值域求法--数形结合法等

　函数值域求法小结

　一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）

　1、求 2 42? ? ? ? x y 的值域。

　由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 , , 0 2 4 ) (2y x x g 所以

　2、求函数11 1yx?? ?的值域。

　分析：首先由 1 x? ? 0，得 1 x? +1 ? 1，然后在求其倒数即得答案。

　解：

　1 x? ? 0 ? 1 x? +1 ? 1， ? ０＜11 1 x? ?? １， ? 函数的值域为（０，１]． 法 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）

　1、求函数 ? ? ) 4 , 0 ( 4 22? ? ? ? ? x x x y 的值域。

　设：

　) 0 ) ( ( 4 ) (2? ? ? ? x f x x x f 配方得：

　? ? ) 4 , 0 ( 4 ) 2 ( ) (2? ? ? ? ? x x x f 利用二次函数的相关知识得 ? ? 4 , 0 ) ( ? x f ，从而得出：

　? ? 2 , 2 ? ? y 。

　说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：

　0 ) ( ? x f 。

　2、求函数3 42? ? ??x xe y 的值域。

　解答：此题可以看作是ue y ? 和 3 42? ? ? ? x x u 两个函数复合而成的函数，对 u 配方可得：1 ) 2 (2? ? ? ? x u ，得到函数 u 的最大值 1 ? u ，再根据ue y ? 得到 y 为增函数且 0 ? y 故函数3 42? ? ??x xe y 的值域为：

　] , 0 ( e y? 。

　3、若 , 4 2 ? ? y x 0 , 0 ? ? y x ，试求 y x lg lg ? 的最大值。

　本题可看成一象限动点 ) , ( y x p 在直线 4 2 ? ? y x 上滑动时函数 xy y x lg lg lg ? ? 的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：2 ) 1 ( 2 lg[ )] 2 4 ( lg[ lg lg lg ), 2 , 0 ( ), 4 , 0 (2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y y y xy y x y x 而，y=1 时， y x lg lg ? 取最大值 2 lg 。

　三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易

　反解出自变量的函数类型）

　对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

　1、求函数12??xxy 的值域。

　由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出 x，从而便于求出反函数。

　12??xxy 反解得yyx??2即xxy??2 故函数的值域为：

　) , 2 ( ) 2 , ( ?? ?? ? ? y 。（反函数的定义域即是原函数的值域）

　2、求函数11???xxeey 的值域。

　解答：先证明11xxeey??? 有反函数，为此，设2 1x x ? 且 R x x ?2 1 ,， 0) 1 )( 1 (211112 12 122112 1?? ????????? ?x xx xxxxxe ee eeeeey y 。

　所以 y 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：xxy????111ln 。此函数的定义域为) 1 , 1 (? ? x ，故原函数的值域为 ) 1 , 1 (? ? y 。

　四 、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0 ) ( ) ( ) (2? ? ? y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）

　1、求函数3 27 4 222? ?? ??x xx xy 的值域。

　由于本题的分子、分母均为关于 x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：

　7 4 2 3 22 2? ? ? ? ? x x y xy y x 整理得：

　0 7 3 ) 2 ( 2 ) 2 (2? ? ? ? ? ? y x y x y 当 2 ? y时，上式可以看成关于 x 的二次方程，该方程的 x 范围应该满足 0 3 2 ) (2? ? ? ? x x x f 即R x? 此时方程有实根即△ 0 ? ，△ ? ]. 2 ,29[ 0 ) 7 3 )( 2 ( 4 )] 2 ( 22? ? ? ? ? ? ? ? ? y y y y

　注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是29, 2 ? ? ? y y ）代回方程检验。

　将29, 2 ? ? ? y y 分别代入检验得 2 ? y 不符合方程，所以 ) 2 ,29[? ? y 。

　2、求函数2 212? ???x xxy 的值域。

　解答：先将此函数化成隐函数的形式得：

　0 1 2 ) 1 2 (2? ? ? ? ? y x y yx ，(1)

　这是一个关于 x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式0 ) 1 2 ( 4 ) 1 2 (2? ? ? ? ? ? y y y ， 解得：2121? ? ? y 。

　故原函数的值域为：

　] , [2121? ? y 。

　五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）

　1、求函数 x x y 4 13 3 2 ? ? ? ? 的值域。

　由于题中含有 x 4 13 ? 不便于计算，但如果令：

　x t 4 13 ? ? 注意 0 ? t 从而得：) 0 ( 32134132 2? ? ??? ??? t ttytx 变形得 ) 0 ( 8 ) 1 ( 22? ? ? ? ? t t y 即：

　] 4 , (?? ? y

　注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。

　2、已知 ) , ( y x p 是圆 42 2? ? y x 上的点，试求 xy y x t 32 2? ? ? 的值域。

　在三角函数章节中我们学过：

　1 cos sin2 2? ? ? ? 注意到 42 2? ? y x 可变形为：1 )2( )2(2 2? ?y x令 , 0 [ , sin2, cos2? ? ? ? ? ?y x2p)则? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 6 4 sin 2 cos 2 3 4 t 4 , 0 [ 2 ? ? 又 p)即 ] 1 , 1 [ 2 sin ? ? ? 故 ] 10 , 2 [? ? t

　3、试求函数 x x x x y cos sin cos sin ? ? ? 的值域。

　题中出现 x x sin cos ? ，而 x x x x x x cos sin 2 1 ) cos (sin , 1 cos sin2 2 2? ? ? ? ? 由此联想到将 x xsin cos 视为一整体，令 ] 2 , 2 [ cos sin ? ? ? ? x x t 由上面的关系式易得21cos sin cos sin 2 122?? ? ? ?tx x x x t 故原函数可变形为：] 2 , 2 [ 1 ) 1 (21, 2 ) 1 ( 2 ]) 2 , 2 [ (212 22? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? t t y t y ttt y ? 即

　] 221, 1 [ ? ? ? ? y

　六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）

　1、求函数xxycos 2sin 3??? 的值域。

　分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式

　1 21 2x xy yk??? ，将原函数视为定点(2，3)到动点 ) sin , (cos x x 的斜率，又知动点 ) sin , (cos x x 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：

　]33 2 6,33 2 6[? ?? y

　2、求函数 1 3 y x x ? ? ? ? 的值域。

　分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。

　2 4, ( ,1],2, (1,3),2 4, [3, ),x xy xx x? ? ? ?? ??? ???? ? ??? 在对应的区间内，画出此函数的图像，如图 1 所示，易得出函数的值域为 ) , 2 [ ?? 。

　七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：ab b a ab b a 2 , 22 2? ? ? ? ），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要 使最终的乘积结果中不含自变量 ，同时，利用此法时应注意取 " "? 成立的条件。）

　1、当 0 ? x 时，求函数248 ) (xx x f ? ? 的最值，并指出 ) (x f 取最值时 x 的值。

　因 为2 244 448 ) (xx xxx x f ? ? ? ? ? 可 利 用 不 等 式33 abc c b a ? ? ? 即 ：3244 4 3 ) (xx x x f ? ? ? ? 所以 12 ) ( ? x f 当且仅当244xx ? 即 1 ? x 时取“=”当 1 ? x 时) (x f 取得最小值 12。

　2、双曲线 12222? ?byax的离心率为1e ，双曲线 12222? ?axby的离心率为2e ，则2 1e e ? 的最小值是（）。

　A 2 2

　B4

　 C2

　 D 2

　根据双曲线的离心率公式易得：bb aab ae e2 2 2 22 1???? ? ，我们知道 xy y x 2 ? ?图1y=-2x+4y=2x-4YX4O23 1

　所以abb ae e2 22 12?? ? （当且仅当bb aab a2 2 2 2???时取“=”）而 ab b a 22 2? ?故 2 22 1? ? e e （当且仅当 b a ? 时取“=”）

　2 2 ) (mi n 2 1? ?e e 所以 。

　说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。

　3、求函数12???xxy的值域。

　解答：

　2 11112? ? ? ? ?? ??x xxx y ，当且仅当 1 ? x 时 " "? 成立。故函数的值域为) , 2 [ ?? ? y 。

　此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。

　4、求函数12 22?? ??xx xy的值域。

　解答：此题可以利用判别式法求解，这里考虑运用基本不等式法求解此题，此时关键是在分子中分解出 )" 1 ( " ? x 项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作，办法是设：2 2 ) )( 1 (2? ? ? ? ? ? x x c b x x ， 将上面等式的左边展开，有：

　) ( ) 1 (2c b x b x ? ? ? ? ， 故而 2 1? ? b ， 2 ? ?c b 。

　解得 1 ? b ， 1 ? c 。

　从而原函数1111 ) 1 )( 1 () 1 (? ?? ? ?? ? ? ?x xx xx y ； ⅰ)当 1 ? ? x 时， 0 1? ? x ， 011?? x，此时 2 ? y ，等号成立，当且仅当 0 ? x 。

　ⅱ)当 1 ? ? x 时， 0 ) 1 ( ? ? ? x ， 011? ?? x，此时有211) 1 (11) 1 (11 ) 1 )( 1 (? ????????? ? ? ? ??? ? ??? ? ??xxxxxx xy ， 等号成立，当且仅当 2 ? ? x 。

　综上，原函数的值域为：

　) , 2 [ ] 2 , ( ?? ? ? ?? ? y 。

　）

　八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 ) (x f k y ? ? ( 为 k 常数)的形式）

　1、求函数122? ???x xx xy 的值域。

　观察分子、分母中均含有 x x ?2项，可利用部分分式法；则有

　43)21(1111 11 22222? ?? ?? ?? ? ??? ???xx xx xx xx xy 不妨令：) 0 ) ( () (1) ( ,43)21( ) (2? ? ? ? ? x fx fx g x x f 从而 ? ? ????? ,43) (x f

　注意：在本题中应排除 0 ) ( ? x f ，因为 ) (x f 作为分母。所以????????43, 0 ) (x g 故 ? 1 ,31??? ?? y

　2、如对于函数2 31???xxy ，利用恒等变形，得到：) 2 3 ( 31312 331) 2 3 (31?? ??? ??x xxy ， 容易观察得出此函数的值域为 ) , ( ) , (3131?? ? ?? ? y 。

　注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。

　九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）

　1、求函数 ) 4 ( log221x x y ? ? 的值域。

　由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：) 0 ) ( ( 4 ) (2? ? ? ? x f x x x f 配方得：

　) 4 , 0 ) ( 4 ) 2 ( ) (2（ 所以 ? ? ? ? ? x f x x f 由复合函数的单调性（同增异减）知：

　) , 2 [ ?? ? ? y 。

　当函数 f 在 ) , ( b a 上单调，譬如 f 在 ) , ( b a 上递增时，自然有函数 f 在 ) , ( b a 上的值域为)) 0 ( ), 0 ( ( ? ? b f a f (其中 ) ( lim ) 0 ( ), ( lim ) 0 ( x f b f x f a fb x a x? ?? ?? ? ? ? ，当?? a x 时，?? ? ) (x f 也称其存在，记为 ) 0 ( ? a f );若 f 在 ) , ( b a 上递减，函数 f 在 ) , ( b a 上的值域为 )) 0 ( ), 0 ( ( ? ? a f b f 。在闭区间 ] , [ b a 上也有相应的结论。

　2、求函数 x x y ? ? ? ? 8 6 3 的值域。

　此题可以看作 v u y ? ? 和 6 3 ? ? x u ， x v ? ? ? 8 的复合函数，显然函数 6 3 ? ? x u为单调递增函数，易验证 x v ? ? ? 8 亦是单调递增函数，故函数 x x y ? ? ? ? 8 6 3 也是单调递增函数。而此函数的定义域为 ] 8 , 2 [? 。

　当 2 ? ? x 时， y 取得最小值 10 ? 。当 8 ? x 时， y 取得最大值 30 。

　故而原函数的值域为 ] 30 , 10 [? 。

　十、利用导数求函数的值域（若函数 f 在（a、b）内可导，可以利用导数求得 f 在（a、b）内的极值，然后再计算 f 在 a，b 点的极限值。从而求得 f 的值域）

　求函数 x x x f 3 ) (3? ? 在 ) 1 , 5 (? 内的值域。

　分析：显然 f 在 ) 3 , 5 (? 可导，且 3 3 ) (2? ? ? x x f 。由 0 ) ( ?? xf 得 f 的极值点为1 , 1 ? ? ? x x 。

　, 2 ) 1 ( ? ? f 2 ) 0 1 ( ? ? ? f 。

　140 ) 0 5 ( ? ? ? f 。

　所以，函数 f 的值域为 ) 140 , 2 (? 。