,sinβ与cosα的大小.化同名后,就发现要比较α与π2-β的大小,这样就很自然地形成了反证法思路2或与之相仿的正面讨论.
4.缺乏数形沟通的能力
许多教师也试图从几何图形上给出(2)的证明,但只知道把角α和β放在同一个三角形中,利用补角π-(α+β)形成sin(α+β),没能够挖掘(2)所蕴涵的代数结构与几何结构的关系,解题同样未能奏效.参照
“结论(α+β=π2)中的解题信息”,则(2)的条件满足sin2α+sin2β=sin(α+β) =sin2(α+β),是勾股定理(余弦定理)结构,联想到构造的图形不仅应考虑到角,出现α,β,α+β,也要考虑边,出现sinα,sinβ,sin(α+β),利用单位圆或斜边长为1的直角三角形,就容易构造出如下的几何方法.
思路5 如右图,OA =1,∠ACO =∠ABO =90°,则AB=sinα,AC =sinβ,且O,B,A,C四点在以OA为直径的圆上.
∴BC =2Rsin(α+β) =sin(α+β).在△ABC中,由余弦定理,得sin2(α+β) =sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β),
∴sin2(α+β) =sin(α+β)+2sinαsinβcos(α+β),
∴2sinαsinβcos(α+β) =sin(α+β)[sin(α+β)-1]≤0,
∴cos(α+β)≤0.在△OBC中,由余弦定理,得sin2(α+β)=cos2α+cos2β-2cosαcosβcos(α+β)=2-sin(α+β)
-2cosαcosβcos(α+β),
∴2cosαcosβcos(α+β) =2-sin(α+β)-sin2(α+β)≥0,
∴cos(α+β)≥0.
∴cos(α+β) =0,即得α+β=π2.
在△ABC中的一个附带结论就是sinα+sinβ>sin(α+β),这个图形能将(1)(2)问统一在一起,进一步说明以sinα,sinβ,sin(α+β)为边的构造是明智的选择.
二、教师教的遗憾
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