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高二复数知识点精品

发布时间:2024-03-29 14:45:59 影响了:

高二复数知识点集锦

【导语】高二本身的知识体系而言,它主要是对高一知识的深入和新知识模块的补充。以数学为例,除去不同学校教学进度的不同,我们会在高二接触到更为深入的函数,也将开始学习从未接触过的复数、圆锥曲线等题型。东星资源网高二频道为你整理了《高二复数知识点》希望对你有所帮助!

【篇一】高二复数知识点

复数的概念:

形如a+bi(a,b∈r)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母c表示。

复数的表示:

复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈r),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。

复数的几何意义:

复平面、实轴、虚轴:

点z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈r)可用点z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数

复数的几何意义:复数集c和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。

复数的模:

复数z=a+bi(a、b∈r)在复平面上对应的点z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|z|,即|z|=

虚数单位i:

它的平方等于-1,即i2=-1;

实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立

i与-1的关系:i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i。

i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1。

复数模的性质:

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:

对于复数a+bi(a、b∈r),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈r)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。

【篇二】高二复数知识点

复数中的难点

(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好,对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难,对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明.

(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练.

(3)复数的辐角主值的求法.

(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的模和辐角都具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会.

复数中的重点

(1)理解好复数的概念,弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.

(2)熟练掌握复数三种表示法,以及它们间的互化,并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数,向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化,以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到,是一个重点内容.

(3)复数的三种表示法的各种运算,在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容,掌握复数各种形式的运算,特别是复数运算的几何意义更是重点内容.

(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

【篇三】高二复数知识点

复数定义

我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当虚部等于零时,这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,也即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数表达式

虚数是与任何事物没有联系的,是绝对的,所以符合的表达式为:

a=a+ia为实部,i为虚部

复数运算法则

加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

减法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

乘法法则:(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;

除法法则:(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c2+d2)]+[(bc-ad)/(c2+d2)]i.

例如:[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=0,最终结果还是0,也就在数字中没有复数的存在。[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=z是一个函数。

复数与几何

①几何形式

复数z=a+bi被复平面上的点z(a,b)确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

②向量形式

复数z=a+bi用一个以原点O(0,0)为起点,点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。

③三角形式

复数z=a+bi化为三角形式

2011年高考总复习制作:孙老师2010-11-17

复数知 识 点

1.⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即i2??1.⑵复数及其相关概念:

① 复数—形如a + bi的数(其中a,b?R);

② 实数—当b = 0时的复数a + bi,即a;

③ 虚数—当b?0时的复数a + bi;

④ 纯虚数—当a = 0且b?0时的复数a + bi,即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数) ⑥ 复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示.

复数是实数的充要条件:

① z=a+bi∈R?b=0(a、b∈R);②z∈R?z=z;③Z∈R?Z?Z2。

复数是纯虚数的充要条件:

① z=a+bi是纯虚数?a=0且b≠0(a、b∈R);②z是纯虚数或0?Z+z=0; ③z是纯虚数? z2<0。

⑶两个复数相等的定义:

a?bi?c?di?a?c且b?d(其中,a,b,c,d,?R)特别地a?bi?0?a?b?0.2⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.注:①若z1,z2为复数,则1?若z1?z2?0,则z1??z2.(×)[z1,z2为复数,而不是实数]

2?若z1?z2,则z1?z2?0.(√)

②若a,b,c?C,则(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分条件.(当(a?b)2?i2, (b?c)2?1,(c?a)2?0时,上式成立)

2、复数加、减、乘、除法的运算法则:

设z1?a?bi,z2?c?di(a,b,c,d?R),则z1?z2?(a?c)?(b?d)i;

z1?z2?(ac?bd)?(ad?bc)i;z1ac?bdbc?ad?2?2i。 22z2c?dc?d

加法的几何意义:设OZ1,OZ2各与复数z1,z2对应,以OZ1,OZ2为边的平行四边形的对角线OZ就与z1+z2对应。

减法的几何意义:设OZ1,OZ2各与复数z1,z2对应,则图中向量Z1Z2所对应的复数就是z2-z1。 |z1-z2|的几何意义是分别与Z1,Z2对应的两点间的距离。

3.⑴复平面内的两点间距离公式:d?z1?z2.其中z1,z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数,

d表示z1和z2间的距离.由上可得:复平面内以z0为圆心,r为半径的圆的复数方程:z?z0?r(r?0).⑵曲线方程的复数形式: ①z?z0?r表示以z0为圆心,r为半径的圆的方程.②z?z1?z?z2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③z?z1?z?z2?2a(a?0且2a?z1z2Z1,Z2为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若2a?z1z2,此方程表示线段Z1,Z2).④z?z1?z?z2?2a(0?2a?z1z2表示以Z1,Z2为焦点,实半轴长为a的双曲线方程(若2a?z1z2,此方程表示两条射线).⑶绝对值不等式:

设z1,z2是不等于零的复数,则 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.

左边取等号的条件是z2??z1(??R,且??0),右边取等号的条件是z2??z1(??R,??0).②z1?z2?z1?z2?z1?z2.

左边取等号的条件是z2??z1(??R,??0),右边取等号的条件是z2??z1(??R,??0).注:A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.

4.共轭复数:两个复数实部相等,虚部互为相反数。即z=a+bi,则z=a-bi,(a、b∈R),实数的共轭复数是其本身

性质22z?z、z1?z2?z1?z2、z?z?2a,z?z?2bi(z?a + bi)、z?z?|z|?|z|

??nnz1?z2?z1?z

2、z1?z2?z1?z

2、?z1??z1(z2?0)、z?(z) ???z2?z

2注:两个共轭复数之差是纯虚数.(×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的]

nz??z??z?...z(n?N?)②对任何z,z1,z2?C及m,n?N?有 5.⑴①复数的乘方:z???

n

mnm?nmnm?nnnn③z?z?z,(z)?z,(z1?z2)?z1?z2

注:①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果,如i??1,i?1若由i?2421142(i)?12?1就会得到?1?1的错误结论.②在实数集成立的|x|?x2.当x为虚数时,|x|?x2,所以复数集内解方程不

能采用两边平方法.⑵常用的结论:

i??1,i24n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1i?i

i, 2nn?1?in?2?in?32?0,(n?Z) (1?i)??2i,1?i1?i?i,??i 1?i1?i若?是1的立方虚数根,即????

21nn则?3 ? 1 , ??? ?2, ?1 ? ?n ? 2(.??,?? ,1?? 0?? ?? 0n?Z)?

6.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件: 12

①z?R?z?z.②若z?0,z是纯虚数?z?z?0.

⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数.特例:零向量的方向是任意的,其模为零.

注:|z|?|z|.

7.复数集中解一元二次方程:

2在复数集内解关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)时,应注意下述问题:

①当a,b,c?R时,若?>0,则有二不等实数根x1,2?

?b??|i

2a?b??b;若?=0,则有二相等实数根x1,2??;2a2a若?<0,则有二相等复数根x1,2?(x1,2为共轭复数).

②当a,b,c不全为实数时,不能用?方程根的情况.

③不论a,b,c为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.

【典型例题】

2m2?3m?2例

1、当m为何实数时,复数z=+(m2+3m-10)i; 2m?2

5(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.

解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.

?m2?3m?10?0(1)z为实数,则虚部m+3m-10=0,即?, 2?m?25?0

2解得m=2,∴ m=2时,z为实数。

?m2?3m?10?0(2)z为虚数,则虚部m+3m-10≠0,即?, 2?m?25?02

解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时,z为虚数.

?2m2?3m?2?0?(3)?m2?3m?10?0,

?2?m?25?0

11解得m=-, ∴当m=-时,z为纯虚数. 22

诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时必须具备的相应条件,还应特别注意分母不为零这一

要求.

2、(1) 使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m=.解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法.

∵ m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10, 且虚数不能比较大小,

?m2?10?|m|?10??2?,解得?m?0或m?3,?m?3.∴?m?3m?0

?2?m?3或m?1m?4m?3?0???

当m=3时,原不等式成立.

注:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

(2) 已知z=x+yi(x,y∈R),且 2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i,求z.

解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法.

?2x?y?8?0?x?y?3∵ 2?ilog2x?8?(1?log2y)i,∴?,∴?, logx?1?logyxy?2??2

2?x?2?x?1解得?或?, ∴ z=2+i或z=1+2i. y?1y?2??x?y

注:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点,正确、熟练地解方程(指数,对数方程)。

3、若复数z满足z=1?ti(t∈R),求z的对应点Z的轨迹方程. 1?ti

解:此题主要考查复数的四则运算,点的轨迹方程的求法等.

1?ti(1?ti)21?t22t设z=x+yi,(x, y∈R),∵ z==??i, 221?ti(1?ti)(1?ti)1?t1?t

?1?t

2x??2?1?t∴ ?,消去参数 t,得x2+y2= 1,且x≠-1.

?y?2t

?1?t2?

∴ 所求z的轨迹方程为x2+y2=1(x≠-1).

诠释:解此题应抓住复数相等的充要条件,从而得到参数方程,消去参数,或者利用模的定义和性质,求出|z|即可.

【模拟试题】

一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)

1、设条件甲:x=0,条件乙:x+yi(x,y∈R)是纯虚数,则()

A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件

C、甲是乙的充分必要条件D、甲是乙的既不充分,又不必要条件

2、已知关于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实根,则实数m应取的值是()

111B、m≤-C、m= 4412A、m≥- D、m=-1 1

2(?1?)

3、?2?i

(1?i)6?1?2i等于()

A、0B、1C、-1D、i

4、设f(z)=|1+z|-,若f(-)=10-3i,则z等于()

A、5+3iB、5-3iC、-5+3iD、-5-3i

5、方程x2+(k+2i)x+2+ki=0至少有一实根的条件是()

A、-22≤k≤22B、k≤-22或k≥2

2C、k=±22D、k≠2

26、若2+3i是方程x2+mx+n=0的一个根,则实数m,n的值为(

A、m=4,n=-3B、m=-4,n=1

3C、m=4,n=-21D、m=-4,n=-

5二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

7、已知下列命题:

(1)在复平面中,x轴是实轴,y轴是虚轴;

(2)任何两个复数不能比较大小;

(3)任何数的偶次幂都是非负数;

(4)若 t+si=3-4i,则 t=

3、s=-4.

其中真命题为.

8、若复数z满足z+12||=-1+2i,则z.9、设z∈C,|z|=1,则|z++i|的最大值为.

三、解答题(本大题共4题,共50分)

10、设z

z?1是纯虚数,求复数z对应的点的轨迹方程.

11、已知复数z满足|z|=5,且(3+ 4i)z是纯虚数,求z.

试题答案

1、B

7、(1)

8、-

2、C

3、A

4、B

5、C

6、B 8+2i

39、

310、解:此题主要考查复数的有关概念及性质,四则运算和点的轨迹方程的求法.

zzzz??0, 是纯虚数,∴ ()??0,即z?1?1z?1z?1z?

12z??z?∴2z+z+=0,(z≠0,z≠-1), ?0,∴(?1)(z?1)∵

设z=x+yi,(x,y∈R),2(x2+y2)+2x=0(y≠0)

∴ (x+1221)+y=(y≠0)即为复数z对应的点的轨迹方程. 2

4诠释:解此题应抓住虚数的定义和共轭复数的性质,利用运算法则进行求解。

11、解:此题主要考查复数的有关概念,复数的运算,模的定义及计算.

设 z=x+yi(x, y∈R),∵|z|=5,

∴x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,

?x?4?x??4?3x?4y?0或?∴ ?,联立三个关系式解得?, y?3y??34x?3y?0???

∴ z=4+3i或z=-4-3i.

作者的文章是应该多读读。

好文大家有。

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