第3课时　函数性质综合问题

　第 第 3 课时

　函数性质的综合问题

　题型一 函数的单调性与奇偶性

　例 例 1

　(1)设 设 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，当 当 x>0 时，f(x) ＝ln x ＋e x .若 若 a ＝f( －π) ，b＝ ＝f(log 2 3) ，c ＝f(2－ 0.2 ) ，则 a ，b ，c 的大小关系为(

　) A ．b>a>c

　B ．c>b>a C ．a>b>c

　D ．a>c>b 【答案】C 【解析】当 当 x>0 时，f(x) ＝ln x ＋e x 为增函数， ∴ ∴f(x) 的图 像于 关于 y 轴对称，且在(－ － ∞ ，0)上 上 是 减 少的 ，在(0 ，＋∞ ∞)上 上 是 增 加的 ，a ＝f( －π) ＝f(π) ， 又 又 π>3>log 2 3>1>2－ 0.2 >0 ， ∴ ∴f(π)>f(log 2 3)>f(2－ 0.2 ) ， ∴ ∴a>b>c. (2)(2020· 新高考全国 Ⅰ 改编) 若定义在 R数 上的奇函数 f(x) 在(－ － ∞， ，0)上 上 是 减 少的 ，且 且 f(2) ＝0 ，则满足 xf(x －1) ≥0 的 的 x 的取值范围是(

　) A ．[ －1,1] ∪[3 ，＋∞ ∞)

　B ．[ －3 ，－1] ∪[0,1]

　C． ．[ －1,0] ∪[1 ，＋∞ ∞)

　D． ．[ －1,0] ∪[1,3] 【答案】D 【解析】数 因为函数 f(x) 为定义在 R 上的奇函数， 则 则 f(0) ＝0. 又 又 f(x) 在(－ － ∞， ，0)上 上 是 减 少且 ，且 f(2) ＝0， ， 数 画出函数 f(x) 的大致图 像 如图(1) 所示， 数 则函数 f(x －1) 的大致图 像 如图(2) 所示．

　当 当 x ≤0 时，要满足 xf(x －1) ≥0 ，则 f(x－ －1) ≤0 ， 得－1 ≤x ≤0. 当 当 x>0 时，要满足 xf(x －1) ≥0 ，则 f(x－ －1) ≥0 ， 得 得 1 ≤x ≤3. 足 故满足 xf(x －1) ≥0 的 的 x 的取值范围是[－ －1,0] ∪[1,3] ． [ 高考改编题] 若函数 f(x) 是定义域为 R 的 的奇函数，f(2) ＝0 ，且在(0 ，＋∞ ∞)上 上 是 增 加的足 ，则满足 f(x －1) ≥0 的 的 x 的取值范围是______ ，满足 f? ?x? ?x<0 的 的 x 的取值范围是______ ． 】

　【答案】[ －1,1] ∪[3 ，＋∞ ∞)

　( －2,0) ∪(0,2)

　【解析】数 由函数 f(x) 的性质，作出函数 f(x)的大致图 像 如图所示，

　∵ ∵f(x －1) ≥0 ，则－2 ≤x －1 ≤0 或 或 x－ －1 ≥2 ， 解得－1 ≤x ≤1 或 或 x ≥3. 当 f? ?x? ?x<0 时，xf(x)<0 ，即 f(x) 的图 像 在二、四象限， 即－2<x<0 或 或 0<x<2. 思维升华

　解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成f(x 1 )>f(x 2 )或 或 f(x 1 )<f(x 2 ) 的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的性质，画出 出 f(x) 的图 像 ，利用图 像 解不等式． 练 跟踪训练 1

　(1) 已知函数 f(x) 满足以下两：

　个条件：

　①意 任意 x 1 ， ，x 2 ∈ ∈(0 ，＋∞ ∞) 且 x 1 ≠ ≠x 2 ，(x 1 － －x 2 )[f(x 1 ) －f(x 2 )]<0； ； ② 对定义域内任意 意 x 有 有 f(x) ＋f( －x) ＝0 ，则符合条件的函数是(

　) A ．f(x) ＝2x

　B ．f(x) ＝1 －|x| C ．f(x) ＝－x 3

　 D ．f(x) ＝ln(x 2 ＋ ＋3) 【答案】C 【解析】

　由 ①知 知 f(x) 在(0 ，＋∞ ∞)上 上 是 减 少的 ，由 ②知 知 f(x) 为奇函数．

　(2) 已知偶函数 f(x) 在区间[0 ，＋∞ ∞)上 上 是 增加的 ，则满足 f(2x －1)<f ? ?? ?? ?? ?13的 的 x 的取值范围是________ ． 【答案】

　? ?? ?? ?? ?13 ， 23 【解析】有 依题意有 f(x) 在[0 ，＋∞ ∞)上 上 是 增加的 ，在(－ － ∞， ，0]上 上 是 减 少的 ，∴ ∴|2x－ －1|< 13 ，， 即－ 13 <2x －1< 13 ，解得 13 <x<23 .

　题型二 函数的奇偶性与周期性

　例 例 2

　(1)(2020· 德州联考) 已知定义在 R上 上数 的奇函数 f(x) 满足 f(x ＋2) ＝－f(x) ，当0 ≤x ≤1 时，f(x) ＝x 2 则 ，则 f(2 023) 等于(

　) A ．2 019 2

　 B ．1

　C ．0

　D ．－1 【答案】D 【解析】数 根据题意，函数 f(x) 满足 f(x ＋2)＝－f(x) ，则有 f(x ＋4) ＝－f(x ＋2) ＝f(x)， ，为 即函数是周期为 4 的周期函数，则 f(2 023)＝ ＝f( －1 ＋2 024) ＝f( －1) ，又函数 y ＝f(x)且 为奇函数，且 x ∈[0,1]， 时，f(x) ＝x 2 则 ，则 f(－ －1) ＝－f(1) ＝－1 ，故 f(2 023) ＝－1.

　(2)(2021· 济南模拟) 已知定义在 R 上的奇数 函数 f(x) 满足 f(x －4) ＝－f(x) ，且在区间[0,2]上 上 是 增 加的 ，则(

　) A ．f(2 019) ＝f(2 017)

　B ．f(2 019) ＝f(2 020) C ．f(2 020)>f(2 019)

　D ．f(2 020)>f(2 018) 【答案】A 【解析】为 因为 f(x) 满足 f(x －4) ＝－f(x) ， 以 所以 f(x －8) ＝f(x) ， 以 所以 f(x) 是以 8 为周期的函数，则 f(2 017)＝ ＝f(1) ，f(2 018) ＝f(2) ， 由 而由 f(x －4) ＝－f(x)得 得 f(2 019) ＝f(3) ＝－f( －3) ＝－f(1 －4) ＝f(1) ，f(2 020) ＝f(4)＝ ＝－ －f(0) ＝0 ， 为 又因为 f(x) 在[0,2]上 上 是 增 加的， ， 以 所以 f(2)>f(1)>f(0) ＝0 ，即 f(2 019) ＝f(2 017)， ，f(2 020)<f(2 019)， ，f(2 020)<f(2 018)． ． 思维升华

　已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解． 练 跟踪训练2

　(1) 已知f(x) 是R 上的奇函数，且 且 f(x ＋2) ＝f(x) ，则 f(2 020) ＋f(2 021)＝ ＝________. 【答案】0

　【解析】意 依题意 f(x) 为奇函数，且周期为2 ， ∴ ∴f(2 020) ＋f(2 021) ＝f(0) ＋f(1) ， ∵ ∵f(x) 为奇函数，f(0) ＝0 ，且 f( －1) ＝－f(1)， ，① ① 为 又周期为 2， ，∴ ∴f( －1) ＝f(1)， ，② ② 由 ①②得 解得 f(1) ＝f( －1) ＝0 ， ∴ ∴f(2 020) ＋f(2 021) ＝0. (2) 已知 f(x) 是定义在 R 上以 3 为周期的偶若 函数，若 f(1)<1 ，f(5) ＝2a －3 ，则实数 a的取值范围是________ ． 【答案】(－ － ∞， ，2) 【解析】∵ ∵f(x) 为偶函数，且周期为 3 ， ∴ ∴f(5) ＝f(5 －6) ＝f( －1) ＝f(1) ， ∵ ∵f(1)<1， ，∴ ∴f(5) ＝2a －3<1 ， 即 即 a<2.

　 题型三 函数的奇偶性与对称性

　例 例 3

　(1) 已知函数 f(x) 是定义域为 R 的奇足 函数，且满足 f(4 －x) ＝－f(x) ，则 f(x)的 的周期为(

　) A ．－4

　B ．2

　C ．4

　D ．6 【答案】C 【解析】∵ ∵f(4 －x) ＝－f(x) ， ∴ ∴f(x) 的图 像 关于点(2,0) 对称， ∴ ∴f( －x) ＝－f(x ＋4) ， 又∵ ∵f( －x) ＝－f(x) ， ∴ ∴f(x ＋4) ＝f(x) ． ∴ ∴T ＝4. (2) 函数 y ＝f(x) 对任意 x ∈R 都有 f(x ＋2)＝ ＝f( －x) 成立，且函数 y ＝f(x －1) 的图 像 关于点(1,0) 对称，f(1) ＝4 ，则 f(2 020) ＋f(2 021) ＋f(2 022) 的值为________ ． 【答案】4 【解析】数 因为函数 y ＝f(x －1) 的图 像 关于点 点(1,0) 对称， 数 所以函数 y ＝f(x) 的图 像 关于原点对称，即数 函数 f(x)是 是 R 上的奇函数， 以 所以 f(x ＋2) ＝－f(x) ，所以 f(x ＋4) ＝－f(x＋ ＋2) ＝f(x) ，故 f(x) 的周期为 4. 以 所以 f(2 021) ＝f(505 ×4 ＋1) ＝f(1) ＝4 ， 以 所以 f(2 020) ＋f(2 022) ＝f(2 020) ＋f(2 020

　＋ ＋2) ＝ ＝f(2 020) ＋f( －2 020) ＝f(2 020) －f(2 020)＝ ＝0 ， 以 所以 f(2 020) ＋f(2 021) ＋f(2 022) ＝4. 思维升华

　由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思路是按奇偶性、对称性的定义，可推导出周期性，二是可利用奇偶性、对称性画草图，利用图 像 判断周期性． 练 跟踪训练 3

　函数 f(x) 满足 f(x －1) 为奇函数，f(x ＋1) 为偶函数，则下列说法正确的是 是________ ．( 填序号) ① ①f(x) 的周期为 8 ； ② ②f(x) 关于点( －1,0) 对称； ③ ③f(x) 为偶函数； ④ ④f(x ＋7) 为奇函数． 【答案】

　①②④ 【解析】∵ ∵f(x －1) 为奇函数，∴ ∴f(x －1)的 的图 像 关于(0,0) 对称，∴ ∴f(x) 的图 像 关于点( －1,0) 对称， 又 又 f(x ＋1) 为偶函数， ∴ ∴f(x ＋1) 的图 像线 关于直线 x ＝0 对称， ∴ ∴f(x) 的图 像线 关于直线 x ＝1 对称， ∴ ∴f(x) 的图 像 关于点( －1,0) 和直线 x ＝1 对 对称， ∴ ∴f(x) 的周期为 8 ， ∴①② 正确， ③ 不正确．

　∵ ∵T ＝8， ，∴ ∴f(x ＋7) ＝f(x －1) ， 又 又 f(x －1) 为奇函数，∴ ∴f(x ＋7)， 为奇函数， 故 ④ 正确．

　题型四 函数的周期性与对称性

　例 例 4

　已知 f(x) 的定义域为 R ，其函数图像线 关于直线 x ＝－3 对称，且 f(x ＋3) ＝f(x－ －3) ，若当 x ∈[0,3] 时，f(x) ＝2 x ＋ ＋1 ，则下列结论正确的是________ ．( 填序号) ① ①f(x) 为偶函数； ② ②f(x) 在[ －6 ，－3]上 上 是 减 少的； ； ③ ③f(x) 关于直线 x ＝3 对称； ④ ④f(100) ＝5. 【答案】

　①③④ 】

　【解析】f(x) 的图 像线 关于直线 x ＝－3， 对称， 则 则 f( －x) ＝f(x －6) ， 又 又 f(x ＋3) ＝f(x －3) ，则 f(x) 的周期 T ＝6， ， ∴ ∴f( －x) ＝f(x －6) ＝f(x) ， ∴ ∴f(x) 为偶函数，故 ① 正确； 当 当 x ∈[0,3] 时，f(x) ＝2 x ＋ ＋1 是 是 增 加的， ， ∵ ∵T ＝6 ，故 f(x) 在[ －6 ，－3] 上也 是 增 加的 ，故 ② 不正确； f(x) 关于直线 x ＝－3 对称且 T ＝6 ， ∴ ∴f(x) 关于直线 x ＝3 对称，故 ③ 正确； f(100) ＝f(16 ×6 ＋4) ＝f(4) ＝f( －2) ＝f(2)＝ ＝5 ，故 ④ 正确．

　思维升华

　函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 练 跟踪训练 4

　函数 f(x) 是定义域为 R 的奇足 函数，满足 f(x －4) ＝－f(x)， ，f(x －4) ＝f(－ －x) ，且当 x ∈[0,2] 时，f(x) ＝2 x ＋ ＋log 2 x ，则f( －80) ，f( －25) ，f(11) 的大小关系为________ ． 【答案】f( －25)<f( －80)<f(11) 【解析】

　依题意，f(x) 的周期为 8 ，且 f(x)是奇函数，其图 像于 关于 x ＝2 对称，当x ∈[0,2] 时，f(x) 是 是 增 加的， ， ∴ ∴f(x) 在[ －2,2]上 上 是 增 加的， ， 又 又 f( －80) ＝f(0) ，f( －25) ＝f( －1) ，f(11)＝ ＝f(3) ＝f(1) ， ∴ ∴f( －1)<f(0)<f(1) ． 即 即 f( －25)<f( －80)<f(11) ．