方法技巧专题10,,圆锥曲线中垂径定理（原卷版）
专题技巧 10
圆锥曲线中的垂径定理
一、知识框架
二、概念及相关典型例题
(一) 圆中的垂径定理 （问题背景：直线斜率存在）
图 1
图 2
图 3 （1）如图 1，在圆 O 中，E 为弦 AB 中点，则 OE⊥AB，即 1 ? ? ?AB OEk k
（2）如图 2，在圆 O 中， l 与圆 O 相切于 E 点，则 OE⊥ l ，即 1 ? ? ?AB OEk k . （若切点坐标为 ) , (0 0y x E ，可得切线 l 方程：20 0r y y x x ? ? ）
（3）如图 3，AB 为圆 O 直径，E 圆上异于 A、B 两点的动点，则 BE⊥AE，即 1 ? ? ?BE AEk k . （二）圆锥曲线中的垂径定理 （问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下）
1.椭圆中的垂径定理 （以焦点在 x 轴的椭圆方程 ) 0 ( 12222? ? ? ? b abyax为例）
图 1
图 2
图 3 （1）如图 1，在椭圆 C 中，E 为弦 AB 的中点，则22abk kAB OE? ? ? ; （证明：用点差法）
（2）如图 2，在椭圆 C 中， l 与椭圆相切于 E 点，则22abk kl OE? ? ? ; （证明：法一：极限思想，当 A 无穷接近 B 点；法二：换元法变换为 12 2? ? ? ? y x 证明即可；法三：导数）
（3）如图 3, l 过中心 O,交椭圆于 A,B 两点,E 是椭圆上异于 A、B 点的动点则22abk kAE BE? ? ? . （证明：取 AE 重点 M，连接 OM，即可用（1）证明）
【注意：若焦点在 y 轴上的椭圆方程 ) 0 ( 12222? ? ? ? b aaybx，
则上面结论变为：22ba? ，即 ? ?AB OEk k ? ?l OEk k22bak kAE BE? ? ? 】
2.双曲线中的垂径定理 （以焦点在 x 轴的双曲线方程 ) 0 0 ( 12222? ? ? ? b abyax， 为例）
图 1
图 2
图 3
图 4
图 5 （1）如图 1 或图 2，E 为弦 AB 的中点，则22abk kAB OE? ? ;
（2）如图 3， l 与双曲线相切于 E 点，则22abk kl OE? ? ; （3）如图 4，过 O 点的 l 交双曲线于 A,B 两点，E 是双曲线上异于 A、B 点的动点,则22abk kAE BE? ? . （4）如图 5， l 交上双曲线两渐近线于 A,B 两点，E 为线段 AB 的中点，则22abk kAB OE? ? . 【 注意：若焦点在 y 轴上的双曲线方程 ) 0 0 ( 12222? ? ? ? b abxay， ，则上面斜率乘积结论变为：22ba， 即 ? ?AB OEk k ? ?l OEk k22bak kAE BE? ? 】
（三）例题点评 1.例题初探 【例 1】过点 M(1,1)作斜率为21? 的直线与椭圆 ) 0 ( 12222? ? ? ? b abyaxC：
相交于 A,B 两点，若 M 是线段 AB的中点，则该椭圆的离心率为
.
【例 2】已知 A、B 为椭圆 ) 0 ( 12222? ? ? ? b abyax的左右顶点，P 为椭圆上异于 A、B 的点，PA、PB 的斜率分别为2 1 ,kk ，且432 1? ? k k ，则该椭圆的离心率为
圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为（统称为有心圆锥曲线）：
（1）若方程 或 ）存在以上关系，则上述结论可表述为：
， 即 ，其中 分别是 系数的倒数. （2）若方程 存在以上关系，则上述结论可表述为：
， 即 ，其中 分别是 系数.
【例 3】设双曲线 C：
) 0 , 0 ( 12222? ? ? ? b abyax的顶点为2 1 ,AA ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线 C的一条渐近线于 M 点，直线 M A 2 和 P A 2 的斜率分别为2 1 ,kk ，若1 2PA M A ? 且 0 42 1? ? k k ，则双曲线 C离心率为（
）
A、2
B、25
C、 5
D、4
【例 4】已知 A、B 是双曲线 ) 0 , 0 ( 12222? ? ? ? b abxay的两个顶点，P 是双曲线上异于 A、B 的另一点，P 关于 y 轴的对称点为 Q ，记直线 AP、BQ 的斜率分别为2 1 ,kk ，且542 1? ? k k ，则双曲线的离心率为
【例 5】过双曲线 ) 0 ( 12222? ? ? ? b abyax的左焦点 F 且斜率为 1 的直线与双曲线的两条渐近线交于 A、B 两点，记线段 AB 的中点为 M，且 FM 等于半焦距，则双曲线的离心率 ? e
【例 6】已知直线 l 的斜率为 1，且与双曲线2212xy ? ? 相切于第一象限于点 A ，则点 A 的坐标为______.
2.提高与巩固例题 【例 1】已知直线 l 交椭圆 80 5 42 2? ? y x 于 M、N 两点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线 l 的方程为
【例 2】已知椭圆 1422? ? yx，P 是椭圆的上顶点，过 P 作斜率为 ) 0 ( ? k k 的直线 l 交椭圆于另一点 A，设点 A 关于原点的对称点为 B， （1）求△PAB 面积的最大值 （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内部，求斜率 k 的取值范围
【例 3】设直线 ) 0 ( 0 3 ? ? ? ? m m y x 与双曲线 ) 0 , 0 ( 12222? ? ? ? b abyax两条渐近线分别交于 A，B，若点) 0 , (m P 满足 PB PA ? ，则该双曲线的离心率是
【例 4】已知某椭圆的焦点是 ) 0 , 4 ( ), 0 , 4 (2 1F F ? ，过点2F 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为B，且10 | | | |2 1? ? B F B F ．椭圆上不同的两点 ) , ( ), , (2 2 1 1y x C y x A 满足条件：
| | | | | |2 2 2C F B F A F 、 、 成等差数列． (1) 求该椭圆的方程； (2) 求弦 AC 中点的横坐标； (3) 设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m，求 m 的取值范围．
三、自我素养养成练习与思考
1.如图，已知椭圆 ) 0 ( 12222? ? ? ? b abyax，过原点的直线交椭圆于点 P、A 两点（其中点 P 在第一象限），过点 P 作 x 轴的垂线，垂线为 C，连 AC 并延长交椭圆于 B，若 PB PA ? ，则椭圆的离心率为
2.已知双曲线 ) 0 , 0 ( 12222? ? ? ? b abyax的左右焦点为2 1 ,FF ，右顶点为 A，P 为双曲线右支上一点，1PF 交双曲线的左支于点 Q，与渐近线 xaby ? 交于点 R，线段 PQ 的中点为 M，若1 2PF RF ? ，1PF AM ? ，则双曲线的离心率为
3.如图，已知椭圆 ) 0 ( 12222? ? ? ? b abyax的左右顶点分别为 A、B，P 为第一象限内一点，且 AB PB ? ，连接 PA 交椭圆于点 C，连 BC、OP，若 BC OP ? ，则椭圆的离心率为
4.如图，1F ，2F 分别是双曲线 C：
) 0 , 0 ( 12222? ? ? ? b abyax的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线 B F 1 与 C的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线 MN 与 x 轴交于点 M，若2 1 2F F MF ? ，则 C 的离心率是
。
5.过点 (1,1) P 作直线 l 与椭圆2 214 2x y? ? 交于 , AB 两点，求 AB 的中点 M 的轨迹 W 的方程。
6.过点 P (1,1) 作直线l?与有心圆锥曲线2 2: 1( 0) C kx y k ? ? ? ? 交于 E、F 两点，是否存在这样的直线l?使点 P 为线段 EF 的中点？若存在，求直线l?的方程；若不存在，说明理由.
7.如图， ) 1 , 2 ( P ，椭圆 C：
13 42 2? ?y x，不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，且线段 AB 被直线 OP平分，求△ABP 的面积取最大值时直线 l 的方程
8.已知椭圆2 22 2: 1( 0)x yM a ba b? ? ? ? 的离心率为12，直线 : 2 4 2 0 l x y ? ? ? 与 M 相切于点 E.
求椭圆 M 的方程.