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专题03,集合基本运算(原卷版)

发布时间:2024-03-29 12:40:43 影响了:

 1 / 9专题 03 集合的基本运算1.并集和交集的定义定义 并集 交集自然语言一般地,由所有属于集合 A 或集合 B的元素组成的集合,称为集合 A 与 B的并集,记作 A∪B一般地,由属于集合 A 且属于集合 B的所有元素组成的集合,称为集合 A与 B 的交集,记作 A∩B符号语言A∪B={x|x∈A,或 x∈B} A∩B={x|x∈A,且 x∈B}图形语言[知识点拨] (1)简单地说,集合 A 和集合 B 的全部(公共)元素组成的集合就是集合 A 与 B 的并(交)集;(2)当集合 A,B 无公共元素时,不能说 A 与 B 没有交集,只能说它们的交集是空集;(3)在两个集合的并集中,属于集合 A 且属于集合 B 的元素只显示一次;(4)交集与并集的相同点是:由两个集合确定一个新的集合,不同点是:生成新集合的法则不同.2.并集和交集的性质并集 交集简单性质A∪A=A;A∪∅=AA∩A=A;A∩∅=∅常用结论A∪B=B∪A;A⊆(A∪B);B⊆(A∪B);A∪B=B⇔A⊆BA∩B=B∩A;(A∩B)⊆A;(A∩B)⊆B;A∩B=B⇔B⊆A3.全集文字语言一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集4.补集文字语言 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A

 2 / 9相对于全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集,记作? U A符号语言 ? U A={x|x∈U,且 x∉A}图形语言[知识点拨] (1)简单地说,? U A 是从全集 U 中取出集合 A 的全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合.(2)性质:A∪(? U A)=U,A∩(? U A)=∅,? U (? U A)=A,? U U=∅,? U ∅=U,? U (A∩B)=(? U A)∪(? U B),? U (A∪B)=(? U A)∩(? U B).(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的 Venn 图表示.典型题型与解题方法重要考点一:并集的概念及运算【典型例题】

 【典型例题】已知集合 ? ? ???????,? ? ???(? ? ? ? 则,?? ? ??? ? ?? ????? ? ?? )A.??? B.?? , ?? C.?? , ? , ? , ??D.? ?? , ? , ? , ? , ??【题型强化】

 【题型强化】1.已知集合 ? ? ???? ? ??,? ? ???? ? ? ? ? ??,则 ? ? ? ?________.2.已知集合 {0,1} A ? ,? ? ?????????,则 ? ? ? 中的元素个数为________.【名师点睛】并集运算应注意的问题

 3 / 9(1)对于描述法给出的集合,应先看集合的代表元素是什么,弄清是数集,还是点集……,然后将集合化简,再按定义求解.(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性,重复的元素只能算一个.(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点的值能否取到.重要考点二:交集的概念及其运算【典型例题】

 【典型例题】已知集合 ? ? ??? ? ? ??? ?. ? ? ,? ? ??? ? ? ? ? ?  ? ,则 ? ? ? 为( )A.???? ? ? ? ?? ? 或 ? ? ? ? ?? B.???? ? ? ? ?? ? 或 ? ? ? ? ??C.???? ?? ? 或 ?  ?? D.???? ?? ? 或 ? ? ??【题型强化】

 【题型强化】1.已知集合 ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ??,则 ? ? ? ?________.2.已知集合 ? ? ??? , ? ?2, 3 B a a ? ? ,若 ? ? B????则实数 ? 的值为________【名师点睛】求集合 A∩B 的方法与步骤(1)步骤①首先要搞清集合 A、B 的代表元素是什么;②把所求交集的集合用集合符号表示出来,写成“A∩B\”的形式;③把化简后的集合 A、B 的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅).(2)方法①若 A、B 的代表元素是方程的根,则应先解方程,求出方程的根后,再求两集合的交集;若集合的代表元素是有序数对,则 A∩B 是指两个方程组成的方程组的解集,解集是点集.②若 A、B 是无限数集,可以利用数轴来求解.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.重要考点三:集合交集、并集运算的性质及应用【典型例题】已知集合 ? ? 1,3, A m ? , ? ? 1, B m ? ,若 ? ∪ ? ? ?,则 ? ?( )A.? 或 ?B.? 或 ? C.? 或 ? D.? 或 ?【题型强化】

 【题型强化】1.设集合 ? ? ????? ,? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? .若 ? ? ? ? ? ,则 ? ? ( )A. ?? ? ? B. ??? C. ??? D. ???2.已知 ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ? ?若 ? ? ? ? ?,则实数 ? 的值为()A.0 或 1 或 2 B.1 或 2 C.0 D.0 或 1

 4 / 9【名师点睛】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法:利用集合的交集、并集性质解题时,常常遇到 A∪B=B,A∩B=A 等这类问题,解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解,如 A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B .(2)关注点:当集合 A⊆B 时,若集合 A 不确定,运算时要考虑 A=∅的情况,否则易漏解.重要考点四:集合运算时忽略空集致错【典型例题】

 【典型例题】集合 ? ? ???? ??????, { | } B x x a ? ? .(1)若 ? ? ? ? ?,求实数 ? 的取值范围;(2)若 ? ? ? ? ∅ ,求实数 ? 的取值范围.【题型强化】

 【题型强化】1.设集合 ? ? ???? ? ? ? ? ??? ∈ ??,集合 ? ? ??? ? ? ???? ?? ? ? ? .求:(1)实数 ? 在什么范围内取值时 ? ? ∅,且 ? ? ? ? ?;(2)实数 ? 在什么范围内取值时,? ? ? ? ∅.2.已知集合 ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ,? ? ??? ? ? 或 ? ? ? .(1)当 ? ? ? 时,求 ? ? ?;(2)若 ? ? ? ? ∅ ,求实数 ? 的取值范围.【名师点睛】A∩B=B,B 可能为空集,千万不要忘记.重要考点五:数形结合思想的应用【典型例题】

 【典型例题】已知集合 ? ? ???? ? ? ? ??,集合 ? ? ???? ? ??,若 ? ? ? ? ∅,则实数 ? 的取值范围是________【题型强化】

 【题型强化】1.设集合 ? ? ??? ? ? ? ? ? ?

 ?, ?? ??? ?  ? ,则 ? ? ? ?( )

 5 / 9A. ??? ? ? ? ? B. ??? ? ? ? ? ?C. ??? ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ? ?? ?或? ? ? ? ?2.某校一(1)班共有 18 名学生参加了学校书法社或手工社,其中参加书法社的学生有 15 人,参加手工社的学生有 6 人,则一(1)班这两个社团都参加了的学生共___________人.【名师点睛 】求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值.集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化,从而使问题获解.重要考点六:补集的基本运算【典型例题】

 【典型例题】设 ? ? ? ? ????????,集合2{ | 1, } A x x x U ? ? ? ,则? ? ? ?( )A.??????? B.? ??????? C.? ??????? D.? ???????【题型强化】

 【题型强化】1.已知集合 ? ? ? ? ? ? ? ? ?  ? ,则? ? ? ?_____2.设全集 ? ? ???? ? ? ??? ∈ ??,集合 ? ? ???? ? ? ? ??? ? ??,则? ? ? =__________.【名师点睛】求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法:定义法.(2)两种处理技巧:①当集合用列举法表示时,可借助 Venn 图求解.②当集合是用描述表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解.重要考点七:交集、并集、补集的综合运算【典型例题】

 【典型例题】已知集合 ? ? ???? 则,??  ?? ? ???? ? ?,??  ?? ????? ??? ? ? ? ? ?( )A.? ????? ∪ ????? B.?????C.??? ? ?? ∪ ?? ? ??? D. ? ????? ? ?????【题型强化】

 】1.已知全集 ? ? ? ?? ?????????? ,集合 ? ? ? ????? ,? ? ? ????? ,则 ? ? ? ? ? ? ? ?______.2.若全集 U ? R ,? ? ??? ?? ? 或? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? ? , ?则 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?______(用 ?,? 或其补集表示).【名师点睛】求集合交、并、补运算的方法

 6 / 9重要考点八:“ 正难则反” 思想的应用【典型例题】

 【典型例题】已知集合 ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ,若 ? ∪ ? ? ?.求实数 a 的取值范围.【题型强化】1.已知集合 ,则实数 的值为__________.2.设全集 ? ? ????? ? ? ??? ? ,? ???????? .若? ? ? ? , ?求实数 ? 的值.【名师点睛 】“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时,我们可以从其反面入手解决.已知全集U,求子集 A,若直接求 A 困难,可运用“正难则反”策略先求? U A,再由? U (? U A)=A 求 A .补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路,今后要有意识地去体会并运用.在顺向思维受阻时,改用逆向思维,可能“柳暗花明”.从这个意义上讲,补集思想具有转换研究对象的功能,这是转化思想的又一体现.课后练习1. 【2020 届辽宁省丹东市线上教学质量监测】已知全集 ? ? ?????????? ,若 ? ? ????? ,? ? ????? ,则? ? ? ?? ? ? ? ( )A.∅ B. ? C. ???D. ???2.【新疆哈密市第十五中学 2019-2020 学年高二上学期期末】已知全集 ? ? ?????????,??集合 ? ? ???????,? ? ?????,??则?? ? ?? ? ? ?( )A. {1} B. {3,5}C. {1,3,5} D.??????3. 【新疆喀什市第二中学 2019-2020 学年高二上学期期末】已知集合 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? ?? ?? ,则 ? ? ? ?( )A. ? ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? ?

 7 / 9C. ? ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ? ?4 .【 山西省临汾市洪洞县第一中学上学期期中 】

 已知全集 ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ,则如图所示的阴影部分所表示的集合为()A.???? ? ? ? ? ?? B.???? ? ? 或 ? ? ??C.???? ? ? ? ?? ?? D. { | 1 2} x x ? ? ?5. 【2019 届浙江省杭州市学军中学高考前适应性考试】已知全集 ? ? ????????? ?,????? ???????,? ? ?????????.则 ?∪ ?? ? ? )

 ?=( )A. {1} B.?? , ??C.?? , ? , ? , ??D.?? , ? , ? , ??6 . 【天津市静海县第一中学 2017-2018 学年高二 6 月学生学业能力调研】已知集合 ,,若 ,则 的取值范围是( )A. B. C. D.7 .【 上海市嘉定区封浜高级中学 2018-2019 学年高一上学期期中 】

 设 ? 为全集,? ? ? ? ? ? ?,则 ? ? ?为( )A.? B.? C.U Bð D.∅8.【必修第一册 突围者】已知全集 U ? R ,集合 ? ? ? ? ? ?或? ? ? ,? ? ? ? ? ? .若 ? ?? ? ? ? ? ∅,则实数 ? 的取值范围为( ).A. ? ?  ? B. ? ? ? ?C. ? ? ? ? D. ? ?  ?9. 【四川省眉山市彭山区第一中学 2019-2020 学年高一上学期 10 月月考】已知全集 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???,? ⊆ ??? ⊆ ?,且 ? ? ? ? ? ? ??. ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ,那么集合 ? ?( )A.??????? B.????????? C.????????? D.???????.?10.设 U={不大于 10 的正整数},A={10 以内的素(质)数},B={1,3,5,7,9},则(? U A)∩(? U B)是( )A.{2,4,6,8,9} B.{2,4,6,8,9,10}C.{1,2,6,8,9,10} D.{4,6,8,10}

 8 / 911.【新疆生产建设兵团四校 2017-2018 学年高一(上)期中联考】设集合 ? ? ???? ? ??? ??? ? ???? ???? ? ? ?  ???则 ? ? ?? ? ?? ? ( )。A.? ????? B.? ?? , ? , ?? C.? ????? D.?12. 【辽宁省沈阳市郊联体 2019 届高三第一次模拟】已知集合 ? ? ???? ? ? ? ,? ? ????? ,若 ? ? ? ? ?,则 ? 的取值范围为A. ( ,1] ?? B.??? ? ??C. ( ,3] ?? D.??? ? ??13.已知集合 A={2,3},若 A∪B={1,2,3,4},则集合 B 可能为( )A.{1,2} B.{1,4}C.{1,3} D.{2,4}14. 【2011 届安徽省合肥市高三第一次教学质置检测】? ? ????? ?? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ,则 ? ?? ? ? 时 ? 的值是( )A.2 B.2 或 3 C.1 或 3 D.1 或 215.【上海市嘉定二中 2017-2018 年高一上学期期中】已知集合 ? ? ????????? ? ?????,则满足 ? ? ? ? ? ? ?的集合 ? 有_______个.16.【江苏省扬州市邗江区 2019-2020 学年高一上学期期中】已知集合 ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ?? ? ??若 A B ? ? ? ,实数 ? 的取值范围是______.17.【山东省济南市外国语学校三箭分校 2019-2020 学年高一上学期期中】已知 ? ? ??? ?? ? 或 ? ? ?, ? ? ???? ? ? ? ??,若 ? ? ? ? ?,则实数 ? 的取值范围是________.18.已知全集 ? ? ?????? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ,则 ? 的值为__________19. 【天津市北辰区第四十七中学 2019-2020 学年高一上学期第一次月考】已知集合{ |2 1 3 5} A x a x a ? ? ? ? ?,集合2{ | 13 14 0} B x x x ? ? ? ? .分别根据下列条件求实数 ? 的取值范围.(1)? ? ? ? ∅(2)? ⊆ ? ? ???20.【江苏省淮安市涟水县第一中学 2019-2020 学年高一上学期 10 月阶段性测试】设全集 U=R,A={x|﹣3<x-1<3},B={x|﹣2≤x+1≤3}

 9 / 9(1)求 A∩B;(2)求(C U A)∪B.21.【2020 届百校联考高考考前冲刺】已知集合 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ,集合 ? ?? ? ????? .(1)当 ? ? ? 时,求 ? ∪ ?;(2)若 ? ⊆ ?.求实数 ? 的取值范围.22. 【黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二下学期期末】已知全集? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ??? ? ?.? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? .(1)求 ? ? ??? ∪ ?;(2)若 ? ? ? ? ?,求实数 ? 的取值范围.

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