大学数学难题
《大学数学》试卷
：名
姓线
：级封
班
： 密
号学 一． 选择题（每小题3分） 1．下列求极限的问题中，能用洛必达法则的是（ ） x2sin1Alim?x?sinxx?xx?0sinx Bxlim???x(2?arctanx) Clime?ex??x?sinx Dlimx??ex2．limlnxx?1x?1?（ ） A1 B －1C 2D －2 3．limx3?3x2?2x??2x3?x2?x?4?（ ） A －１ B 0 C 12 D 2 4．若在区间（a,b）内，函数f(x)的一阶导数f'(x)?0,二阶导数f''(x)?0，则函数f(x)在此区间内（ ） A 单调减少，曲线为凸 B 单调增加，曲线为凸 C 单调减少，曲线为凹 D单调增加，曲线为凹 5．函数y=f(x)在点x?x0处取得极大值，则必有（ ） A f'(x0)?0 B f''(x0)?0Cf'(x0)?0且f''(x0)?0Df'(x0)?0或不存在 6．函数y?ln(1?x2)的单调减少区间是（ ） A (??,??) B (0,??) C (??,0) D 以上都不对 7．曲线y?xe?x的拐点坐标是（ ） A（1，e?1） B（2，e?2） C（2，2e?2） D（3，e?3）
8．下列等式中，成立的是（ ）
A d
C ?f(x)dx?f(x) B d?f(x)dx?f(x)dx ddf(x)dx?f(x)?Cf(x)dx?f(x)dxD ??dxdx
9．在区间(a,b)内的任一点x，如果总有f’(x)=g’(x)成立，则下列各式中必定成立的是（ ）
A.f(x)=g(x)B.f(x)=g(x)+1C.f(x)=g(x)+C D.(f(x)dx)'?(g(x)dx)' ??
10．已知?f(x)dx?cos2x?C，则f(x)=( )
A sin2xB －sin2xC cos2xD －cos2x
11． ?xexdx?( )
A xex?C B xex?ex?C C xex?ex?C D ex?C
12．?tanxdx?( )
A.－ln|sinx|+CB. ln|sinx|+C C. –ln|cosx|+C D.ln|cosx|+C
13．?6(x2
0?x?1)dx?( )
A 50 B 60C 70 D 80
14．?2x
0?x2dx=（ ） A 2?1B 2?1 C ?1 D ?1
23
15．行列式502=（ ）
304
A 16B －１６C 28D －28
二、判断题（每小题3分）
1．可导函数的驻点即为函数的极值点（ ）
2．函数f(x)二阶可导，且f’’(x0)=0，则点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点 (
3．如果行列式有两列元素完全相同，则此行列式为零 （ ）
4．n阶行列式都可化为上三角行列式 ( )
5．每一个函数f(x)都有原函数 ( )
三、解答题（每题10分）
)
x2?11．求极限（1）lim（非定向班做） x?1lnx
1ln(1?) （定向班做） （2）limx???arccotx
2．（1）求函数f(x)?3x?4x?12x?1在[-3，3]上的最大值，最小值。（非定向班做）
（2）求曲线的y=f(x)=x3-3x2-5x+6的凹、凸区间及拐点。（定向班做）
432
3．求不定积分：
2（1）(x?2x?3)dx （非定向班做） ?
（2）
1?9x2?6x?2 （定向班做）
1
24．（1）计算行列式的值：3
42341341241 （非定向班做） 23
（2）λ和μ为何值时，齐次方程组
?3?x1?x2?x3?0? ?x1??x2?x3?0有非零解？ （定向班做）
?x?2?x?x?023?1
大学数学答案：
一、选择题：1—5．B A C D D6—10. C C B C A11—15. B C
B C D
二、判断题：××√√×
三、1．（1）2；（2）1；
2．（1）最大值244，最小值－31；
（2）(1,??) (??,1)(1,?1)
x3
3．（1）?x2?3x?C； 3
1 （2）arctan(3x?1)?C； 3
4．（1） 168；
1（2）λ=，μ=0 3
大学数学难题篇二：大学数学试题
高等数学（下）模拟试卷一
一、 填空题（每空3分，共15分）
z??
的定义域为 （1
）函数
（2）已知函数
z?arctan
20
y?z
?
x，则?x
2yy2
（3）交换积分次序，?
dy?
f(x,y)dx
＝
（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则
?(x?y)ds?
L
（5）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）
?x?3y?2z?1?0?
（1）设直线L为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（ ）
A. L平行于? B. L在?上 C. L垂直于?D. L与?斜交 （2
（ ）
xyz?
?(1,0,?1)处的dz?
A.dx?dy
B.dx
D.dx （3）已知?是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.
2
2
2
22(x?y)dv????
?
2?0
d??rdr?dz
2
3
5
2r
2
3
5
B.
?
2?0
d??rdr?dz
2?
2
5
4
3
5
?C.
2?0
d??rdr?
5dz
D. ，则其收敛半径
）
?
d??r2dr?dz
（4）已知幂级数
1
A. 2
B. 1C. 2
D. x??
（5）微分方程y???3y??2y?3x?2e的特解y的形式为y?（ ）
A.
x
xx
(ax?b)xe(ax?b)?ce B. C.
D.(ax?b)?cxe
三、计算题（每题8分，共48分）
x?1y?2z?3x?2y?1z
????
LL10?1211的平面方程 121、 求过直线:且平行于直线：
?z?z
22
2、 已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y
3、
设
D?{(x,y)x?y?4}，利用极坐标求
22
2x??dxdyD
4、 求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值
2x2
?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x?e)dy?L5、计算曲线积分， 其中L为摆线?y?1?cost从点
O(0,0)到A(?,2)的一段弧
2
y
x
?xy?y?xe6、求微分方程 满足 yx?1?1的特解
四.解答题（共22分）
1、利用高斯公式计算
2
2xzdydz?yzdzdx?zdxdy????
z??
，其中由圆锥面与上
z?? )半球面所围成的立体表面的外侧(10
?
n?1n(?1)?n?1
3n?12、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6?）
（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1
?nx
?
n
的和函数（6?）
高等数学（下）模拟试卷一参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
4y
dxf(x,y)dy122?0x{(x,y)|x?y?0,x?y?0}21、 2、x?y 3
、
x?3x
y?Ce?Ce124
5、
?
二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C2.D3.C4A5.D 三、计算题（每题8分，共48分）
1、解： A(1,2,3)
?
?
?
s1?{1,0,?1}s2?{2,1,1} 2?
?
i
n?s1?s2?1
?
?
?
jk
???
0?1?i?3j?k
1
6?
?
21
?平面方程为 x?3y?z?2?0 8?
2
v?x2y 2? 2、解： 令u?xy?z?z?u?z?v
??????x?u?x?v?x
?z?z?u?z?v??????y?u?y?v?y3、解：D:0???2?
f1??y2?f2??2xy
6?
f1??2xy?f2??x2
8?
0?r?2，3?
2
2?0
?
??xdxdy???rcos?drd???
D
D
23
cos?d??r3dr
2
2
?4? 8?
2x2
?f(x,y)?e(2x?2y?4y?1)?0?x
1?2x(,?1)f(x,y)?e(2y?2)?0?y4．解： ?得驻点2 4?
A?fxx(x,y)?e2x(4x?4y2?8y?4),B?fxy(x,y)?e2x(4y?4),C?fyy(x,y)?2e2x
6?
11f(,?1)??e
?A?2e?0,AC?B2?4e2?0?极小值为228?
?P2?2x??Q,?5．解：P?2xy?3sinx,Q?x?ey
，有?y?x
曲线积分与路径无关2? 积分路线选择：L1:y?0,x从0??，L2:x??,y从0?24?
?
L
(2xy?3sinx)dx?(x2?ey)dy??LPdx?Qdy?1
?LPdx?Qdy
2
?
2
??0
3sinxdx??0
(?2?ey)dy?2?2?e2?7
8y??
1xy?ex?P?1
x,Q?ex6．解：
2?
?P(x)dx
1
1
?通解为
y?e?
[?Q(x)e?P(x)dxdx?C]?e??x
dx[?exe?xdxdx?C]
4?
?1[?ex?xdx?C]?1
[(x?1)ex? xxC]
6?
代入yy1xx?1?1，得C?1，?特解为?x[(x?1)e?1] 8? 四、解答题
???2xzdydz?yzdzdx?z2
dxdy?z)dv?1、解：
?
???(2z?z?2?
???zdv?
4?
????r3cos?sin?drd?d?
?
6?
4方法一：
原式＝?
2??
d??cos?sin?d?0
3dr?
?
2 10?
方法二：
原式＝
?
2???1
1
d0
rdr?
r
?2??r(1?r2)dr?
?
2 10?
n?1?
un?1n2、解：（1）令n?(?1)3n?1limun?1n??u?limn?1nn??3n?3n?13?1??n3n?1n?1收敛， ?
? ?(?1)n?1n
n?1
3n?1
绝对收敛。6? ??
s(x)?（2）令
?nxn
?x?nxn?1?xs1(x)
n?1
n?1
2?
?
x?
x
?
x0
s1(x)dx???nxn?1
dx??xn?
1?x?sx)?(x1?x)??1
1(n?1
n?1
(1?x)2 5?4?
?
?s(x)?
x(1?x)2
x?(?1,1)
6?
大学数学难题篇三：《大学数学》习题
大学数学习题
第一章 微积分的基础和研究对象
1 微积分的基础——集合、实数和极限
一．论述第二次数学危机产生的背景和解决方法。二．叙述极限，实数和集合在微积分中的作用。 二．叙述实数系的演变和性质，写出邻域的概念。
2 微积分的研究对象——函数
一．填空题
1
．函数y?
2x?x?1
2
的定义域 .
?1?
2．设函数f (x) =?2
?0?
|x|?1|x|?1
则函数f[f(x)]=.
3．函数y =
1?x1?x
的反函数为.
12?1
x
4．设f(x)是奇函数,且?(x)=f(x).(?
12
) , 则?(x) 是___________函数.
5．函数f (x) = sinxsin3x的周期. 二．求下列函数定义域
1．y = 43x?2 + 3arcsin2．y =
2x?x
x?12
.
+ ln(3?x).
?x2
三．设 ?(x?1)??
?2x
0?x?11?x?2
, 求?(x).
?2x
四．设函数 f (x) = ?2
?x
0?x?11?x?2
, g (x) = ln x ， 求f [ g(x) ] , g [ f(x) ].
x2
五．已知f (sin
x2
) = cos x + 1 , 求f (cos).
六．证明题：设f(x)为定义在(-L,L)内的奇函数，若f(x)在(0,L)内单调增加，证明f(x)
在(-L,0)内也单调增加.
第二章 微积分的直接基础——极限
1 数列的极限
一、判断题
1．数列{an}中去掉或增加有限项，不影响数列的极限；（ ） 2．数列{an?bn}极限存在，则{an}与{bn}极限均存在；（ ）
3．若???0，存在无限多个{an}满足|an?a|??}，则有liman?a.（ ）
n???
二．填空题
1．数列{an}有界是数列收敛的条件； 2．lim
2
n
n???
3．lim
3
cosn
? ? ； ? .
n???
4．lim
n3n?25n?3
n???
三．用极限定义证明
1．lim
n?5n
22
n???
?1.
2．lim(n?5?n)?0.
n???
3．lim
cosn?n
n???
n???
?0.
四．证明：若liman?a，则有lim|an|?|a|，并举例说明其逆命题不成立.
n???
五．证明数列{cos
n?3
极限不存在.
2 函数的极限
一．填空题
?x?4,x?1
1．设函数f(x)??，则limf(x)＝ ，limf(x)＝ .
x?1?0x?1?02x?1,x?1?
2．limsin
x?0
1x
? .
?ex
3．设f(x)??
?ax?b
x?0x?0
，则f(0)?f(0)???
当b? 时，limf(x)?1.
x?0
二．判断题
1. 若limf(x)?A，limg(x)?0，则有f(x)不存在；（ ）
x?xx?xlim
x?x0
g(x)
2.lim(x2
?sinx)??? ；（ ）
x??
3. 若limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B，则f(x)?g(x)；（ ）
x?x0
x?x0
4. limxcos
11?0；
（ ） x?0
x
?limx?0
xlimcos
x?0
x
5. 若lim
f(x)存在， 且g(x)
limg(x)?0则limf(x)?0.（ ）
x?x0
x?x0
x?x0
6．lim
sinxx
?1； （ ）
x??
1
7．lim(1?x)x?e；（ ）
x??
8．当x??时，1x
3
?
1x
2
与
12x
k
是等价无穷小量，则k?； （ ）
9．无穷小量的代数和还是无穷小量 ；（ ）
10．当x?0时，无穷小量y?x3?x4是关于x的4阶无穷小量； （ ）
11．因为x?0时sinx～x～tanx，所以有lim
tanx?sinx
?lim
0?0?0.（x?0
x
3
x?0
x
3
三．利用定义证明下列函数的极限
1．lim
x?2x??
1； x?2
2
4
4
2．limarctanx?
?
2
。
x???
四．利用极限四则运算求下列极限
1．lim(n2
?1?
n2
?2n) .
n??
2
2．lim
x?cosxx2
?cosx .
x?2
3．lim
n?
n?n
.
n??
n?1
4．xlim??
((x?a)(x?b)?x) .
）
5．lim
5x?x?
x?0. ?x
1
五．1．讨论x?0时，y?ex的极限.
1
?
x
?e
2．讨论函数f(x)??a?x2
??6
x?0x?0
在x?0处的极限.
3．讨论极限limarctan
x?1
1x?1
是否存在.
六．计算题
1．lim
tanx?sinx
x
3
.
x?0
)3
2．lim.
?1?2cosxx?
3
sin(x?
?
1
3．lim?(cos
x?0
x)x.
2n?12n
4．lim
1324
n??
?.
?sinx
5．lim
?tanx?
xsin
2
x?0
x
.
6．lim
arctan3x?x?1
2
x?05
.
1x
7．limx(1?cos
x??
).
n
七．已知x?1时，lnx~A(x?1)，求A与n .
八．已知P(x)是多项式，并且lim
P(x)?2x
x
2
3
x??
?1，又lim
P(x)3x
x??
?1，求P(x).
九．已知lim(
x??
x?1x?1
2
?ax?b)?0，试确定a,b的值.
3 连续函数
一．填空题
?ex(sinx?cosx),x?0
1．若f(x)??是(－∞,＋∞)上的连续函数,则a=_________.
2x?a,x?0?
2．若f(x)?
e
x?1
?a
x(x?1)
有无穷间断点x=0及可去间断点x=1,则a=____________.
二．判断题
1．若f(x),g(x)在x0均不连续，则f(x)?g(x)在x0也不连续 ；（） 2．若f(x),g(x)在x0均不连续，则f(x)g(x)在x0也不连续；（） 3．区间(a,b)上的连续函数必有界 ；（ ）
4．若f(x)在lim?(x)点连续，则limf[?(x)]?f[lim?(x)]；（ ）
x?x0
x?x0
x?x0
5．f(x)在(a,b)内单调，则f(x)在(a,b)内之多有一个零点.（ ）
三．求下列极限
1．limln(e?|x|) ； 2．lim
x?1
x
2x?1?3x?2?
2
x?1
；
x?4
3．lim(1?3tan
x?0
2
?2x?3?cotx
x) ； 4．lim??
x??2x?1??
x?0x?0
.
?1
?1
四．设f(x)??
1?ex?0?
3
2
讨论f(x)在x?0处的连续性.
五．证明方程x?3x?x?3?0在区间(?2,0)内有一实根.
??
1??
六．设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?f(1)，证明：必存在x0??0,?使得
2
f(x0)?f(x0?
12).
七．f(x)在[a,??)连续，且limf(x)存在，证明函数f(x)在[a,??)有界.
x???
第二章 复习题
一．填空题 1．f(x)?
1ln(3?x)
的定义域是__________.