第18讲-幂函数图像与性质

　 主 主

　题 幂函数的图像与性质 教学内容

　1. 了解幂函数的概念； 2. 掌握常见幂函数的图像与性质。

　观察下列函数，它们的关系式有什么共同特点？ （1）

　y x ? ；（2）2y x ? ；（3）3y x ? ；（4）12y x ? ；（5）1y x ? ? .

　 幂函数的定义：一般地，形如ky x ? 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，k 是常数，且 k Q ? ； 判断：下列各式中表示幂函数的有（

　 ）

　A、123 y x ?

　B、xy x ?

　C、23y x ?

　D、 2 x y ?

　E、7 4y x ?

　F、0.5y x ?

　G、2y x ?

　 思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？我们上一章讲了函数的哪些基本性质？

　 例 1. 研究函数12y x?? 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的图像

　试一试：仿照例 1 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？

　 （1）

　y ＝ x－ 1 ；

　（2）

　y ＝ x － 2 ；

　（3）

　y ＝14x－．

　小结：研究函数图像的基本步骤（方法）

　1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。

　2、由单调性判断图像的变化趋势。

　3、由奇偶性判断函数图像是否对称。

　例 2. 指出23y x ? 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。

　 仿照例 2 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？

　（1）

　y ＝21x ；（2）

　y ＝31x ；（3）

　y ＝25x ；

　例 3.

　指出函数73y x ? 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图像。

　 试一试：仿照例 3 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？ （1）3y x ?

　 （2）43y x ?

　 （3）54y x ?

　幂函数总结：

　例 4. 已知幂函数221m myx? ?? 在区间 ? ? ,0 ?? 上是减函数，求 m 的最大负整数值.

　试一试：已知幂函数 ? ? ? ?21 32 2p pZ f x x p? ? ?? ? 在 ? ? 0,?? 上是增函数，且在定义域上是偶函数，求 p 的值，并写出相应的函数．

　（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

　比较大小：

　1. 已知函数（1）

　2 x y ? ；（2）14y x ? ；（3）1yx? ；（4）43y x ? ，写出分别具下列性质的函数 ①图像与 x 轴有交点的：

　 ；②图像关于原点对称的：

　 ； ③定义域内单调递减的：

　 ；④在定义域内有反函数的：

　 .

　2. 幂函数? ?22 3 * m my x m N? ?? ? 的图像与坐标轴无公共点且是偶函数，则 m 的是

　．

　3. 比较下列各组中两个数的大小：

　 （1）535 . 1 ，537 . 1 ；（2）0.7 1.5 ，0.6 1.5 ；（3）32) 2 . 1 (－－ ，32) 25 . 1 (－－ ．

　4. 已知 ? ? ? ?22 k kx k Z f x? ? ?? ? 满足 ? ? ? ? 2 3 f f ? ． （1）求 k 的值； （2）是否存在正数 m ，使 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 , 1,2 g x mf x m x x ? ? ? ? ? ? 的值域为174,8? ??? ?? ?？为若存在，求出 m的范围；若不存在，说明理由.

　提高练习：

　1、 作函数?????????? ? ??) 1 ( ,11) 1 ( ,211) (xxx xx f 的图像，并根据函数图像讨论方程 a x f ? ) ( ， ) ( R a? 的实根个数。

　2、 讨论函数3 31 ) ( , 1 ) ( ? ? ? ? x x h x x g 的图像与幂函数3) ( x x f ? 的图像的关系，并在同一直角坐标系中分别作出函数 ) ( ), ( ), ( x h x g x f 的图像。

　3、 讨论函数xxy1 2 ?? 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出此函数的大致图像。

　 本节课主要知识点：幂函数的概念，幂函数的图像和性质

　【巩固练习】

　1. 下列函数中不是幂函数的是（

　 ）

　A． y x ?

　B．3y x ?

　 C． 2 y x ?

　D．1y x ? ?

　2. 已知幂函数22 3( ) ( )m mf x x m Z? ?? ? 为偶函数，且在 (0, ) ?? 上是减函数，求 ( ) f x 的解析式.

　 【预习思考】

　问题 1：某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,……一个这样的细胞分裂

　x 次后,得到的细胞分裂的个数

　y 与

　x 之间,构成一个函数关系,能写出

　x 与

　y 之间的函数关系式吗？ 问题 2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的 84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为 1,时间变量用 x 表示,剩留量用 y 表示。