高等数学一
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高等数学一篇一：高数一知识点
第一章~~第三章
一、极限
数列极限limxn
n???
函数极限limf(x)，limf(x)，limf(x)
x???
x???
x???
x??x0
limf(x)，lim?f(x)，lim?f(x)
x??x0
x??x0
求极限（主要方法）：
sinx
?1,（１）lim
x??0x1
lim(1?)x?e,x???x
lim(1?x)?e
x??0
1
x
（２）等价无穷小替换（P76）。当?(x)?0时，
代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（
0?0?,,0??,???,00,1?,?0），只有,可以直接用罗比达法则。 0?0?
幂指函数求极限：limu(x)v(x)?elimv(x)lnu(x)；
ux(，若limvx()lunx?()a或，令y?u(x)v(x)，两边取对数lny?v(x)ln，则
limu(x)v(x)?ea。
结合变上限函数求极限。 二、连续 limf(x)?f(x0)
x??x0
左、右连续 lim?f(x)?f(x0),lim?f(x)?f(x0)
x??x0
x??x0
函数连续?函数既左连续又右连续
闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。 三、导数 f'(x0)?lim
x??x0
f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)
?lim
?x??0x?x0?x
f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)
?lim?
?x??0x?x0?x
左导数f?'(x0)?lim?
x??x0
右导数f?'(x0)?lim?
x??x0
f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)
?lim?
?x??0x?x0?x
dy?Adx?y'dx
微分?y?A??x??(z) 可导?连续 可导求导数：
（１） 复合函数链式法则
?可微 可导?既左可导又右可导
y?f[u]u?g(x)
dydydu??f'[u]g'(x)dxdudx
y?f[g(x)]y'?f'[g(x)]g'(x)f'[g(x)]?(f[g(x)])'
（２） 隐函数求导法则
两边对x求导，注意y、y?是x的函数。 （3）参数方程求导
x??(t)y??(t)
dydydx?'(t)?/?
dxdtdt?'(t)
d?'(t)ddy()()
d2ydt?'(t)
??2
dx?'(t)dt
四、导数的应用
（１）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题） （２）单调性（导数符号），极值（第一充分条件和第二充分条件），最值。 （3）凹凸性（二阶导数符号），拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同
凹凸性）。
第四章 不定积分
原函数 (F(x))??f(x)? 不定积分 基本性质
?f(x)dx?F(x)?C
dd
[?f(x)dx]?f(x) 或 [f(x)dx]?f(x) dxdx?
?F(x)dx?F(x)?c或?dF(x)?F(x)?C.
?
?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx (分项积分)
?kf(x)dx?k?f(x)dx
基本积分公式 (1)
?kdx?kx?C; (2)
?x?dx?
1??1
x?C (????1) ??1
(3)
?1dx?ln|x|?C (4) ?edx?e
x
x
x
?C
ax
?C(6) ?cosxdx?sinx?C (5) ?adx?lna
x
(7) (9)
?sinxdx??cosx?C (8) ?sec
2
xdx?tanx?C
?csc
2
xdx??cotx?C (10) ?secxtanxdx?secx?C
(11)
?cscxcotxdx??cscx?C
(12)
?arcsinx?C
(13)
?
dx
?arctanx?C 1?x2
除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式 1. 3. 5.
?tanxdx??ln|cosx|?C; 2. ?cotxdx?ln|sinx|?C; ?secxdx?ln|secx?tanx|?C; 4. ?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C;
11x
dx?arctan?C;
6.
a2?x2aa
??arcsin
x
?C; a
11x?a
7. ?2dx?ln?C;
8. 2
x?a2ax?a
9.
a2x?arcsin?C;
2a?ln|x?C.
求不定积分的方法
1． 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。 2． 换元法：第一类换元法（凑微分法）
?f(?x(?)?)xdx(?)?fudu?(F)u?C?(F?)x)?C.(
第二类换元法（变量代换法）
?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F[?(x)]?C.（注意回代）
换元的思想：
?f(x)dx
x??(t)
?
?f(?(t))??(t)dt
f(?(t))??(t)dt
?
?g(t)dt?F(t)?C
t??(x)
?F(?(x))?C.
主要有幂代换、三角代换、倒代换
3． 分部积分法
?uv?dx??udv?uv??vdu?uv??u?vdx
v?的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幂函数
第五章 定积分
一、概念 1. 定义
?
b
a
f(x)dx?lim?f(?i)?xi,??max{?xi}
??0
i?1
1?i?n
n
2. 性质： 设f?x?、g?x?在?a,b?区间上可积，则定积分有以下的性质.
(1). (2). (3).
??
bab
dx?b?a ；
b
b
?a?mf?x??ng?x??dx?m?af(x)dx?n?ag(x)dx；
ba
f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx；
a
c
cb
(4). 若在?a,b?上，f?x??0，则
?
ba
f(x)dx?0；
推论1. 若在?a,b?上，f?x??g?x?，则推论2. |
?
ba
f(x)dx??g(x)dx
a
b
?
ba
f(x)dx|??|f(x)|dx（a?b）
a
b
(5). 若函数f?x?在区间?a,b?上可积，且m?f?x??M，则
m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)
a
b
(6).（定积分中值定理） 设f?x?在区间?a,b?上连续，则存在???a,b?，使
?
3. 积分上限函数
(1)．(
ba
f(x)dx?f????b?a?．
?
x
a
f(t)dt及其性质
dx
f(t)dt?f?x?； ?adx
?(x)
?
xa
f(t)dt)??f?x?，或
(2)．如果??x??
?
?(x)
f(t)dt，则???x??(?f(t)dt,
f(t)dt)??f???x?????x?.
(3). 如果??x??
则???x??(
4. 广义积分
(1). 无穷限积分
??
?(x)
(x)
??
?(x)
(x)
f(t)dt)??f???x?????x??f???x???'?x?.
?
??a
?收敛
f?x?dx?lim?f?x?dx??
t???a
?发散
t
（极限存在）
．
（极限不存在）
?
?
????
b??
f?x?dx?lim?
t???
bt
?收敛
f?x?dx??
?发散
??0
（极限存在）
．
（极限不存在）
0??
f?x?dx收敛的充分必要条件是反常积分?
f?x?dx、?
f?x?dx同时收敛，并
且在收敛时，有
?
(2). 瑕积分
????
f?x?dx??
??0
f?x?dx??
0??
f?x?dx．
bb?收敛
a为瑕点 ?f?x?dx?limfxdx????at?a??a
?发散bb?收敛
b为瑕点 ?f?x?dx?limf?x?dx??
at?b??a
?发散
（极限存在）
（极限不存在）（极限存在）
（极限不存在）
c为瑕点则?f?x?dx收敛??f?x?dx 与?f?x?dx均收敛，并且在收敛时，有
a
a
c
bcb
?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx
a
a
c
bcb
二、计算
（一） 定积分的计算
1、微积分基本公式：设函数f?x?在区间?a,b?上连续，且F??x??f?x?，则
?
ba
f(x)dx?F?b??F?a? ，牛顿-莱布尼兹（N-L）公式
2、换元法：设函数f?x?在区间?a,b?上连续，函数x???t?满足：① 在区间??,??上可导，且???t?连续；
② a?????，b?????，当t?[?,?]时，x??a,b?，则
?f?x?dx???f??(t)???(t)dt
a
b?
3、分部积分法：
?
ba
b
?， 或uv?dx??uv?|b?uvdxudv?uv|??aa??vdu． ??
a
a
a
bbb
4、偶倍奇零： 设函数f?x?在区间??a,a?上连续，则
?
5、
a?a
?0
?
f(x)dx??a
2f(x)dx???0
n
f??x???f?x?f??x??f?x?
?
?
sinxdx??
n
?
(2k?1)!!??(2k)!!?2
cosxdx??(2k)!!
??(2k?1)!!
n?2k
．
n?2k?1
高等数学一篇二：高数一基础知识
高数（一）的预备知识
第一部份 代数部份 （一）、基础知识：
1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。
a?0?a
2．绝对值：a??
?aa?0?
3．乘法公式
（a+b）(a-b)=a2-b2
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
4.一元二次方程
（1）标准形式：a2+bx+c=0
(a?b)2=a2?2ab+b2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
???b2?4ac?0,有两个不同的实数根?
(2)解的判定：???b2?4ac?0,有两个相同的实数根
???0,无实数根?
（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x
2
+px+q=0
设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则；
?x1?x2??p
?
?x1?x2?q
（4）十字相乘法： （二）指数和对数
?(1)a?0,则a0?1;?
1．零指数与负指数：? 1?n
?(2)x?n
x?
2．根式与分数指数：
1
n
（1
）
?a
y
（2
）
?a
mn
3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ?R）;
(1)a?a?a
xx?y
(2)(a)?a
mnm?n
(3)ax?ay?ax?y
x
(4)(a?b)n?an?bn
4．对数：设a?N,则称X为以a为底N的对数, 记作：log a
n
=X, lnX，lgX;
5．对数的性质
(1)logaM·N=logaM+logaN
(2) log
M
?logaM?logaN N
(3)
logaN?x?logaN
x
logaN
logbN?(4)换底公式：
logab
logaNlnxa?N,?e?x （5）
（三）不等式
1．不等式组的解法：
（1）分别解出两个不等式，例?（2）求交集 2、绝对值不等式
?2X?1?5?X
?3X?2?4X?1
（1）X?a??a?
X?a;
（2）X?a?X?a或X??
a;3、1元2次不等式的解法：
0?0）（1）标准形式：ax?bx?c?（或
??1 解对应的一元2次方程
（2）解法：?0
??2 判解：
2
?①若a与不等式同号，解取根外；
?
?②若a与不等式异号，解取根内；
?③若无根（?＜0），则a与不等式同号；?
例：（1）x2?5x?6?0; （2）x2?3x?2＜0; （四）函数
1、正、反比例函数：y?kx ， y?
2
1
x
2、1元2次函数：y?ax?bx?c（a≠0）
bb4ac?b24ac?b2
（-）顶点：； 对称轴：x?? ； 最值：y?；
2a2a4a4a
图像：（1）a＞0,开口向上；（2）a＜0,开口向下； 3、幂函数：
y?xn（n=1,2,3）；
4、指数函数：y?ax （e）；
x
5、对数函数：y=ln x
第二部分 三角
（一）角的概念 1、正角、负角
2、角度与弧度的关系：180?? 1?
?
180
4、锐角的三角函数关系：
a?a2?b2?c2 sin
5、任意角的三角函数
baba
cosa? tan a= cot a=
ccab
sin??
yxy11x
cos?= tan?=
cot?= sec?=
csc?= rrcos?sin?xy
6、三角函数符号
7．特殊角的三角函数值：
00 300 450 sin?0 cos?
1
1/2/2
600
900 1 0
1800 0
2700 -1 0
2 /2
2
1/2
-1
tan? cot?
/3
1 1
?
?
?
3 ?
(二)三角变换
1．倒数关系
sin?·csc?=1
sec?=
tan?·cot?=1
sec?·cos?=1
1
cos?
csc?=
1 sin?
cot?=
1
tan?
2. 平方关系的
sin2??cos2??1
tan2??1?see2?
cot2??1?csc2?；
3．诱导公式：
（1）同名函数的：—?，1800±?，3600±?，K·360+?的三角函数值等于角?的三角函数值；符号采用把X当作锐角时原角所在象限原函数的符号。
（2）余函数的：900±?，2700±?的三角函数值等于角X余函极值；符号采用把?当作锐角时，原角所在象限函数的符号。
（三）两角和与两角差的三角函公式sin2??2sin??cos?
cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?
????
sin(???)?sin??cos??cos?sin?
cos(???)?cos??cos??sin??sin?
?以??代?
sin(???)?sin?cos??cos??sin? cos(???)?cos?cos??sin??sin?
（四）半角公式
sin
?
2
???
2（五）反三角函数 arc sinX
主值??
????
,?； 22??
????,? ； ?22?
arc cosX 主值
?0,??
?0,??；
arc tanX
主值??
arc cotX 主值
（六）几种基本函数的图象（用五点式作草图）
1．Y=sinX (T=2
? )
2. y=cosX (T=2
? )
3. y=tanX
(T=? )
（恒增）
4． y=cotX (T=? )
第三部分 （平面解析几何） 1． 直线方程
(恒减)
（1） 点斜式：设直线过点（X0，Y0），且斜底为K，则有：y?y0?k(x?x0) （2） 两点式：设直线过点（X0，Y0）（X2，Y2），则有：2． 两条直线平行与垂直的条件： （1） 若平行：K1=K2；
（2） 若垂直：K1·K2=—1即互为负倒数。 3． 圆锥曲线：
（1） 圆：设圆心为（X0，Y0），半径为r,则有(x?x0)?(y?y0)?r
2
2
2
y?y1x?x1
?
y2?y1x2?x1
高等数学一篇三：高等数学教材1
目 录
一、函数与极限 ························································································································· 2
1、集合的概念 ···················································································································· 2 2、常量与变量 ···················································································································· 3 2、函数 ······························································································································· 3 3、函数的简单性态 ············································································································ 4 4、反函数 ··························································································································· 4 5、复合函数 ······················································································································· 5 6、初等函数 ······················································································································· 5 7、双曲函数及反双曲函数 ································································································· 6 8、数列的极限 ···················································································································· 7 9、函数的极限 ···················································································································· 8 10、函数极限的运算规则··································································································· 9
1
一、函数与极限 1、集合的概念
一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、??表示集合，用小写拉丁字母a、b、c??表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法
⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系
⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A
?B（或B ?A）。。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ①、任何一个集合是它本身的子集。即A
?，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：
?A
②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算
⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）
即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。
即CUA＝｛x|x∈U，且x 集合中元素的个数
⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：
1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。
2
?A｝。
2、在平面直角坐标系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表示直线y＝x，从这个角度看，集合D={(x,y)|方程组：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？ 4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？
5、无限集合A＝｛1，2，3，4，?，n，?｝，B＝｛2，4，6，8，?，2n，?｝，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？
2、常量与变量
⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指(出自:WwW.HNNscy.Com 博 文学习 网:高等数学一)介于某两点之间的线段上点的全体。
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞
注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数
⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法
a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x+y=r
2
2
2
b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：
3
3、函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数
在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，
有 ，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数
，则称函数
在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：在区间(a,b)内是单调减小的。
对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有
例题：函数
2
=x在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性 如果函数意x都满足
对于定义域内的任意x都满足=-，则
叫做奇函数。
=
，则
叫做偶函数；如果函数
对于定义域内的任
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。 ⑷、函数的周期性 对于函数周期函数，l是
，若存在一个不为零的数l，使得关系式的周期。
对于定义域内任何x值都成立，则
叫做
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 例题：函数4、反函数
⑴、反函数的定义：设有函数
，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0
是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用
也是函数
的反函数。
来表示，称为函数的反函数.
注：由此定义可知，函数⑵、反函数的存在定理：若注：严格增(减)即是单调增(减)
在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).
4
例题：y=x，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±
2
.若我们不加条件，由y的值
就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=
就是y=x在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).
与
的图形是关于直线y=x对称的。
2
⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，
例题：函数所示：
与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图
5、复合函数
复合函数的定义：若y是u的函数：
，而u又是x的函数：
，且
的函数值的全部或部分在及
复合而成的函数，简
的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数称复合函数，记作
，其中u叫做中间变量。
注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 例题：函数因为对于6、初等函数
⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：
5
与函数
是不能复合成一个函数的。
都没有定义。
的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使