2021动量定理和电荷量q公式电磁感应中应用—高中物理三轮复习重点题型考前突破

　一、利用动量定理和 q＝ΔΦR求时间和位移 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：

　错误!

　1、如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为 L 的区域内，有一个边长为 a（a<L）的正方形闭合线圈以初速 v0 垂直磁场边界滑过磁场后速度变为 v（v<v0

　A．完全进入磁场中时线圈的速度大于（v0+v）/2

　B．安全进入磁场中时线圈的速度等于（v0+v）/2； C．完全进入磁场中时线圈的速度小于（v0+v）/2； D．以上情况 A、B 均有可能，而 C

　答案：B 解析：设线圈完全进入磁场中时的速度为 vx。线圈在穿过磁场的过程中所受合外力为安培力。对于线圈进入磁场的过程，据动量定理可得：

　???? ? ? ?RBa t F02mv mvRBaBax? ? ?

　对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得：

　???? ? ? ?RBa t Fxmv mvRBaBa ? ? ?2 由上述二式可得20v vv x?? ，即 B 选项正确。

　L a a

　2．(2020·兰州、张掖联考)如图所示，间距为 L、电阻不计的足够长的平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为 R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为 m、电阻也为 R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好。整个装置处于竖直向上、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。现使金属棒以初速度 v 沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过金属棒某横截面的电荷量为 q。下列说法正确的是(

　) A．金属棒在导轨上做匀减速运动 B．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为qRBL

　C．整个过程中金属棒克服安培力做的功为12 mv2 D．整个过程中电阻 R 上产生的焦耳热为12 mv2 :答案：C 解析 本题考查导体棒切割磁感线时产生的感应电动势、闭合电路欧姆定律、电磁感应中的能量转化等知识点，意在考查考生的逻辑推理能力。金属棒切割磁感线产生感应电动势，产生感应电流，金属棒受到向左的安培力，做减速运动，由于速度减小，电动势减小，则电流减小，安培力减小，根据牛顿第二定律知，加速度减小，金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，选项 A 错误；根据 q＝ΔΦR总 ＝BLs2R，

　可得金属棒在导轨上发生的位移 s＝2RqBL，选项 B 错误；根据动能定理得，W 安＝0－12 mv2，则金属棒克服安培力做的功为12 mv2，选项C 正确；根据能量守恒得，减少的动能全部转化为整个回路产生的热量，则电阻 R 产生的热量 QR＝14 mv2，选项 D 错误。

　3.如图所示，两根电阻不计的平行光滑金属导轨在同一水平面内放置，左端与定值电阻 R 相连，导轨 x>0 一侧存在着沿 x 轴方向均匀增大的磁场，磁感应强度与 x 的关系是 B＝0.5＋0.5x(T)，在外力 F 作用下一阻值为 r 的金属棒从 A1 运动到 A3，此过程中电路中的电功率保持不变．A1 的坐标为 x1＝1 m，A2 的坐标为 x2＝2 m，A3 的坐标为x3＝3 m，下列说法正确的是(

　) A．回路中的电动势既有感生电动势又有动生电动势 B．在 A1 与 A3 处的速度之比为 2∶1 C．A1 到 A2 与 A2 到 A3 的过程中通过导体横截面的电荷量之比为 3∶4 D．A1 到 A2 与 A2 到 A3 的过程中产生的焦耳热之比为 5∶7 答案：D 解析：因为磁场不随时间变化，故此过程中，只有动生

　电动势，没有感生电动势，故 A 错误；A1 处的磁感应强度 B1＝1 T，A3 处的磁感应强度 B3＝2 T，因为电功率不变，故电流不变，又因为 E＝Blv，I＝BlvR＋r ，则v1v3 ＝B3B1 ＝21 ，故 B 正确；由 q＝ΔΦR＋r ＝ΔBSR＋r 及B-x 图象可得，两个过程中的面积之比，就是电荷量之比，故q1q2 ＝S1S2＝57 ，故 C 错误；由 F 安-x 图象可得，两个过程中的面积之比就是焦耳热之比，故Q1Q2 ＝S3S4 ＝57 ，故 D 正确．

　 4.(多选)如图所示，水平桌面上固定着两相距 L＝1 m 的足够长的平行金属导轨，导轨右端接电阻 R＝1 Ω，在导轨间存在无数宽度相同的有界匀强磁场区域，磁感应强度为 B＝1 T，方向竖直向下，任意两个磁场区域之间有宽为 s0＝0.3 m 的无场区，金属棒 CD 质量为m＝0.1 kg，接入导轨间的电阻为 r＝1 Ω。水平置于导轨上，用绝缘水平细线通过定滑轮与质量也为 m 的物体 A 相连。金属棒从距最左边磁场区域左边界 s

　＝0.4 m 处由静止释放，运动过程中金属棒始终保持与导轨垂直，在金属棒穿过两磁场区域的过程中，通过电阻 R 的电流变化情况相同，且金属棒从进入磁场开始通过每个区域的时间均相同，重力加速度为g＝10 m/s2，不计其他电阻、摩擦力。则下列说法正确的是(图中并未把所有磁场都画出)(

　) A．金属棒每次进入磁场时的速度为 2 m/s，离开磁场时速度均为 1 m/s B．每个磁场区域的宽度均为 0.8 m C．金属棒在每个磁场区域运动的时候电阻R上产生的电热为1.3 J D．从进入磁场开始，电流的有效值为 138 A 答案：AB 解析：由题意知金属棒穿过两磁场区域的过程中，通过电阻 R 的电流变化情况相同，即进入每个磁场区域的初速度相同，穿出每个磁场区域的末速度也相同；设金属棒刚进入Ⅰ区的速度为 v1，由机械能守恒定律可得 mgs＝12 ×2mv12，解得 v1＝2 m/s，即每次进入磁场时的速度为 2 m/s ，金属棒在Ⅰ区和Ⅱ区之间的无磁场区域运动，对金属棒有 T＝ma，对物体 A 有 mg－T＝ma，解

　得 a＝g2 ＝5 m/s2，由 v12－v22＝2as0，解得 v2＝1 m/s，即离开磁场时的速度为 1 m/s，A 正确；由于金属棒通过每个区域的时间相同，故通过磁场区域和通过无磁区域的时间相等，为 t＝v1－v2a＝0.2 s，金属棒通过磁场区域时，对金属棒有－Ft＋IT＝mv2－mv1，对物体 A 有 mgt－IT＝mv2－mv1，又知 Ft＝BILt＝BLq，q＝ΔΦR＋r ＝BLdR＋r ，整理得 t＝B2L2dmg R＋r＋2 v2－v1g＝0.2 s，解得 d＝0.8 m，B 正确；导体棒的电阻和 R 相等，并且两者串联在电路中，故两者产生的热量相等，根据能量守恒定律可得经过每一个磁场区域时有mgd＝12 ×2mv22－12 ×2mv12＋2Q，解得 Q＝0.55 J，C 错误；导体棒经过一个磁场区域和一个无磁区域为一个周期，则在这个周期内，通过磁场区域时，有电流产生，其余时间无电流产生，根据有效值的定义可知 I2(R＋r)·2t＝2Q＋0，解得 I＝ 118 A，D 错误。

　5.如图，足够长的 U 型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中 MN 与 PQ 平行且间距为 L，导轨平面与磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒 ab 由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab 棒接入电路的电阻为 R，当流

　过 ab 棒某一横截面的电量为 q 时，棒的速度大小为 v，则金属棒 ab在这一过程中(

　) A．运动的平均速度大小为12

　v

　 B．下滑的位移大小为qRBL

　C．产生的焦耳热为 qBLv

　D．受到的最大安培力大小为B2L2vRsinθ 答案：B 解析 流过 ab 棒某一截面的电量 q＝ I ·t＝BΔSRt·t＝BL·xR，ab 棒下滑的位移 x＝qRBL ，其平均速度 v＝xt ，而棒下滑过程中做加速度减小的加速运动，故平均速度不等于12 v，A 错误 B 正确；由能量守恒 mgxsinθ＝Q＋12 mv2，产生的焦耳热 Q＝mgxsinθ－12mv2＝mgqRBL sinθ－12 mv2，C 错误；当 mgsinθ＝B2L2vR时 v 最大，安培力最大，即 F 安 m＝mgsinθ或B2L2vR，D 错误． 6.如图所示，宽度 l＝1 m 的足够长的 U 形金属框架水平放置，框架处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度 B＝1 T，框架导轨上放一根质量 m＝0.2 kg、电阻 R＝1.0 Ω的金属棒 ab，棒 ab 与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5.现用功率为 6 W 的牵引力 F 使棒从静止开始沿导轨运动(ab 棒始 终与导轨接触良好且垂直)．当棒的电阻 R 产生热 量 Q＝5.8 J 时获得稳定速度，此过程中，通过棒 的电荷

　量 q＝2.8 C(框架电阻不计， g 取 10 m/s2)．问：

　(1)ab 棒达到的稳定速度为多大？ (2)ab 从静止到达稳定速度的时间为多少？ 解析 (1)P＝Fv，F 安＝BIl，I＝BlvR 棒达稳定速度时，F＝F 安＋μmg， 解得 v＝2 m/s. (2)设棒由静止到达稳定速度通过的距离为 x，由能量守恒定律得 Pt＝Q＋μmgx＋12 mv2， 因 q＝ I ·Δt， I ＝ER， E ＝ΔΦΔt，ΔΦ＝Bxl 故 q＝BxlR，x＝qRBl，解得 t＝1.5 s. 答案 (1)2 m/s (2)1.5 s 7.如图所示，足够长的金属导轨固定在水平面上，金属导轨宽度 L＝1.0 m，导轨上放有垂直导轨的金属杆 P，金属杆质量为 m＝0.1 kg，空间存在磁感应强度 B＝0.5 T、竖直向下的匀强磁场。连接在导轨左端的电阻 R＝3.0 Ω，金属杆的电阻 r＝1.0 Ω，其余部分电阻不计。某时刻给金属杆一个水平向右的恒力 F，金属杆 P 由静止开始运动，图乙是金属杆 P 运动过程的 v－t 图象，导轨与金属杆间的动摩擦因数μ＝0.5。在金属杆 P 运动的过程中，第一个 2 s 内通过金属杆 P的电荷量与第二个2 s内通过P的电荷量之比为3∶5。g取10 m/s2。求：

　 (1)水平恒力 F 的大小； (2)前 4 s 内电阻 R 上产生的热量。

　解析 (1)由图乙可知金属杆 P 先做加速度减小的加速运动，2 s 后做匀速直线运动 当 t＝2 s 时，v＝4 m/s，此时感应电动势 E＝BLv 感应电流 I＝ER＋r

　安培力 F′＝BIL＝B2L2vR＋r 根据牛顿运动定律有 F－F′－μmg＝0 解得 F＝0.75 N。

　(2)通过金属杆 P 的电荷量 q＝ I－ t ＝E－R＋r ·t 其中 E－ ＝ ΔΦt＝BLxt 所以 q＝BLxR＋r ∝x(x 为 P 的位移) 设第一个 2 s 内金属杆 P 的位移为 x1，第二个 2 s 内 P 的位移为 x2 则ΔΦ1＝BLx1，ΔΦ2＝BLx2＝BLvt

　又由于 q1∶q2＝3∶5 联立解得 x2＝8 m，x1＝4.8 m 前 4 s 内由能量守恒定律得 F(x1＋x2)＝12 mv2＋μmg(x1＋x2)＋Qr＋QR 其中 Qr∶QR＝r∶R＝1∶3 解得 QR＝1.8 J。

　答案 (1)0.75 N (2)1.8 J 8．如图所示，质量为 M 的 U 形金属架 M′MNN′，静止在粗糙绝缘水平面上(与水平面间的动摩擦因数为μ)，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。M′M、NN′相互平行，相距为 L，电阻不计且足够长，底边 MN 垂直于 M′M，电阻为 r。质量为 m 的光滑导体棒 ab 长为L、电阻为 R，垂直 M′M 放在框架上，整个装置处于垂直框架平面向上，磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中。在与 ab 垂直的水平拉力 F作用下，ab 由静止开始向右做匀加速直线运动，经 x 距离后撤去拉力 F，直至最后停下，整个过程中框架恰好没动，ab 与 M′M、NN′始终保持良好接触。求 ab 运动的总路程。

　解析：由题意可知当框架恰好不动时，ab 速度最大，则有 FA＝fm＝μ(M＋m)g

　而 FA＝BIL 且 I(R＋r)＝BLvm 解得 vm＝μg M＋m R＋rB2L2 撤去拉力 F 后 ab 在安培力作用下做减速运动，由动量定理可知FA′t＝mvm 而 FA′＝B I L，且 q＝ I t，联立解得 q＝mvmBL 又因为 q＝ΔΦR＋r ＝BLx′R＋r ， 解得 x′＝μmg M＋m R＋r 2B4L4 所以总路程 s＝x＋x′＝x＋μmg M＋m R＋r 2B4L4。

　答案：x＋μmg M＋m R＋r 2B4L4 9．如图甲所示，一足够长阻值不计的光滑平行金属导轨 MN、PQ 之间的距离 L＝0.5 m，NQ 两端连接阻值 R＝2.0 Ω的电阻，磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨平面与水平面间的夹角θ＝30°.一质量 m＝0.40 kg，阻值 r＝1.0 Ω的金属棒垂直于导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量M＝0.80 kg的重物相连．细线与金属导轨平行．金属棒沿导轨向上滑行的速度 v 与

　时间 t 之间的关系如图乙所示，已知金属棒在 0～0.3 s 内通过的电量是 0.3～0.6 s 内通过电量的23 ，g＝10 m/s2，求：

　(1)0～0.3 s 内金属棒通过的位移； (2)金属棒在 0～0.6 s 内产生的热量． 解析：(1)金属棒在 0.3～0.6 s 内通过的电量是 q1＝I1t1＝BLvt1R＋r 金属棒在 0～0.3 s 内通过的电量 q2＝ΔΦR＋r ＝BLx2R＋r 由题中的电量关系q1q2 ＝32 ，代入解得：x2＝0.3 m. (2)金属棒在 0～0.6 s 内通过的总位移为 x＝x1＋x2＝vt1＋x2，代入解得 x＝0.75 m 根据能量守恒定律 Mgx－mgxsinθ＝12 (M＋m)v2＋Q 代入解得 Q＝3.15 J 由于金属棒与电阻 R 串联，电流相等，根据焦耳定律 Q＝I2Rt，得到它们产生的热量与电阻成正比，所以金属棒在 0～0.6 s 内产生

　的热量 Qr＝rR＋r Q＝1.05 J. 答案：(1)0.3 m (2)1.05 J 10．如图所示，质量为 M 的 U 形金属架 M′MNN′，静止在粗糙绝缘水平面上(与水平面间的动摩擦因数为μ)，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。M′M、NN′相互平行，相距为 L，电阻不计且足够长，底边 MN 垂直于 M′M，电阻为 r。质量为 m 的光滑导体棒 ab 长为L、电阻为 R，垂直 M′M 放在框架上，整个装置处于垂直框架平面向上，磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中。在与 ab 垂直的水平拉力 F作用下，ab 由静止开始向右做匀加速直线运动，经 x 距离后撤去拉力 F，直至最后停下，整个过程中框架恰好没动，ab 与 M′M、NN′始终保持良好接触。求 ab 运动的总路程。

　解析：由题意可知当框架恰好不动时，ab 速度最大，则有 FA＝fm＝μ(M＋m)g 而 FA＝BIL 且 I(R＋r)＝BLvm 解得 vm＝μg M＋m R＋rB2L2

　撤去拉力 F 后 ab 在安培力作用下做减速运动，由动量定理可知FA′t＝mvm 而 FA′＝B I L，且 q＝ I t，联立解得 q＝mvmBL 又因为 q＝ΔΦR＋r ＝BLx′R＋r ， 解得 x′＝μmg M＋m R＋r 2B4L4 所以总路程 s＝x＋x′＝x＋μmg M＋m R＋r 2B4L4。

　答案：x＋μmg M＋m R＋r 2B4L4 11.如图甲所示，两条相距 l 的光滑平行金属导轨位于同一竖直面(纸面)内，其上端接一阻值为 R 的电阻，在两导轨间 OO′下方区域内有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。现使长为 l、电阻为 r、质量为 m 的金属棒 ab 由静止开始自 OO′位置释放，向下运动距离 d 后速度不再变化(棒 ab 与导轨始终保持良好的接触且下落过程中始终保持水平，导轨电阻不计)。

　(1)求棒 ab 在向下运动距离 d 过程中回路产生的总焦耳热； (2)棒ab从静止释放经过时间t0下降了d2 ，求此时刻的速度大小； (3)如图乙所示，在 OO′上方区域加一面积为 S 的垂直于纸面向里的匀强磁场 B′，棒 ab 由静止开始自 OO′上方某一高度处释放，自棒 ab 运动到 OO′位置开始计时，B′随时间 t 的变化关系 B′＝kt，式中 k 为已知常量；棒 ab 以速度 v0 进入 OO′下方磁场后立即施加一竖直外力使其保持匀速运动。求在 t 时刻穿过回路的总磁通量和电阻R 的电功率。

　[解析] (1)对闭合回路：I＝BlvmR＋r 由平衡条件可知：mg＝BIl

　 解得 vm＝mg R＋rB2l2 由功能关系：mgd＝12 mvm2＋Q

　 解得 Q＝mgd－m3g2 R＋r 22B4l4 (2)由动量定理可知：(mg－BIl)t0＝mv 即 mgt0－Blq＝mv

　 又 q＝ΔΦ1r＋R ＝Bld2r＋R

　解得 v＝gt0－B2l2d2m R＋r。

　(3)因为Φ＝Blv0t＋ktS 由法拉第电磁感应定律可得：E＝ΔΦΔt＝Blv0＋kS I＝ER＋r ，P＝I2R 解得 P＝ ? ?????Blv0＋kSR＋r2R。

　[ 答 案 ] (1)mgd －m3g2 R＋r 22B4l4 (2)gt0 －B2l2d2m R＋r

　(3)Blv0t＋ktS ??????Blv0＋kSR＋r2R

　12.如图所示，倾角θ＝45°的金属导轨 MON 固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。一根与 ON 垂直的导体棒 ab 在水平外力 F 作用下以恒定速度 v0 沿导轨 MON 向右滑动，导体棒的质量为 m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为 r。导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t＝0 时，导体棒位于 O处，求：

　(1)t 时刻流过导体棒的电流 I 的大小和方向； (2)导体棒做匀速直线运动时水平外力 F 的表达式；

　(3)导体棒在 0～t 时间内产生的焦耳热 Q； (4)若在 t0 时刻将外力 F 撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 x。

　解析：(1)0～t 时间内，导体棒的位移 s＝v0t t 时刻，导体棒接入电路的长度 l＝s 导体棒的电动势 E＝Blv0 回路总电阻 R＝(2s＋ 2s)r 电流的大小 I＝ER ＝Bv02＋ 2 r

　由右手定则知电流方向由 b→a。

　(2)由题意知导体棒做匀速运动，故水平外力 F＝F 安＝BIl 解得：F＝B2v02t2＋ 2 r 。

　(3)t 时刻导体棒的电功率 P＝I2R′，R′＝lr 解得：P＝B2v03t2＋ 2 2r

　因为 P∝t，所以 Q＝P2 t＝B2v03t22 2＋ 2 2r 。

　(4)撤去外力 F 后，设任意时刻 t 导体棒的坐标为 x，速度为 v，

　取很短时间Δt 或很短距离Δx，在 t～t＋Δt 时间内，由动量定理得 BI′xΔt＝mΔv ∑B22＋ 2 r ·xΔtv＝∑mΔv B22＋ 2 r ΔS＝mv0 方法一：撤去外力 F 后，导体棒扫过的面积 ΔS＝x0＋x x－x02＝x2－x022，其中 x0＝v0t0 解得：x＝ 2 2＋ 2 mv0rB2v0t0 2 方法二：设撤去外力 F 后，导体棒滑行距离为 d，则 ΔS＝v0t0＋v0t0＋d2d 即 d2＋2v0t0d－2ΔS＝0 解得：d＝－v0t0＋ 2ΔS v0t0 2 x ＝ v0t0 ＋ d ＝ 2ΔS v0t0 2 ＝ 2 2＋ 2 mv0rB2＋ v0t0 2。

　答案：(1)Bv02＋ 2 r ，电流方向由 b→a (2)F＝B2v02t2＋ 2 r

　(3)B2v03t22 2＋ 2 2r

　(4) 2 2＋ 2 mv0rB2v0t0 2 13．涡流制动是一种利用电磁感应原理工作的新型制动方式，它的基本原理如图甲所示。水平面上固定一块铝板，当一竖直方向的条形磁铁在铝板上方几毫米高度上水平经过时，铝板内感应出的涡流会对磁铁的运动产生阻碍作用。涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式。某研究所制成如图乙所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程。车厢下端安装有电磁铁系统，能在长为 L1＝0.6 m，宽 L2＝0.2 m 的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大(由车内速度传感器控制)，但最大不超过 B1＝2 T，将铝板简化为长大于 L1，宽也为 L2的单匝矩形线圈，间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为 L2，每个线圈的电阻为 R1＝0.1 Ω，导线粗细忽略不计。在某次实验中，模型车速度为 v0＝20 m/s 时，启动电磁铁系统开始制动，车立即以大小为 a1＝2 m/s2 的加速度做匀减速直线运动，当磁感应强度增加到B1 时就保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为 m1＝36 kg，空气阻力不计。不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响。

　 (1)电磁铁的磁感应强度刚达到最大时，模型车的速度为多大？ (2)模型车的制动距离为多大？ (3)为了节约能源，将电磁铁换成若干个并在一起的永磁铁组，两个相邻的磁铁磁极的极性相反，且将线圈改为连续铺放，如图丙所示，已知模型车质量减为 m2＝20 kg，永磁铁激发的磁感应强度恒为 B2＝0.1 T，每个线圈匝数为 N＝10，电阻为 R2＝1 Ω，相邻线圈紧密接触但彼此绝缘。模型车仍以v0＝20 m/s的初速度开始减速，为保证制动距离不大于 80 m，至少安装几个永磁铁？ 解析：(1)设电磁铁的磁感应强度刚达到最大时，模型车的速度为 v1，则 E1＝B1L1v1 I1＝E1R1 ，F1＝B1I1L1，F1＝m1a1 解得 v1＝5 m/s。

　(2)匀变速过程位移为 x1＝v02－v122a1 由第(1)问的方法同理得到磁感应强度达到最大以后任意速度 v

　时，安培力的大小为 F＝B12L12vR1 对速度 v1 后模型车的减速过程用动量定理可得 F t＝B12L12 v tR1＝m1v1 v t＝x2，x＝x1＋x2，解得 x＝106.25 m。

　(3)设需要 n 个永磁铁，当模型车的速度为 v 时，每个线圈中产生的感应电动势为 E2＝2NB2L1v 每个线圈中的感应电流为 I2＝E2R2

　每个磁铁受到的阻力为 F2＝2NB2I2L1 n 个磁铁受到的阻力为 F 合＝2nNB2I2L1 由第(2)问可得4nN2B22L12R2x′＝m2v0 解得 n≈3.47 即至少需要 4 个永磁铁。

　答案：(1)5 m/s (2)106.25 m (3)4 个 14．如图所示，在匀强磁场区域内与 B 垂直的平面中有两根足够长的固定金属平行导轨，在它们上面横放两根平行导体棒构成矩形

　回路，长度为 L，质量为 m，电阻为 R，回路部分导轨电阻可忽略，棒与导轨无摩擦，不计重力和电磁辐射，且开始时图中左侧导体棒静止，右侧导体棒具有向右的初速 v0，试求两棒之间距离增长量 x 的

　解析：当 ab 棒运动时，产生感应电动势，ab、cd 棒中有感应电流通过，ab 棒受到安培力作用而减速，cd 棒受到安培力作用而加速。当它们的速度相等时，它们之间的距离最大。设它们的共同速度为 v，则据动量守恒定律可得：mv0＝2mv，即021v v ? 。

　对于 cd 棒应用动量定理可得：

　BLq=mv-0=021mv

　所以，通过导体棒的电量 q=BLmv20 而t RI??? ????,2 所以 q=RBLxtt I2????? ?

　由上述各式可得：

　x=2 20L BR mv。

　15 如图所示，MN、PQ 是固定在水平桌面上，相距 l＝1.0 m 的光滑平行金属导轨，MP 两点间接有 R＝0.6 Ω 的定值电阻，导轨电阻不计。质量均为 m＝0.1 kg，阻值均为 r＝0.3 Ω的两导体棒 a、b垂直于导轨放置，并与导轨良好接触。开始时两棒被约束在导轨上处v 0

　于静止，相距 x0＝2 m，a 棒用细丝线通过光滑滑轮与质量为 m0＝0.2 kg 的重物 c 相连，重物 c 距地面高度也为 x0＝2 m。整个桌面处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度 B＝1.0 T。a 棒解除约束后，在重物 c 的拉动下开始运动(运动过程中丝线始终与 b 棒没有作用)，当 a 棒即将到达 b 棒位置前一瞬间，b 棒的约束被解除，此时 a 棒已经匀速运动，试求：

　(1)a 棒匀速运动时棒中的电流大小； (2)已知 a、b 两棒相碰后即粘合成一根“更粗的棒”，假设导轨足够长，试求该“粗棒”能运动的距离； (3)a 棒解除约束后整个过程中装置产生的总焦耳热。

　解析 (1)由题意 m0g＝BlIa，可得 Ia＝2 A (2)设碰前 a 棒的速度为 v，则 Ia＝BlvR总 ，R 总＝0.6×0.30.6＋0.3

　Ω＋0.3 Ω＝0.5 Ω v＝1 m/s ab 碰撞过程 mv＝2mv′，v′＝0.5 m/s ab 碰撞后的整体运动过程，由动量定理得 － I－ lBt＝0－2mv′，q＝ I － t＝BlxR＋r2

　得 x＝0.075 m (3)发生碰撞前 m0gx0－Q1＝12 (m0＋m)v2 得 Q1＝3.85 J 发生碰撞后 Q2＝12 ×2mv′2＝0.025 J 所以整个运动过程 Q＝Q1＋Q2＝3.875 J 答案 (1)2 A (2)0.075 m (3)3.875 J 16．如图所示，两根金属平行导轨 MN 和 PQ 放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为 L，电阻不计．水平段导轨所处空间存在两个有界匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，两磁场相距一段距离不重叠，磁场Ⅰ左边界在水平段导轨的最左端，磁感应强度大小为 B，方向竖直向上；磁场Ⅱ的磁感应强度大小为 2B，方向竖直向下．质量均为 m、电阻均为 R 的金属棒 a 和 b 放置在导轨上，金属棒 b 置于磁场Ⅱ的右边界 CD 处．设两金属棒在导轨上运动过程中始终与导轨垂直且接触良好．

　(1)若水平段导轨粗糙，两金属棒与水平导轨间的最大静摩擦力均为15

　mg，将金属棒 a 从距水平面高度 h 处由静止释放． ①求金属棒 a 刚进入磁场Ⅰ时，通过金属棒 b 的电流大小； ②若金属棒 a 在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒 b 能在导轨上保持静止，通过计算分析金属棒 a 释放时的高度 h 应满足的条件； (2)若水平段导轨是光滑的，将金属棒 a 仍从高度 h 处由静止释放，使其进入磁场Ⅰ.设两磁场区域足够大，求金属棒 a 在磁场Ⅰ内运动的过程中，金属棒 b 中可能产生的最大焦耳热． 解析：(1)①金属棒在弯曲光滑导轨上运动的过程中，机械能守恒，设其刚进入磁场Ⅰ时速度为 v0，产生的感应电动势为 E，电路中的电流为 I. 由机械能守恒有 mgh＝12 mv2 0，解得 v0＝2gh 感应电动势 E＝BLv0，对回路 I＝E2R

　解得 I＝BL 2gh2R ②对金属棒 b，其所受安培力 F＝2BIL 又因 I＝BL 2gh2R 金属棒 b 棒保持静止的条件为 F≤15 mg

　解得 h≤gm2R250B4L4

　(2)金属棒 a 在磁场Ⅰ中减速运动，感应电动势逐渐减小，金属棒 b在磁场Ⅱ中加速运动，感应电动势逐渐增加，当两者相等时，回路中感应电流为 0，此后金属棒 a、b 都做匀速运动．设金属棒 a、b 最终的速度大小分别为 v1、v2，整个过程中安培力对金属棒 a、b 的冲量大小分别为 Ia、Ib. 由 BLv1＝2BLv2，解得 v1＝2v2 设向右为正方向：对金属棒 a，由动量定理有－Ia＝mv1－mv0 对金属棒 b，由动量定理有－Ib＝－mv2－0 由于金属棒 a、b 在运动过程中电流始终相等，则金属棒 b 受到的安培力始终为金属棒 a 受到安培力的 2 倍，因此有两金属棒受到的冲量的大小关系 Ib＝2Ia 解得 v1＝45 v0，v2＝25 v0 根据能量守恒，回路中产生的焦耳热 Q＝12 mv2 0－ ?????? 12 m ??????25 v0 2＋12 m ??????45 v0 2 ＝110 mv2 0＝15 mgh Qb＝12 Q＝110 mgh

　17．如图所示，abcd 和 a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、a/b/间的宽度是 cd、c/d/间宽度的 2 倍。设导轨足够长，导体棒 ef 的质量是棒 gh 的质量的 2倍。现给导体棒 ef 一个初速度 v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？

　解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef 的速度减小到 v1， 导体棒 gh 的速度增大到 v2，则有2BLv1-BLv2=0，即 v2=2v1。

　对导体棒 ef 由动量定理得：0 12 2 2 mv mv t I BL ? ? ? ?? 对导体棒 gh 由动量定理得：

　02? ? ??mv t I BL

　由以上各式可得：0 2 0 132,31v v v v ? ?

　18．如图所示，两根质量均为 m＝2 kg 的金属棒垂直放在光滑的水平导轨上，左右两部分导轨间距之比为 1 2，导轨间有大小相等但左、右两部分方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻．现用 250 N 的水平拉力 F 向右拉 CD 棒，CD 棒运动 x＝0.5 m 时其上产生的焦耳热为 Q2＝30 J，此时两棒速率之比为 vA vC＝12，现立即撤去拉力 F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，求：

　a a / b bd d / c c / e f

　g h

　(1)在 CD 棒运动 0.5 m 的过程中，AB 棒上产生的焦耳热； (2)撤去拉力 F 瞬间，两棒的速度大小 vA 和 vC； (3)撤去拉力 F 后，两棒最终匀速运动的速度大小 v′A 和 v′C. 答案：(1)15 J (2)4 m/s 8 m/s (3)6.4 m/s 3.2 m/s 解析：(1)设两棒的长度分别为 l 和 2l，所以电阻分别为 R 和 2R，由于电路中任何时刻电流均相等，根据焦耳定律 Q＝I2Rt 可知 AB 棒上产生的焦耳热 Q1＝15 J. (2)根据能量守恒定律，有 Fx＝12 mv2 A＋12 mv2 C＋Q1＋Q2 又 vA vC＝1 2，联立以上两式并代入数据得 vA＝4 m/s，vC＝8 m/s. (3)撤去拉力 F 后，AB 棒继续向左做加速运动，而 CD 棒向右做减速运动，两棒最终匀速运动时电路中电流为零，即两棒切割磁感线产生的电动势大小相等，此时两棒的速度满足 BLvA′＝B·2LvC′ 即 vA′＝2vC′(不对过程进行分析，认为系统动量守恒是常见错误) 对两棒分别应用动量定理，规定水平向左为正方向， 有 FA·t＝mvA′－mvA，－FC·t＝mvC′－mvC. 因为 FC＝2FA，故有vA′－vAvC－vC′ ＝12

　联立以上各式解得 vA′＝6.4 m/s，vC′＝3.2 m/s. 19．如图所示，足够长的水平导轨左侧 b1b2－c1c2 部分导轨间距为 3L，右侧 c1c2－d1d2 部分的导轨间距为 L，曲线导轨与水平导轨相切于 b1b2，所有导轨均光滑且电阻不计。在水平导轨内有斜向下与竖直方向的夹角θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为 B＝0.1

　T。质量为 mB＝0.2 kg 的金属棒 B 垂直于导轨静止放置在右侧窄导轨上，质量为 mA＝0.1 kg 的金属棒 A 自曲线导轨上 a1a2 处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，A 棒总在宽轨上运动，B 棒总在窄轨上运动。已知：两棒接入电路的有效电阻均为 R＝0.2 Ω，h＝0.45 m，L＝0.2 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。求：

　(1)A 棒滑到 b1b2 处时的速度大小； (2)B 棒匀速运动时的速度大小； (3)在两棒整体运动过程中，两棒在水平导轨间扫过的面积之差(最后结果保留 3 位有效数字)。

　解析：(1)A 棒在曲线导轨上下滑，由机械能守恒定律得：

　mAgh＝12 mAv02 解得：v0＝3 m/s。

　(2)选取水平向右为正方向，对两棒分别应用动量定理， 对 B 棒：FB 安 cos θ·t＝mBvB

　对 A 棒：－FA 安 cos θ·t＝mAvA－mAv0 其中 FA 安＝3FB 安

　两棒最后匀速运动时，电路中无电流，有：

　BLvB＝3BLvA 解得：vA＝319

　m/s，vB＝919

　m/s。

　(3)在 B 棒加速运动过程中，由动量定理得：

　Bcos θ I LΔt＝mBvB－0 电路中的平均电流 I ＝E2R

　根据法拉第电磁感应定律有：E＝ΔΦΔt 其中磁通量变化量：ΔΦ＝Bcos θΔS 解得：ΔS≈29.6 m2。

　答案：(1)3 m/s (2)919

　m/s (3)29.6 m2