留数教案讲义

　 留数定理

　 §5.1 孤立奇点

　若 在点 的某一去心邻域 内解析，但在点 不解析，则称 为 的孤立奇点。若 是 的一个奇点，且在点的无论多么小的邻域内 总还有除点 外的其它奇点，则称点 为 的非孤立奇点。

　例如， 为 的孤立奇点，为 的非孤立奇点。

　去心邻域可看作内圆周缩为一点的环域。若 为 的一个孤立奇点，则总存在着正数 ，使得 在点 的去心邻域内可展成洛朗级数。这里的正数 ，显然最大可取为 与 的离 最近的一个奇点间的距离。在孤立奇点去心邻域内的洛朗展开，有时也称为在孤立奇点的洛朗展开。

　1. 孤立奇点的 分类

　 设 为函数 的有限孤立奇点， 在去心邻域 内的洛朗展式为 。

　前面已知，右边第二个级数称为 在点 的解析部分，其和函数 在包括 点的邻域 内是解析的，故 在点 的奇异性质完全体现在 的洛朗展式的负幂项部分 ，所以从出现奇异性来说，我们称 为 在点 的主要部分。

　根据主要部分仅可能出现三种情况，将 的有限孤立奇点作) (z f0z R z z ? ? ?000z0z ) (z f0z ) (z f0z ) (z f0z0z ) (z f0 ? zzz f1) ( ?1)1(sin ) (??zz g0z ) (z fR ) (z f0zR z z ? ? ?00 R0z ) (z f0z0z ) (z f ) (z f R z z ? ? ?00???? ?? ?nnnz z a z f ) ( ) (0 ??????? ?10 )(nnnz z a???? ?00 )(nnnz z z) (z f0z) (z ?0z K ) (z f0z) (z f???????10 )(nnnz z a???????10 )(nnnz z a ) (z f0z) (z f

　 如下分类：

　定义 5.1.1 ：设 为 的有限孤立奇点。

　（1）若 在点 的主要部分为零，则称 为 的可去奇点。

　（2）若 在点 的主要部分为有限多项，设为

　 ， 则称 为 的 阶极点。一阶极点也称为简单极点。

　（3）若 在点 的主要部分有无限多项，则称 为 的本性奇点。

　：

　【注】：定义中的第（1）种情形为什么叫可去奇点？其由来是：因主要部分为零，函数 在可去奇点去心邻域内的洛朗展式只有非负幂项的解析部分 ， 前面已知，这解析部分的和函数 在包括 点的邻域 内解析， 。于是在 内 ，当我们适当补充或改变 在点 的定义，令 之后， 在邻域内就没有奇点了。这就是可去奇点名称中“可去”的由来。

　下面几个在洛朗展式基础上证明的定理，分别描述了解析函数在三类有限孤立奇点附近的性态，也给出了各类奇点的判别法。

　定理 5.1.1 ：若 为 的孤立奇点，则下列两条中的每一条都是 为 阶极点的充要条件：

　（1）

　在点的主要部分为

　； （2）

　在点 的某去心邻域内能表成 ， 其中 在点 的邻域内解析，且 ；

　2. 解析函数在有限孤立奇点的性质

　0z ) (z f) (z f0z0z ) (z f) (z f0z0110) 1 (0) ( ) ( z zaz zaz zammmm?? ??????? ??? ) 0 ( ??ma0z ) (z f m) (z f a0z ) (z f) (z f? ? ? ? ? ? ?20 2 0 1 0) ( ) ( ) ( z z a z z a a z f) (z ?0z K0 0 )( a z ? ? ? ?0z K ? ) ( ) ( z z f ? ?) (z f0z0 0 0) ( ) ( a z z f ? ? ? ) (z f ) (0z N R0z ) (z f0z m) (z f0110) 1 (0) ( ) ( z zaz zaz zammmm?? ??????? ??? ) 0 ( ??ma) (z f0zmz zz gz f) () () (0??) (z g0z 0 ) (0? z g

　定理 5.1.2 ：若 为 的孤立奇点，则下列三条中的每一条都是 为可去奇点的特征（即每一条都是 为可去奇点的充要条件）：

　（1）

　在点的主要部分为零； （2）

　（有限复数）； （3）

　在点 的某去心邻域内有界。

　定理 5.1.3 ：

　的孤立奇点 为极点 。

　定理 5.1.4 ：

　的孤立奇点 为本性奇点 不存在有限或无限的极限 。

　3. 解析函数的零点与极点的关系

　定义 5.1.2：

　：设函数 在点 的某邻域 内解析。若 ，则 称 为 解 析 函 数 的 零 点 。

　若，但 ，则称 为解析函数 的 阶零点。特别，当 时， 也称为 的简单零点。

　若 在邻域 内解析，不恒为零，则 为 的 阶零点时，在 内的泰勒展式形式为

　 。

　右端提取公因式 ，并记 ，容易证明 在邻域 内解析，且 。于是在邻域 内有 。

　反之，当 在 内解析，并能表成上述形式时，由泰勒定理中的关系式 ，立即可知 为 的 阶零点。这样0z ) (z f0z0z) (z f0) ( lim a z fa z??) (z f0z) (z f0z ? ? ??) ( lim0z fz z) (z f0z ?) ( lim0z fz z?) (z f0z ) (0z N 0 ) (0? z f0z ) (z f0 ) ( ) ( ) ( ) (0) 1 (0 0 0? ? ? ? ? ? ? ??z f z f z f z fm? 0 ) (0) (? z fm0z) (z f m 1 ? m0z ) (z f) (z f ) (0z N0z ) (z f m) (z f ) (0z N? ? ? ? ? ???10 1 0) ( ) ( ) (mmmmz z a z z a z f ) 0 ( ?mamz z ) (0? ? ? ? ? ??) ( ) (0 1z z a a zm m?) (z ? ) (0z N 0 ) (0? z ? ) (0z N) ( ) ( ) (0z z z z fm ?? ?) (z f ) (0z N!) (0) (nz fann?0z ) (z f m

　 我们就证明了下述定理：

　理 定理 5.1.5 ：不恒为零的解析函数 以 为 阶零点 在点的邻域 内 ，

　其中 在邻域 内解析，且 。

　解析函数的零点与极点，有如下关系：

　定理 5.1.6：

　：若 为 的孤立奇点，则 为 阶极点的充要条件是 为 的可去奇点，将 作为 的解析点看待，为 的 阶零点。

　4 4. . 解析函数在无穷 孤立奇 点的 性质

　 定 义 3 5.1.3 ：

　：

　若 函 数 在 无 穷 远 点 去 心 邻 域内解析，则称点 为 的一个孤立奇点。若点 是 的奇点的聚点，则点 是 的非孤立奇点。

　定义 5.1.4 ：设 为 的孤立奇点，作倒数变换 后有 。

　若 为 的可去奇点（视为解析点），则称 为的可去奇点（解析点）；若 为 的 阶极点，则称 为的 阶极点；若 为 的本性极点，则称 为 的本性极点。

　我们可按广义连续性来定义函数在点 处的值：定义。同样虽在点 处没有定义差商，从而没有定义函数在无穷远点处的可微性，但现在有了定义 5.1.4 之后，今后我们称 在点 解析，其意义是指：点 为 的可去奇点，且定义 。

　) (z f0z m ?0z) (0z N) ( ) ( ) (0z z z z fm ?? ?) (z ? ) (0z N 0 ) (0? z ?0z ) (z f0z m0z) (1) (z fz ? ?0z ) (z ?0z ) (z ? m) (z f? ? ?? ? ? ? ? ? ? z r N 0 : ) ( ? ) (z f? ) (z f ? ) (z f? ) (z f?1? z) ( )1( ) ( z f f ? ??? ?0 ? ? )1( ) (?? ? f ? ? ? z ) (z f0 ? ? ) ( ? ? m ? ? z) (z f m 0 ? ? ) ( ? ? ? ? z ) (z f?) ( lim ) ( z f fz ? ?? ? ?) (z f ? ? ) (z f) ( lim ) ( z f fz ? ?? ?

　 设由上面式 确定的 在去心邻域 内的洛朗展式为 ， 换回到变量 ，即令 ，就得到 在无穷远点去心邻域内的洛朗展式

　,

　 (5.1.1) 其中 ，即 在原点去心邻域的展式中的负幂项系数，与 在无穷远点去心邻域的展式中的相应正幂项系数相等,而前者展式中的正幂项系数与后者负幂项相应系数相等。根据这个关系，应用对有限孤立奇点的讨论结果，我们得知， 就洛朗展式看：

　可去奇点 展式(5.1.1)中不含 的正次幂， 为 的

　阶极点 展式(5.1.1)中只有有限个正次幂，且最高次幂为 ， 本性奇点 展式(5.1.1)中有无限多个正次幂。

　就函数的极限值看：

　可去奇点 （有限复数）， 为 的

　阶极点 ，

　本性奇点 不存在。

　 ) ( )1( ) ( z f f ? ??? ? ) ( ? ?r10 ? ? ????? ??nnnc ? ? ? ) (zz1? ? ) (z f?? ? ? z r? ???? ???? ?? ???????nnnnnnz bzc z f1) (n nc b?? ) , 2 , 1 , 0 ( ? ? ? ? n ) ( ? ?) (z f? z? ? z ) (z f m ?m?? A z fz?? ?) ( lim? ? z ) (z f m ? ? ?? ?) ( lim z fz? ) ( lim z fz ? ?

　§5.2 留数

　5. 1 留数的定义

　我们知道，若 于闭路（即围线）

　上及其内部解析，则依柯西积分定理有 ；但若 内含有 的孤立奇点，则不一定等于 。

　对于后者情况，现在我们先把 进行罗朗展开，然后再来对它进行积分：

　) (z f C0 ) ( ?? Cdz z f C ) (z f? Cdz z f ) ( 0) (z f

　 事实上，设 于去心邻域 内解析，则它有罗朗展式

　此级数在上述去心邻域内的围线 上一致收敛，故沿该围线可逐项积分，所以对上式两边积分，有

　但该式右端除了 这一项外，全部等于 （依据书中P73 例 2 的积分 得），于是有 。

　由此可见，罗朗展式中系数 是个特别的数，它是在上述逐项积分后唯一残留下来的系数。若不计因子 ，它就代表了对围线积分 的值。

　鉴于此，我们作如下定义：

　定义 5.2 .1 ：若函数 以有限点 为孤立奇点，即 在点的去心邻域 内解析，则 在点 的去心邻域内可以展成罗朗级数 ， ， 我们称此级数中 这一项的系数 或积分（它正好就能依罗朗系数公式(4.4.6)取 时得出）为 在孤立奇点 的留数（也称残数），记为 或（ 是 residue 的缩写），即 ， 或 ) (z f R z z ? ? ? | | 00???? ?? ?nnnz z a z f ) ( ) (0? ? ? ? ? ? ? ????? ?? ?20 2 0 1 001202) ( ) (1) (1z z a z z a az zaz za: C ? ? ? | |0z z ) 0 ( R ? ? ???? ? ? ? ? ????? ?? ? ?? ? ?? ?C C CC C Cdz z z a dz z z a dz adzz za dzz za dz z f20 2 0 1 001202) ( ) (

　 1) (1) (dzz zaC???0110????????1

　, 01

　 , 2) ( nn ia zdzCn?10121) (? ???? ??ia dzz za dz z fC C?1 ?ai ? 2) (z f? Cdz z f ) () (z f0z ) (z f0zR z z ? ? ? | | 00) (z f0zR z z ? ? ? | | 00???? ?? ?nnnz z a z f ) ( ) (0) | | 0 (0R z z ? ? ?01z z ?1 ?a?? ? ??| |0) (21z zdz z fi) 0 ( R ? ? ? 1 ? ? n) (z f0z ) ( Res z fa z?) , ( Res0z f Res) ( Res0z fz z?1 ?? a

　 。

　定义 5.2 .2 ：设 是函数 的孤立奇点，即 在点 的去心邻域 内解析，则 在点 的去心邻域内可以展成罗朗级数 ， ， 我们称级数中 这一项的系数 的反号数 或积分 为 在点 的留数，记为 或，即 ， 或

　 其中 指取 的顺时针方向（之所以这样取向，是因为这个方向正是绕无穷远点的正向）。

　5.2 留数的基本定理

　有界区域的留数定理：

　定理 5.2.1 （留数定理）：若 在围线或复围线 所围区域内除有限个奇点 外解析，在闭域 上除外连续，则 。

　〖证〗：在 内以每个 为中心作半径充分小的圆周（ ），使得这些小圆周及其内部均含于 ，并且彼此互相隔离。应用多连通区域上的柯西积分定理得 ) ( Res0z fz z??? ????| |0) (21z zdz z fi) 0 ( R ? ? ?? ) (z f ) (z f ??? ? ? ? | | 0 z r ) (z f ? ?? ? ? ? | | 0 z r???? ??nnn za z f ) ( ) | | 0 ( ?? ? ? ? z rz11 ?a1 ??a? ??dz z fi) (21?) | :| ( r z ? ? ? ? ) (z f ? ) ( Res z fz ? ?) , ( Res ? f) ( Res z fz ? ?1 ?? ? a) ( Res z fz ? ?? ??? dz z fi) (21?) | :| ( r z ? ? ? ??? ?) (z f CDna a a , , ,2 1? C D D ? ?na a a , , ,2 1?? Cdz z f ) (????nka zz f ik1) ( Res 2 ?Dkak?n k , , 1? ? D

　又由留数定义有

　代入上式，即知定理中的结果式子成立。

　□

　扩充复平面 上的留数定理：

　定理 5.2.2 ：若 在扩充复平面 上除有限个点外解析，点 也为 的孤立奇点，则 ， 即 在所有孤立奇点的留数之和为零。

　：

　〖证〗：以原点为中心作半径充分大的圆周 ，使 的内部包含。由定理 5.2.1 得 , 但

　所以即知定理中的结果式子成立。

　□

　 ? Cdz z f ) (?????nkkdz z f1) () ( Res 2 ) ( z f i dz z fkka z??????C) (z f?Cna a a , , ,2 1?? ) (z f???nka zz fk1) ( Res 0 ) ( Res ? ?? ?z fz) (z f? ?na a a , , ,2 1?? ?????nka zz f i dz z fk1) ( Res 2 ) ( ?) ( Res z fz ? ?? ?? ?? ? ??dz z fidz z fi) (21) (21? ?

　 5.3 留数的计算：

　 原则上，只要算得了函数在孤立奇点的罗朗展式，那么函数在此点的留数也就求出来了（求其负一次幂项的系数就是）。但总是用这样的一般方法去做并不合算，因为求罗朗展式往往并不容易。

　下面介绍的方法，是将留数的计算归结为求极限、求导这一类有时是很简单的计算，免得去使用罗朗展式。但这种方法的得到其实却要以罗朗展式为理论工具。此外要说明，这种方法对于高阶极点，计算起来也未必简单。

　因函数在其有限的可去奇点的罗朗展式中不含负幂项，故函数在其有限的可去奇点的留数总等于零。因此，对于函数在其有限的孤立奇点的留数就只要去考虑极点和本性奇点。以下我们主要讨论在极点的留数的计算方法。

　5.3.1 有限远点留数的计算方法

　1 1 ）. . 若 为 的可去奇点，则 在 内的罗朗展开式中不含负幂项，从而 ，故当 为 的可去奇点时， 。

　2 2 ）. . 若 为 的一阶极点

　（1）

　第一种情形：若 为 的一阶极点，则 在内的罗朗展开式为

　 显然 ，故当 为 的一阶极点时， 。

　（2）

　第二种情形：若 为 的一阶极点，且 ，则 0z ) (z f ) (z f R z z ? ? ? | | 0001??a0z ) (z f) ( Res0z fz z?0 ?0z ) (z f0z ) (z f ) (z f R z z ? ? ? | | 00) (z f ? ? ? ? ? ? ????20 2 0 1 001) ( ) (1z z a z z a az za) ( ) ( lim0 10z f z z az z? ??? 0z ) (z f) ( Res0z fz z?) ( ) ( lim00z f z zz z? ??0z) () () (zzz f??? 0 ) (0?? z?

　 。

　3 3 ）. .

　若 为 的 阶极点，则 。

　证明：由于

　以 乘以上式两端，得

　 两边求 阶导数，得 {含有 正幂的项} 令 ，两端求极限，有

　根据 ，并两端除以 ，就得所证。■

　4 4 ）. . 当 为 的本性奇点时，几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求．

　有限远点留数计算典型实例

　例：

　 求 。

　解：容易知道 是函数 的一阶极点，所以 ) ( Res0z fz z?) () (00zz????0z ) (z f m) ( Res0z fz z?)] ( ) [( lim)! 1 (10110z f z zdzdmmmmz z??????) (z f? ? ? ? ? ? ? ??? ???????? ? ?20 2 0 1 00110) 1 (0) ( ) (1) (1) (1z z a z z a az zaz zaz zammmmmz z ) (0?mz z ) (0? ) (z f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ? ? ?10 1 0 010 120 2 0 ) 1 () ( ) ( ) ( ) ( ) (m m m mm mz z a z z a z z a z z a z z a a) 1 ( ? m? ? ? ????1 011)! 1 ( )] ( ) [( a m z f z zdzdmmm) (0z z ?0z z ?1 011)! 1 ( )] ( ) [( lim0????? ? ? a m z f z zdzdmmmz z) ( Res0z fz z?1 ?? a )! 1 ( ? m0z ) (z f?????????1 ,1zeRes2zz1 ? z1ze2z? z

　 5 5. .3 3 .2 无限远点的留数计算方法

　1. 利用无穷远点留数定义或留数 定理

　例：

　求函数 在 点处的留数。

　解：

　函数 以 及 为一阶极点，而 为本性奇点。

　又

　所以 。

　 2. 利用下述定理求无穷远点留数

　定理 5.2.3 ：若 ，则 。

　〖 证明〗：由条件，故可设 在 的去心邻域的罗朗级数为

　因此 。

　□ 21 1Res[ ( ),1] lim( 1) lim1 1 2z zz zze ze ef z zz z? ?? ? ? ?? ?1) (2??zez fz? ? z1) (2??zez fz1 ? z 1 ? ? z ? ? z11Res (1) ,Res ( 1)2 2ef f e ? ? ? ? ?2) ( Res1e ez fz???? ?0 ) ( lim ?? ?z fz)] ( [ lim ) ( Res z f z z fz z? ? ?? ? ? ?) (z f ? ? z1( ) 0 0 0nnc cf zz z? ?? ? ? ? ? ? ? ?)] ( [ lim ) ( Res1z f z c z fz z? ? ? ? ?? ??? ?

　 3. 利用下述定理求无穷远点留数

　定理

　5.2.4 ：若 ，则

　 §5.3 留数在定积分计算中的应用

　5.3 .1 计算 型积分

　 定理 5.3 .1 ：设 为 、 的有理函数，且在上连续，则

　 ，

　 (5.2.1) 其中 ， 为 在单位圆 内的奇点。

　 5.3 .2 计算积分路径上没有奇点的无穷限积分

　0 ) ( lim ?? ?z fz21 1Res ( ) Res[ ( ) ,0] f fz z? ? ???? ? ?20) sin , (cos d R) sin , (cos ? ? R ? cos ? sin] 2 , 0 [ ???? ? ?20) sin , (cos d R????1 | |) ( Res 2kkaa zz f i ?) (z f???????? ? ??? ?iz z z zRiz 2,211 1ka ) (z f 1 | | ? z???? ?dx x f ) (

　 §5.4 对数留数与幅角原理

　§ 5.3.1 零点与极点个数定理

　 理 引理 5.3.1 ：设 ， 分别是函数 的 阶零点和 阶极点，则 ， 都是函数 的一阶极点，且 a b ) (z f n ma b) () (z fzf ?

　 ， 。

　理 定理 5.3.1 ：设函数 在围线 上解析且不为零，在 的内部除可能有极点外是解析的，则

　 ，

　(5.3.1) 其中 与 分别表示 在 内部的零点与极点个数（一个 阶零点算作 个零点，而一个 阶极点算作 个极点）。

　 nz fz f???) () (Resa zmz fz f? ???) () (Resb z) (z f C C) , ( ) , () () (21c f P c f N dzz fz fiC? ????) , ( c f N ) , ( c f P ) (z f Cn n m m