椭圆复习教案

　 目 题目 第八 章 圆锥曲线 椭圆 求 高考要求

　掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 纳 知识点归纳

　1.定义：①平面内一个动点到两个定点 F 1 、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |，即2 1 2 12 F F a PF PF ? ? ? )，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． ②点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e（0<e<1），则 P 点的轨迹是椭圆

　第二定义高考超纲，第二定义、焦半径公式均只能在选填中使用 ，超纲内容用斜体字表示

　 2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：

　（1）|PF 1 |+|PF 2 |=2a，|PM 2 |+|PM 1 |=ca 2 2，| || |11PMPF=| || |22PMPF=e； （2）

　?1 1 FA c a F A ? ?2 2, ?2 1 FA c a F A ? ?1 2； c a PF c a ? ? ? ?1 （3）|BF 2 |=|BF 1 |=a，|OF 1 |=|OF 2 |=c； （4）|F 1 K 1 |=|F 2 K 2 |=p=cb2， 2 22 1A B AB a b ? ? ?

　3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式

　 12222? ?byax和 12222? ?bxay) 0 ( ? ?b a 其中2 2 2b a c ? ?

　椭圆 12222? ?byax) 0 ( ? ?b a 的焦点坐标是 ) 0 ( ， c ? ，离心率是ace ? ，准线方程是cax2? ? ，通径的长是ab 2 2焦准距（焦点到准线的距离）cbp2? ， 焦 参 数2ba（ 通 径 长 的 一 半 ）

　范 围 ：

　} { a x a x ? ? ? ，新疆 新疆王新敞 王新敞特级教师 特级教师源头学子小屋 源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞新疆 新疆新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆王新敞 王新敞特级教师 特级教师源头学子小屋 源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞新疆 新疆新疆 新疆王新敞 王新敞特级教师 特级教师源头学子小屋 源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞新疆 新疆新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comBPM 2K 2A 2 F 2 F 1 A 1M 1K 1 oyx

　 } { b y b x ? ? ? ，长轴长= a 2 ，短轴长=2b，焦距＝2c ，

　焦半径：21( )aPF e x a exc? ? ? ? ，22( )aPF e x a exc? ? ? ? . 4.2 1 FPF ? 中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．1 221 2tan2PF FFPFS b???将有关线段1PF 、2PF 、2c，有关角2 1 PFF ? (1 2 1 2FPF FBF ? ?? )结合起来，建立1PF +2PF 、1PF ?2PF 等关系. 5.椭圆上的点有时常用到三角换元：???? ?? ?sincosb ya x； 解 题型讲解

　例 例 1

　求中心在原点,一个焦点为 ) 2 5 , 0 ( 且被直线 2 3 ? ? x y 截得的弦中点横坐标为21的椭圆方程. 解: 设椭圆方程 ) 0 ( 12222? ? ? ? b abxay, ) , (1 1y x A , ) , (2 2y x B , 因为弦 AB 中点 )21,21( ? M ,所以1 2 1 21, 1 x x y y ? ? ? ??

　由

　2 21 12 22 22 22 211y xa by xa b?? ?????? ???得2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) ( ) 0 a x x b y y ? ? ? ? ,（点差法）

　所以 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )3( ) ( ) ( )y y y y y y y y ab x x x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 23b a ? ?

　又 502 2? ?b a

　 110 752 2? ? ?x y 注：当题目中的已知和结论为弦的中点、斜率时经常使用点差法 例 例 2 已知 F 1 为椭圆的左焦点，A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当 PF 1 ⊥F 1 A，PO∥AB（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率. 分析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求 a、c 的值或 a、c 用同一个量新疆 新疆王新敞 王新敞特级教师 特级教师源头学子小屋 源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞新疆 新疆新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com

　 表示.本题没有具体数值，因此只需把 a、c 用同一量表示，由 PF 1 ⊥F 1 A，PO∥AB 易得 b=c，a= 2 b. 解：设椭圆方程为22ax+22by=1（a＞b＞0），F 1 （－c，0），c 2 =a 2 －b 2 ， 则 P（－c，b221ac? ），即 P（－c，ab2）. ∵AB∥PO，∴k AB =k OP ， 即－ab=acb2?.∴b=c. 又∵a=2 2c b ? = 2 b， ∴e=ac=bb2=22. 点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键. 例 例3

　 如下图，设E：22ax+22by=1（a＞b＞0）的焦点为F 1 与F 2 ，且P∈E，∠F 1 PF 2 =2 θ .

　求证：△PF 1 F 2 的面积 S=b 2 tan θ . 分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1 |=r 1 ，|PF 2 |=r 2 ，则 S=21r 1 r 2 sin2 θ .若能消去 r 1 r 2 ，问题即获解决.

　证明：设|PF 1 |=r 1 ，|PF 2 |=r 2 ， 则 S=21r 1 r 2 sin2 θ ，又|F 1 F 2 |=2c， 由余弦定理有 （2c）

　2 =r 1 2 +r 2 2 －2r 1 r 2 cos2 θ

　=（r 1 +r 2 ）

　2 －2r 1 r 2 －2r 1 r 2 cos2 θ

　=（2a）

　2 －2r 1 r 2 （1+cos2 θ ）， 于是 2r 1 r 2 （1+cos2 θ ）=4a 2 －4c 2 =4b 2 . 所以 r 1 r 2 =? 2 cos 122?b. ABPF 2 F 1 oyxr 2r 12?AB PF 2 F 1 oyx

　 从而有 S=21·? 2 cos 122?bsin2 θ =b 2?? ?2cos 2cos sin 2=b 2 tan θ . 点评：①解与△PF 1 F 2 （P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1 |+|PF 2 |=2a 来解决. ②我们设想点 P 在 E 上由 A 向 B 运动，由于△PF 1 F 2 的底边 F 1 F 2 为定长，而高逐渐变大，故此时 S 逐渐变大.所以当 P 运动到点 B 时 S 取得最大值.由于 b 2 为常数，所以 tan θ 逐渐变大.因 2 θ 为三角形内角，故 2 θ ∈（0，π）， θ ∈（0，2π）.这样， θ 也逐渐变大，当 P 运动到 B 时，∠F 1 PF 2 取得最大值.故本题可引申为求最值问题， 例 例 4 若椭圆 ax 2 +by 2 =1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点，M 为 AB 的中点，直线 OM（O 为原点）的斜率为22，且 OA⊥OB，求椭圆的方程. 分析：欲求椭圆方程，需求 a、b，为此需要得到关于 a、b 的两个方程，由 OM 的斜率为22.OA⊥OB，易得 a、b 的两个方程. 解：设 A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），M（22 1x x ?，22 1y y ?）. 由 2 211x yax by? ? ??? ??，∴（ a + b ）

　x2 －2 bx + b －1=0. ∴22 1x x ?=b ab?，22 1y y ?=1－22 1x x ?=b aa?. ∴M（b ab?，b aa?）.

　∵k OM =22，∴b= 2 a.

　 ① ∵OA⊥OB，∴11xy·22xy=－1. ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0. ∵x 1 x 2 =b ab??1，y 1 y 2 =（1－x 1 ）（1－x 2 ）， ∴y 1 y 2 =1－（x 1 +x 2 ）+x 1 x 2 =1－b ab?2+b ab??1=b aa??1. ∴b ab??1+b aa??1=0. ABMoyx

　 ∴a+b=2.

　 ② 由①②得 a=2（ 2 －1），b=2 2 （ 2 －1）. ∴所求方程为 2（ 2 －1）x 2 +2 2 （ 2 －1）y 2 =1. 点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出 A （ x 1 ， y 1 ），B （ x 2 ， y 2 ），但不是真的求出 x 1 、 y 1 、 x 2 、 y 2 ，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由 OA ⊥ OB 得 x 1 x 2 + y 1 y 2 =0 是解决本题的关键. 直曲联立的套路适用于直线与圆锥曲线两个交点地位平等时，是核心套路，必须熟练运用。

　例 例 5

　已知椭圆 ) 0 ( 1 :22221? ? ? ? b abyaxC 的一条准线方程是425? x ,其左、右顶点分别是 A、B；双曲线 1 :22222? ?byaxC 的一条渐进线方程为. 0 5 3 ? ? y x

　(1)求椭圆1C 的方程及双曲线2C 的离心率;

　 (2)在第一象限内取双曲线2C 上一点 P,连接 AP 交椭圆1C 于点 M,连接 PB并延长交椭圆1C

　于点 N,若 . MP AM ? 求证: 0 ? ? AB MN

　(1) 解:?????????534252abca

　(c 为椭圆半焦距),

　4 , 3 , 5 ? ? ? ? c b a

　22 21; 19 25: Cy xC ? ? ? 的离心率为5342? e

　.

　 (2) 证明:设 ) , (0 0y x M ,则 ) 2 , 2 (0 0y a x P ? 即 ) 2 , 5 2 (0 0y x P ?

　 ???????? ??? ??19425) 5 2 (19 2520202020y xy x消去0y 得 0 25 5 2020? ? ? x x

　因为点 M 在第一象限) 5 (53 3: ) 3 3 , 10 ( )23 3,25( ? ? ? ? ? x y l P M

　代入椭圆方程得: 250 25 15 22? ? ? ? ?Nx x x

　所以点 M、N 关于 x 轴对称. ∴ 0 ? ? AB MN

　点评:

　对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯. 点代入的核心就是表达与消元，一定注意要思路清晰，在多个方程的时候想清楚消去哪个未知量。

　例 例 6 设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率23? e .已知点)23, 0 ( P 到这个椭圆上的点的最远距离为 7 ,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐标.

　解:设椭圆方程为 ) 0 ( 12222? ? ? ? b abyax, ) , ( y x M 为椭圆上的点,由23?ac得 b a 2 ?

　) ( , 3 4 )21( 3 )23(2 2 2 22b y b b y y x AM ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　若21? b ,则当 b y ? ? 时2AM 最大,即 7 )33(2? ? ?b , 21237 ? ? ? ?b ,故矛盾.

　 若21? b 时,21? ? y 时 7 3 42? ? b , 12? b

　所求方程为 1422? ? yx

　 把 y=─21代入，求得 M 的坐标是(─ 3 ,─21)或( 3 ,─21). 点评：二次曲线的最值问题，常常归结为二次函数的最值问题，解题时要注意对自变量的范围进行讨论. 例 例 7

　设椭圆与双曲线有共同焦点 F 1 (─4,0),F 2 (4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的 2 倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹. 解法一：设交点为 P(x,y), 双曲线的实半轴长为 a (2<a<4),则椭圆长半轴长为 2a, 由半焦距为 4, 得它们的方程分别为：

　新疆 新疆源头学子小屋 源头学子小屋特级教师 特级教师王新敞 王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com

　 1162222???ayax

　(1) 和16 4 42222??ayax=1

　(2) (2)?4─(1)得：4) 16 )( 4 (2 22a ay? ??

　(3), 代入(1)得：a 2 =2|x| 再代入(3)化简得：(x─5) 2 +y 2 =9

　或(x+5) 2 +y 2 =9

　. 解法二：用定义法求解. |F 1 P|+|F 2 P|=2||F 1 P|─F 2 P||,

　解得：|F 1 P|=3? |F 2 P|

　 或 3? |F 1 P|=|F 2 P| . 即：

　? ? ?2 2) 4 ( y x 32 2) 4 ( y x ? ?

　或

　? ? ?2 2) 4 ( y x 32 2) 4 ( y x ? ? ,

　化简得：(x─5) 2 +y 2 =9

　或(x+5) 2 +y 2 =9

　. 例 例 8

　 如图 ,椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 过其右焦点 F 作斜率为 1 的直线, 交椭圆于 A、B 两点, 若椭圆上存在一点 C, 使 OA ＋ OB ＝OC . (1) 求椭圆的离心率;(2) 若 | AB | ＝15, 求着个椭圆的方程. 解: (1)设椭圆的方程为 1byax2222? ? , 焦距为 c 2 , 则直线 l 的方程为:c x y ? ? , 代入椭圆方程,

　得 0 b a c a cx a 2 x ) b a (2 2 2 2 2 2 2 2? ? ? ? ? ,

　设点 ) y , x ( A1 1

　、 ) y , x ( B2 2

　 , 则 ,b ac a 2x x2 222 1?? ? ,b ac b 2c 2 x x y y2 222 1 2 1?? ? ? ? ? ?

　∵ OA ＋ OB OC ? , ∴C 点坐标为 )b ac b 2,b ac a 2(2 222 22???

　. ∵C 点在椭圆上, ∴ 1) b a (c b 4) b a (c a 42 2 22 22 2 22 2????

　. ABFCoyx

　 ∴ , 1b ac 42 22?? ∴ . b a c 42 2 2? ?

　又 , a b c2 2 2? ? ∴ . a 2 c 52 2?

　∴510ace ? ?

　(2) ∵ ) ex a ( ) ex a ( | BF | | AF | | AB |2 1? ? ? ? ? ?

　21 22 222 ( ) 2c a ca e x x aa a b? ? ? ? ? ?? 2 22 2 22 2 32 2 ,4 2ac ac aa aa b c? ? ? ? ?? 由已知 , 10 a , 152a 3? ? 从而 10 2 a510c ? ? . ∴ 60 c a b2 2 2? ? ? . 故椭圆的方程为: 1100y100x2 2? ? . 例 例 9

　已知常数 a＞0，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=4a， O 为 AB 的中点，点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且BCBE=CDCF=DADG，P为 GE 与 OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 分析：根据题设条件首先求出 P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点 P 到两定点距离的和为定值. 解：按题意，有 A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）. 设BCBE=CDCF=DADG=k（0≤k≤1）， 由此有 E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）. 直线 OF 的方程为 2ax+（2k－1）y=0.

　 ① 直线 GE 的方程为－a（2k－1）x+y－2a=0.

　②

　由①②消去参数 k，得点 P（x，y）满足方程 2a 2 x 2 +y 2 －2ay=0. PGFED CB Aoyx

　 整理得212x+22) (aa y ?=1. 当 a 2 =21时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当 a 2 ≠21时，点 P 的轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当 a 2 ＜21时，点 P 到椭圆两个焦点（－221a ? ，a），（221a ? ，a）的距离之和为定值 2 . 当 a 2 ＞21时，点 P 到椭圆两个焦点（0，a－212? a ），（0，a+212? a ）的距离之和为定值 2a. 点评：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法. 小结：

　椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数 a、b、c、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点：

　（1）椭圆中有一个十分重要的三角形 OF 1 B 2 （如图），它的三边长分别为 a、b、c. 易见 c 2 =a 2 －b 2 ，且若记∠OF 1 B 2 = θ ，则 cos θ =ac=e. （2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1 B 2 、公式 cosθ =e 等，均不因坐标系的改变而改变. （3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1 F 2 |.因为当平面内的动点与定点F 1 、F 2 的距离之和等于|F 1 F 2 |时，其动点轨迹就是线段 F 1 F 2 ；当平面内的动点与定点 F 1 、F 2 的距离之和小于|F 1 F 2 |时，其轨迹不存在. （4）椭圆标准方程中两个参数 a 和 b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有 a＞b＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、cAB 2F 2 F 1ox

　 的关系是 c 2 =a 2 －b 2 ；在方程 Ax 2 +By 2 =C 中，只要 A、B、C 同号，就是椭圆方程. （5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式. （6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点 P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数 e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.