方法技巧专题15,方程解与函数零点问题（原卷版）
方法技巧专题 15
方程的根与函数的零点问题
一、
方程的根与函数的零点问题知识框架
1. 例题 【例 1】设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为(
) A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4) 【例 2】函数 y＝ln(x＋1)与 y＝ 1x 的图象交点的横坐标所在区间为(
) A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4) 【例 3】函数 （ ）的导函数的图象如图所示：
（1）求 的值并写出 的单调区间； （2）若函数 有三个零点，求 的取值范围．
二、函数零点存在性判断
1 、函数零点存在性判断：（此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数）
若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数 y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程 f(x)＝0 在区间(a，b)内至少有一个实数解． 2 、求函数零点所在区间的方法：
(1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
2.巩固提升综合练习 【练习 1】函数 f(x)＝3x－7＋ln x 的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则 n＝________． 【练习 2】若 a＜b＜c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)
B．(－∞，a)和(a，b)
C．(b，c)和(c，＋∞)
D．(－∞，a)和(c，＋∞) 【练习 3】已知函数 ? ?21cos 14f x x x ? ? ? . （1）证明：
? ? 0 f x ? ， ,2 2x? ? ? ?? ?? ?? ?； （2）判断 ? ? y f x ? 的零点个数，并给出证明过程.
三、方程的根与函数零点个数
1 、方程的根与函数零点的关系：
函数 y＝f(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)＝0 有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝0(即 x 轴)有交点． 2 2 、求方程的根与函数零点个数的方法：
(1)解方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1.例题 【例 1】已知函数 f(x)＝? ???? x－2，x>0，－x 2 ＋bx＋c，x≤0满足 f(0)＝1，且 f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数 g(x)＝f(x)＋x 的零点个数为________． 【例 2】函数 1 log 2 ) (5 . 0? ? x x fx的零点个数为(
) A．1
B．2
C．3
D．4 【例 3】已知函数
.
（1）求 在 处的切线方程； （2）试判断 在区间 上有没有零点？若有则判断零点的个数.
2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知函数 f(x)＝? ???? 2－|x|，x≤2，?x－2? 2 ，x＞2，函数 g(x)＝3－f(2－x)，则函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数为(
) A．2
B．3
C．4
D．5 【练习 2】若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数 y＝f(x)－log 3 |x| 的零点个数是________． 【练习 3】已知函数 （ ， ）． （1）若 在 上单调递减，求 的取值范围； （2）当 时，判断关于 的方程 的解的个数．
【练习 4】已知函数 ( ) ln ,( )af x x a Rx? ? ? . （Ⅰ）求函数( ) f x 在区间 (0, ] e 上的最小值； （Ⅱ）判断函数( ) f x 在区间2[ , ) e ? ?? 上零点的个数.
四、利用函数的零点求参数范围
1.例题 【例 1】已知方程|x 2 －a|－x＋2＝0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是(
) A．(0，4)
B．(4，＋∞)
C．(0，2)
D．(2，＋∞) 【例 2】已知 ) (x f 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0，3)时，212 ) (2? ? ? x x x f ．若函数a x f y ? ? ) ( 在区间[－3，4]上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________． 【例 3】已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)若函数 恰有 2 个零点，求实数 的取值范围.
已知函数有零点( 方程有根) 求参数取值范围常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2.巩固提升综合练习 【练习 1】若函数 f(x)＝ax 2 －x－1 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值为(
) A．0
B．－ 14
C．0 或－14
D．2 【练习 2】已知函数xx x f ??????? ?31log ) (2，若实数0x 是方程0 ) ( ? x f 的解，且0 10 x x ? ? ，则 ) (1x f 的值为(
) A．恒为负
B．等于零
C．恒为正
D．不小于零 【练习 3】已知 x∈R，符号[ x ]表示不超过 x 的最大整数，若函数 f(x)＝ [x]x－a(x≠0)有且仅有3 个零点，则a 的取值范围是(
) A． ????34 ，45∪ ????43 ，32
B． ????34 ，45∪ ????43 ，32
C． ????12 ，23∪ ????54 ，32
D．????12 ，23∪ ????54 ，32 【练习 4】【2018 年理数全国卷 II】已知函数 ． （1）若 ，证明：当 时， ； （2）若 在 只有一个零点，求 ．
【练习 5】
11.已知函数 , R a? .
（Ⅰ）当 时,求 的单调区间和极值； （Ⅱ)若关于 的方程 恰有两个不等实根,求实数 的取值范围；
五、 课后自我检测
1．已知函数 xxx f2log6) ( ? ? ，在下列区间中，包含 ) (x f 零点的区间是(
) A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，4)
D．(4，＋∞) 2．方程 3 log 3 ? ?x x 的根所在的区间为(
) A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4) 3．设 a 1 ，a 2 ，a 3 均为正数，λ 1 ＜λ 2 ＜λ 3 ，则函数 f(x)＝a 1x－λ 1 ＋a 2x－λ 2 ＋a 3x－λ 3 的两个零点分别位于区间(
) A．(－∞，λ 1 )和(λ 1 ，λ 2 )内
B．(λ 1 ，λ 2 )和(λ 2 ，λ 3 )内 C．(λ 2 ，λ 3 )和(λ 3 ，＋∞)内
D．(－∞，λ 1 )和(λ 3 ，＋∞)内 6．已知函数???? ?? ??1 , log 11 , 1 2) (2x xxx fx，则函数 ) (x f 的零点为(
) A． 12 ，0
B．－2，0
C． 12
D．0 7．已知函数f(x)＝? ???? 2 x －1，x＞0，－x 2 －2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________． 8．已知函数 f(x)＝? ???? 2 x －a，x≤0，x 2 －3ax＋a，x＞0有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是________． 9.已知函数 的两个零点为 ． （1）求实数 m 的取值范围； （2）求证：
．
10、已知函数 ? ? ? ?xf x e x a a R ? ? ? ? . （1）当 0 a ? 时，求证：
? ? f x x ? ； （2）讨论函数 ? ? f x 零点的个数.
11.【2017 课标 1，理 21】已知函数2( ) ( 2)x xf x ae a e x ? ? ? ? . （1）讨论 ( ) f x 的单调性； （2）若 ( ) f x 有两个零点，求 a 的取值范围.
12.已知函数 f（x）=31, ( ) ln4x ax g x x ? ? ? ? . （1）当 a 为何值时，x 轴为曲线 ( ) y f x ?
的切线； （2）用 min
? ? , m n
表示 m,n 中的最小值，设函数 ? ? ( ) min ( ), ( ) ( 0) h x f x g x x ? ?
，讨论 h（x）零点的个数.