方法技巧专题19,三角恒等变换（原卷版）

　 方法技巧专题 19

　三角恒等变换

　学生篇

　一、三角恒等变换问题知识框架

　二、三角恒等变换方法技巧

　 【一】公式顺用、逆用及其变形用

　 1. 两角和差公式：

　cos(α－β)＝cosα cosβ＋sinα sinβ.

　cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ. sin(α＋β)＝sinα cosβ＋cosα sinβ.

　sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .

　tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β（α，β，α－β 均不等于 kπ＋ π2 (k∈Z)）.

　 1.例题 例 【例 1 】计算：

　(1)cos(－15°)；

　(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.

　例 【例 2 】(1)计算：cos 2π12 －sin2 π12 ； (2)计算：

　1－tan2 75°tan 75°； (3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.

　例 【例 3 】(1) 1＋tan 15°1－tan 15°＝________. (2)化简：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°. （3）已知 sin θ＝ 45 ，5π2＜θ＜3π，求 cos θ2 和 tan θ2 .

　2.巩固提升综合练习

　【练习 1】化简 cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为(

　) 2. 二倍角公司 sin 2α＝2sinα cosα；

　 cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝2cos 2 α－1＝1－2sin 2 α；

　tan 2α＝2tan α1－tan 2 α . 变形 1：降幂公式:

　 cos 2 α2 ＝1＋cos α2，

　变形 2 ：半角公式：（1＋cos 2α＝2cos 2 α， 1－cos 2α＝2sin 2 α）

　sin α2 ＝±1－cos α2，cos α2 ＝±1＋cos α2，tan α2 ＝±1－cos α1＋cos α ＝sin α1＋cos α ＝1－cos αsin α

　特别注意：两角和与差的正切公式有两种变形形式 ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝ tan α±tan βtan?α±β?. 当 α±β 为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到 1 与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.

　A. 12

　B.32

　C．－ 12

　 D．－32

　【练习 2】

　1－ 3tan 75°3＋tan 75°＝________. 【练习 3】在△ABC 中，A＋B≠ π2 ，且 tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan Atan B，则角 C 的值为(

　) A. π3

　 B.2π3

　 C. π6

　D.π4

　习 【练习 4 】若 sin α＋cos α＝ 13 ，则 sin 2α=

　.

　 【二】拆凑角问题

　 1.例题 【例 1】已知31)3sin( ? ??? ，则 )6cos(?? ?

　的值为(

　) A．－ 13

　B.13

　 C.2 23

　D．－ 2 23

　【例 2】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ??????? ?54,53P . 若角 β满足 sin(α＋β)＝513 ，则 cos β 的值为________． 【例 3】若1sin6 3??? ?? ?? ?? ?，则2cos 23??? ?? ?? ?? ?（

　 ）

　A．13 B．13?

　C．79 D．79?

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知33)6tan( ? ? ??，则 ? ? )65tan( ??________. 【练习 2】若102 7)4sin( ? ??A ，A∈ ) ,4( ??，则 sin A 的值为(

　) 三角公式求值中变角的解题思路

　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

　A. 35

　B.45

　C.35 或45

　D.34

　【练习 3】已知sin(?? −3 π10 ) =35 ，则cos(?? +π5 ) =（

　）

　A.−45

　 B.45

　C.−35

　D.35

　【练习 4】若 sin（3x?? ）=23，则 cos（ 23x?? ）=（

　）

　A．79 B．19 C．19?

　D．79?

　【练习 5】已知3sin 24 5x? ? ?? ?? ?? ?，则 sin4x 的值为（

　 ）

　A．1825 B．1825?

　C．725 D．725?

　【三】常值代换

　 1.例题 【例 1】已知 02??? ? ，5cos( )4 5??? ?．

　（1）求 tan( )4??? 的值； （2）求 sin(2 )3??? 的值．

　【例 2】

　已知△ABC 中,137cos sin ? ? ? A A ,则 tanA=

　.

　2.巩固提升综合练习

　常数“1” 的代换: 1=sin 2 α+cos 2 α, 1=2cos 2 α-cos 2α, 1=cos 2α+2sin 2 α, 1=tan .

　【练习 1】已知?? ∈ ??，sin?? + 2cos?? =√102，则tan2?? =（

　）

　A．−34 或−35

　B．−34

　C． 34

　D．−35

　【练习 2】已知 2sin cos 0 ? ? ? ? ，则2sin cos cos ? ? ? ?的值为（

　 ）

　A．65?

　B．35-

　C．35 D．65 【四】辅助角公式

　1.例题 【例 1】函数 f(x)＝sin x－cos x，x∈ ????0， π2的最小值为________． 【例 2】已知函数 f(x)＝ 3sin ????2x－ π6＋2sin 2 ????x－π12 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．

　 y＝asin ωx＋bcos ωx＝ a 2 ＋b 2 sin(ωx＋θ)．其中 ， 延申探索：

　(1)提常数，提出 a 2 ＋b 2 得到 y＝asin ωx＋bcos ωx＝ a 2 ＋b 2aa 2 ＋b 2

　sin x＋ba 2 ＋b 2 cos x (2)定角度，确定一个角 θ 满足：cos θ＝aa 2 ＋b 2 ，sin θ＝ba 2 ＋b 2 一般 θ 为特殊角， ， 等，则得到 a 2 ＋b 2 (cos θsin x＋sin θcos x)． (3)化简、逆用公式得 asin x＋bcos x＝ a 2 ＋b 2 sin(x＋θ) 温馨提醒 1：θ 所在的象限由 a 和 b 的符号确定: 温馨提醒 2：另法 asin x＋bcos x= a 2 ＋b 2 (sin θsin x＋cos θcos x)= a 2 ＋b 2 cos(x－θ) 这里 ， ，（ ）

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】

　当函数 x x y sin 3 cos ? ? 取得最大值时， tanx 的值是______

　【练习 2】如果 ? ? ? ? sin 2cos( ) f x x x ? ? ? ? ? ? 是奇函数，则 tan ? =

　 . 【练习 3】已知函数 f(x)＝cos ????π3 ＋x ·cos ????π3 －x ，g(x)＝12 sin 2x－14 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值时 x 的集合．

　 三、课后自我检测

　1．已知 sin α＝ 45 ，且 α∈)23,2(? ?，则 sin )32 (?? ? 的值为________． 2．若2sin4 3??? ?? ?? ?? ?，则 sin2 ? ?

　 。

　3．已知 tan 2,(0, ) ? ? ? ? ? ，则sin2cos2????? ??? ?? ?

　。

　4．已知2019 1cos2 2??? ?? ?? ?? ?， ,2?? ?? ?? ??? ?，则 cos ? ?

　 。

　5．已知 sin（π4x ? ）14? ，则 sin2x 的值为（

　 ）

　6．已知 sin( π) 2cos(3π ) 0 ? ? ? ? ? ? ? ，则sin cossin cos? ?? ????

　 。

　7．若 02?? ? ? ， 02?? ? ? ? ，1cos4 3??? ?? ?? ?? ?，3cos4 2 3? ? ? ?? ?? ?? ?，则 cos2??? ??? ?? ?等于

　 。

　8．已知 ? ， ? 为锐角，且1tan7? ? ，? ?2 5cos5? ? ? ? ，则 cos2 ? ?

　。

　A.35 B.23 C.45 D.7 210

　9．已知角3?? ? 的始边是 x 轴非负半轴．其终边经过点3 4( , )5 5P ? ? ，则 sin ? 的值为__________． 10．在平面直角坐标系中，角 ? 的顶点与原点重合，始边与 x 的非负半轴重合，终边过点(1,2) P ，则sin( 2 )2?? ? ? ______________。

　11． 平面直角坐标系 xOy 中，点 ? ?0 0, P x y 是单位圆在第一象限内的点， xOP ? ? ? ，若11cos3 13?? ? ?? ? ?? ?? ?，则0 0y x ? 为_____． 12．若 ? ? 7coscos2?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?，则 tan2 ? ? （

　）

　13．已知6cos( )4 6?? ? ?，则 sin2 ? 的值为

　。

　14．已知 ? ? 、 均为锐角，满足5 3 10sin ,cos5 10? ? ? ?，则 ?? ? ?

　 。

　15．若? ?2sin 753??? ?，则 ? ? cos 30 2 ??? ?

　。

　16．已知6sin sin3? ? ? ?，3cos cos3? ? ? ?，则 cos2? ? ?? ________. 17．若1 10tan , ,tan 3 4 2? ?? ??? ?? ? ? ??? ?，则 sin 24??? ?? ?? ?? ?________． 18． 已知 tan 2 ? ? ，则3cos2 sin cos2 2? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?__________． 19．若3sin6 3x? ? ?? ?? ?? ?，则 sin 26x? ? ?? ?? ?? ?________． 20．若1sin( )6 3?? ? ? ，则2cos ( )6 2? ?? ? ________. 21．已知 α∈ )43,4(? ?，β∈ )4, 0 (?，且 cos )4( ??? ＝ 35 ，sin)45( ??? ＝－ 1213 ，则 cos(α＋β)＝________. 22．（1）已知1,sin2 3?? ? ? ? ? ? ，求 tan ? 的值； （2）已知 sin( )3a?? ? ? ，求2 5sin( ) cos( )3 6? ?? ? ? ? ? 的值.

　23．已知 sin ? 是方程25 7 6 0 x x ? ? ?的根， ?

　是第三象限角. （1）求 ? ?23 3sin cos2 2tancos sin2 2? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? 的值； （2）已知 ? ?? ?? ?3sin cos 2 tan2tan sin2f?? ? ? ? ???? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ??? ?? ? ?? ?? ?（ ），若 ? 是第三象限角，且3 1cos2 5??? ?? ?? ?? ?，求? ? f ? 的值.

　24．已知关于 x 的方程 2x 2 －( 3＋1)x＋m＝0 的两根分别是 sin θ 和 cos θ，θ∈(0,2π)，求：

　(1)sin 2 θsin θ－cos θ ＋cos θ1－tan θ 的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时 θ 的值．

　25.已知函数 f ( x )＝sin2 x －cos 2 x －23sin x cos x ( x ∈R)． (1)求 f ? ?????2π3的值；

　(2)求 f ( x )的最小正周期及单调递增区间．