方法技巧专题24,统计图表应用（原卷版）
方法技巧专题 24
统计图表的应用 学生篇
一、统计图表的应用知识框架
二、统计图表的应用题型分析
【一】频率分布直方图
1.例题 【例 1】
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中 a 的值； (2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．
【例 2】(2019 年高考全国Ⅲ卷文数)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每在频率分布直方图中：
①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝ 频率组距 ； ②各小矩形面积之和等于 1； ③ 中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值，为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； ④ 众数是最高矩形中点的横坐标； ⑤频率分布直方图中 均值等于组中值与对应概率乘积的和.
只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
2.巩固提升综合练习 【练习 1】某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人)，另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人)，现用分层抽样方法(按 A 类、B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查 100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)． (Ⅰ)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人； (Ⅱ)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2． 表 1：
生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150) 人数 4 8 x 5 3 表 2 生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150) 人数 6 y 36 18 (i)先确定 x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)
图 1 A 类工人生产能力的频率分布直方图
图 2 B 类工人生产能力的频率分布直方图
(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
【练习 2】某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【练习 3】某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：
， ，…，后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数 a 的值； （2）若该校高一年级共有学生 640 人，试估计该校高一年级
期中考试数学成绩不低于 60 分的人数； （3）若从数学成绩在 ? ? 40,50 与 ? ? 90,100 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率．
【练习 4】某市民用水拟实行阶梯水价．每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w立方米的部分按 10 元/立方米收费．从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米， w 至少定为多少？ （Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当 w =3 时，估计该市居民该月的人均水费．
【二】茎叶图的应用
1.例题 用水量(立方米)频率组距0.50.40.30.20.14.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 O茎叶图 1、当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图． 2、当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)． 3、通过茎叶图可观察出平均数、众数、中位数，数据分布的对称性等等，由于茎叶图保留了原始数据，还可计算平均数、方差、标准差．
【例 1】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为 (
) A.
3，5
B.
5，5
C.
3，7
D.
5，7 【例 2】某学校 A、B 两个班的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如茎叶图所示,通过茎叶图比较两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差. ①A 班兴趣小组的平均成绩高于 B 班兴趣小组的平均成绩; ②B 班兴趣小组的平均成绩高于 A 班兴趣小组的平均成绩; ③A 班兴趣小组成绩的标准差大于 B 班兴趣小组成绩的标准差; ④B 班兴趣小组成绩的标准差大于 A 班兴趣小组成绩的标准差. 其中正确结论的编号为(
) A.①④
B.②③
C.②④
D.①③ 【例 3】随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学，求身高为 176cm 的同学被抽中的概率．
2.巩固提升综合练习 【练习 1】
某兄弟俩都推销某一小家电,现抽取他们其中 8 天的销售量(单位:台),得到的茎叶图如图所示,已知弟弟的销售量的平均数为 34,哥哥的销售量的中位数比弟弟的销售量的众数大 2,则 x+y 的值为
.
【练习 2】从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是(
) A．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐
【练习 3】甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考试的平均成绩分别用, x x乙甲 表示，则下列结论正确的是（
）
A． xx ?乙甲 ，且甲成绩比乙成绩稳定
B．B． xx ?乙甲 ，且乙成绩比甲成绩稳定 C． xx ?乙甲 ，且甲成绩比乙成绩稳定
D．D． xx ?乙甲，且乙成绩比甲成绩稳定
【三】其它类型的统计图表
频率分布折线图：连结频率分布直方图各个长方形上边的中点，就得到频率分布折线图． 总体密度曲线：随着样本容量的增加，分组的组距不断缩小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律． 散点图：两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做散点图．
【例 1】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是(
)
A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 【例 2】已知随机变量 ? ? 2,1 X N ? ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形 OABC 中随机投掷 1 点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（
）
附：若随机变量 ? ?2, N ? ? ? ? ，则 ? ? 0.6826 P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，? ? 2 2 0.9544 P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . A．0.1359 B．0.7282 C．0.8641 D．0.93205
【例 3】
图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为 A 1 、A 2 、…、A m (如 A 2 表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含 160cm，不含 180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是______．
2.巩固提升综合练习 【练习 1】
2.5 PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5 PM 日均值在335 / g m ? 以下空气质量为一级，在335~ 75 / g m ? 空气量为二级，超过375 / g m ? 为超标．如图是某地12 月 1 日至 10 日的 2.5 PM （单位：3/ g m ? )的日均值，则下列说法不正确．．．的是（
）
图 1
图 2
A．这 10 天中有 3 天空气质量为一级 B．从 6 日到 9 日 2.5 PM 日均值逐渐降低 C．这 10 天中 2.5 PM 日均值的中位数是 55
D．这 10 天中 2.5 PM 日均值最高的是 12 月 6 日
【练习 2】
某学校为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查部分学生,了解到上学方式主要有:A 结伴步行,B 自行乘车,C 家人接送,D 其他方式,并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息,可知本次抽查的学生中 A 类人数是(
)
A.30
B.40
C.42
D.48
【练习 3】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃．下面叙述不正确的是 A．各月的平均最低气温都在 0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个
三、课后自我检测
1．某单位 200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1－200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组(1－5 号，6－10 号，…，196－200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是______，若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取______人．
2．某位教师 2017 年的家庭总收入为 80 000 元,各种用途占比统计如下面的折线图.2018 年收入的各种用途占比统计如下面的条形图,已知 2018 年的就医费用比 2017 年增加了 4 750 元,则该教师 2018 年的家庭总收入为(
)
A.100 000 元
B.95 000 元
C.90 000 元
D.85 000 元 3．(2018 全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（
）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30)．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（
）
A．56
B．60
C．120
D．140
5．高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是
．
6．2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午 9:20～10:40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段 9:20～9：40 记作区间[20,40) ，9:40～10:00 记作 [40,60) ，10:00～10:20 记作 [60,80) ，10:20～10:40记作 [80,100] .比方：10 点 04 分，记作时刻 64.
（1）估计这 600 辆车在 9:20～10:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车中随机抽取 4 辆，记 X 为 9:20～10:00 之间通过的车辆数，求 X 的分布列与数学期望； （3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻 T 服从正态分布2( , ) N ? ? ，其中 ? 可用这 600 辆车在 9:20～10:40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2? 可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，估计在
9:46～10:40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若2( , ) T N a ? ，则? ? 0.6826 P T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? 2 2 0.9544 P T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，? ? 3 3 0.9974 P T ? ? ? ? ? ? ? ? ? .
7．（2018 全国卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0,0.1)
[0.1,0.2) [0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5 (1)在下图中作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 3m 的概率； (3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
8．我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高．某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 P 元）的情况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图估算 P 的平均值 P ； （2）若该市城区有 4 户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了 42 元，50 元，52 元，60元，从这 4 户中随机抽取 2 户，求这 2 户 P 值的和超过 100 元的概率．
9. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：
甲品种：271
273
280
285
285
287
292
294
295
301
303
303
307 308
310
314
319
323
325
325
328
331
334
337
352 乙品种：284
292
295
304
306
307
312
313
315
315
316
318
318 320
322
322
324
327
329
331
333
336
337
343
356 由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①_________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________； ②_________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________．