方法技巧专题19,三角恒等变换（解析版）
方法技巧专题 19
三角恒等变换 解析版
一、三角恒等变换问题知识框架
二、三角恒等变换方法技巧
【一】公式顺用、逆用及其变形用
1. 两角和差公式：
cos(α－β)＝cosα cosβ＋sinα sinβ.
cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ. sin(α＋β)＝sinα cosβ＋cosα sinβ.
sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .
tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β（α，β，α－β 均不等于 kπ＋ π2 (k∈Z)）.
1.例题 例 【例 1 】计算：
(1)cos(－15°)；
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 【解析】(1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋ 12 ×22＝6＋ 24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22× 12 ＝6＋ 24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 例 【例 2 】(1)计算：cos 2π12 －sin2 π12 ； 【解析】原式＝cos π6 ＝32. (2)计算：
1－tan2 75°tan 75°； 【解析】
1－tan 2 75°tan 75°＝2·1－tan 2 75°2tan 75° ＝2·1tan 150°＝－2 3.
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°. 【解析】原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80° ＝12 2 sin 20°sin 80°cos 80°＝12 3 sin 20°·sin 160°＝sin 20°2 3 sin 20°＝ 18 .
例 【例 3 】(1) 1＋tan 15°1－tan 15°＝________. 【解析】
3
原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3. (2)化简：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°. 【解析】
2. 二倍角公司 sin 2α＝2sinα cosα；
cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝2cos 2 α－1＝1－2sin 2 α；
tan 2α＝2tan α1－tan 2 α . 变形 1：降幂公式:
cos 2 α2 ＝1＋cos α2，2sin 12sin 2? ? ??
变形 2 ：半角公式：（1＋cos 2α＝2cos 2 α， 1－cos 2α＝2sin 2 α）
sin α2 ＝±1－cos α2，cos α2 ＝±1＋cos α2，tan α2 ＝±1－cos α1＋cos α ＝sin α1＋cos α ＝1－cos αsin α
特别注意：两角和与差的正切公式有两种变形形式 ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝ tan α±tan βtan?α±β?. 当 α±β 为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到 1 与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.
方法一 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°， ∴ 3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°， ∴ 3－ 3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3. （3）已知 sin θ＝ 45 ，5π2＜θ＜3π，求 cos θ2 和 tan θ2 . 【解析】
∵sin θ＝ 45 ，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－ 1－sin 2 θ＝－ 35 . 由 cos θ＝2cos 2 θ2 －1，得 cos2 θ2 ＝1＋cos θ2＝ 15 . ∵ 5π4＜ θ2 ＜3π2，∴cos θ2 ＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2 ＝sin θ1＋cos θ ＝2.
2.巩固提升综合练习
【练习 1】化简 cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为(
) A. 12
B.32
C．－ 12
D．－32 【解析】B
cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝32.
【练习 2】
1－ 3tan 75°3＋tan 75°＝________. 【解析】－1 原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1. 【练习 3】在△ABC 中，A＋B≠ π2 ，且 tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan Atan B，则角 C 的值为(
) A. π3
B.2π3
C. π6
D.π4
【解析】A ∵tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan Atan B⇔tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝ 3(tan Atan B－1)．(*) 若 1－tan Atan B＝0，
则 cos Acos B－sin Asin B＝0，即 cos(A＋B)＝0. ∵0<A＋B<π，∴A＋B＝ π2 与题设矛盾． ∴由(*)得 tan(A＋B)＝－ 3，即 tan C＝ 3.又∵0<C<π，∴C＝ π3 . 习 【练习 4 】若 sin α＋cos α＝ 13 ，则 sin 2α=
. 【解析】由题意，得(sin α＋cos α) 2 ＝ 19 ，∴1＋2sin αcos α＝19 ，即 1＋sin 2α＝19 ， ∴sin 2α＝－ 89 . 【二】拆凑角问题
1.例题 【例 1】已知31)3sin( ? ??? ，则 )6cos(?? ?
的值为(
) A．－ 13
B.13
C.2 23
D．－ 2 23 【答案】A 【解析】∵sin )3(?? ? ＝ 13 ，∴cos)6(?? ? ＝cos )]3(2[???? ? ＝－sin )3(?? ? ＝－ 13 . 【例 2】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ??????? ?54,53P . 若角 β满足 sin(α＋β)＝513 ，则 cos β 的值为________． 【答案】
－ 5665 或1665
【解析】
由角 α 的终边过点 ??????? ?54,53P ，得 sin α＝－ 45 ，cos α＝－35 . 由 sin(α＋β)＝513 ，得 cos(α＋β)＝±1213 . 由 β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以 cos β＝－ 5665 或 cos β＝1665 . 【例 3】若1sin6 3??? ?? ?? ?? ?，则2cos 23??? ?? ?? ?? ?（
）
A．13 B．13?
C．79 D．79?
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
【答案】D 【解析】
2 22 π π πcos 2 2cos 1 2cos 13 3 2 6?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2π 2 72sin 1 16 9 9?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?
2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知33)6tan( ? ? ??，则 ? ? )65tan( ??________. 【答案】－33 【解析】tan )65( ??? ＝tan )6( ??? ? ? ＝tan )]6( [ ??? ? ? ＝－tan )6( ??? ＝－33. 【练习 2】若102 7)4sin( ? ??A ，A∈ ) ,4( ??，则 sin A 的值为(
) A. 35
B. 45
C. 35 或45
D. 34
【答案】B 【解析】∵A∈ ) ,4( ??，∴A＋ π4 ∈)45,2(? ?， ∴cos（A＋ π4 ）＝－ 1－sin 2 ????A＋ π4＝－210 ， ∴sin A＝sin[（A＋ π4 ）- π4 ]＝sin（A＋π4 ）cosπ4 －cos（A＋π4 ）sinπ4 ＝45 . 【练习 3】已知sin(?? −3 π10 ) =35 ，则cos(?? +π5 ) =（
）
A.−45
B. 45
C.−35
D. 35
【答案】C 【解析】因为sin(?? −3 π10 ) =35 ，则cos(?? +π5 ) = cos[π2+ (?? −3 π10 )] = −sin(?? −3 π10 ) = −35 ．故应选 C． 【练习 4】若 sin（3x?? ）=23，则 cos（ 23x?? ）=（
）
A．79 B．19 C．19?
D．79?
【答案】C 【解析】令3x?? ? ? ，则 2 23x?? ? ? ? ? ， 所以 ? ?21cos 2 cos 2 cos2 2sin 13 9x?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?，故选 C．
【练习 5】已知3sin 24 5x? ? ?? ?? ?? ?，则 sin4x 的值为（
）
A．1825 B．1825?
C．725 D．725?
【答案】C 【解析】由题意得：29 7cos 4 1 2sin 2 1 22 4 25 25x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 7sin4 cos 42 25x x? ? ?? ? ? ?? ?? ?本题正确选项：
C
【三】常值代换
1.例题 【例 1】已知 02??? ? ，5cos( )4 5??? ? ． （1）求 tan( )4??? 的值； （2）求 sin(2 )3??? 的值． 【解析】（1）∵ 02??? ? ，5cos( )4 5??? ? ， ∴22 5sin( ) 1 cos ( )4 4 5? ?? ?? ? ? ? ? ， ∴sin( )4tan( ) 24cos( )4??????? ? ???． （2）∵tan 1tan( ) 24 1 tan???? ?? ? ??，∴1tan3? ? ， ∴2 2 22sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 1 5? ? ??? ? ?? ? ?? ?，2 22 2cos sincos2sin cos? ??? ????221 tan 4tan 1 5???? ??， 常数“1” 的代换: 1=sin 2 α+cos 2 α, 1=2cos 2 α-cos 2α, 1=cos 2α+2sin 2 α, 1=tan π4.
3 4 3sin(2 ) sin2 cos cos2 sin3 3 3 10? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ．
【例 2】
已知△ABC 中,137cos sin ? ? ? A A ,则 tanA=
. 【解析】解法一：列出方程组?????? ?? ? ?1 cos sin137cos sin2 2A AA A 由第一个方程得, A A sin137cos ? ? ? ,代入第二个方程得 1 ) sin137( sin2 2? ? ? ? A A ， 即 016960sin137sin 2 ? ? ? A A ， 解得135sin ? A 或1312sin ? ? A ， 因为△ABC 中 0<A<π, 所以 sinA>0,135sin ? A ，1312cos ? ? A ，所以125tan ? ? A .
答案:125? . 解法二：由已知得 sinA>0, cosA<0, |sin A|<|cos A|, tanA>-1, 由137cos sin ? ? ? A A 两边平方,整理得16960cos sin ? ? ? A A ，即16960cos sincos sin2 2? ???A AA A， 分子分母同除以 A2cos 得169601 tantan2? ?? AA， 解得125tan ? ? A .
2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知?? ∈ ??，sin?? + 2cos?? =√102，则tan2?? =（
）
A．−34 或−35
B．−34
C． 34
D．−35
【答案】B 【解析】
因为sin?? + 2cos?? =√102，所以(sin?? + 2cos??) 2 =52 ， 所以sin 2 ?? + 4cos 2 ?? + 4sin??cos?? =52 ， 所以 sin2 ??+4cos 2 ??+4sin ??cos??sin 2 ??+cos 2 ??=52 ， 即 ??????2 ??+4+4?????????????? 2 ??+1=52 ，解得???????? = 3或者???????? = −13 ， 当???????? = 3时，tan2?? =2tan??1−?????? 2 ??= −34 ，
当???????? = −13 时，tan2?? =2tan??1−?????? 2 ??= −34 ， 综上所述，tan2?? = −34 ，故选 B。
【练习 2】已知 2sin cos 0 ? ? ? ? ，则2sin cos cos ? ? ? ?的值为（
）
A．65?
B．35-
C．35 D．65 【答案】A 【解析】12sin cos 0, tan ,2? ? ? ? ? ? ? ?
则222 2 2 211sin cos cos tan 1 62sin cos cos .sin cos tan 1 5112? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?
故选 A. 【四】辅助角公式
1.例题 【例 1】函数 f(x)＝sin x－cos x，x∈ ????0， π2的最小值为________． 【解析】
－1 f(x)＝ 2sin ????x－ π4，x∈ ????0， π2. ∵－ π4 ≤x－π4 ≤π4 ，22)4sin(22? ? ? ??x ∴f(x) min ＝ 2sin ????－ π4＝－1. y＝asin ωx＋bcos ωx＝ a 2 ＋b 2 sin(ωx＋θ)．其中2 2cosb aa?? ? ，2 2sinb ab?? ? 延申探索：
(1)提常数，提出 a 2 ＋b 2 得到 y＝asin ωx＋bcos ωx＝ a 2 ＋b 2 ? ?????aa 2 ＋b 2
sin x＋ba 2 ＋b 2 cos x (2)定角度，确定一个角 θ 满足：cos θ＝aa 2 ＋b 2 ，sin θ＝ba 2 ＋b 2 一般 θ 为特殊角 6?，4?，3?等，则得到 a 2 ＋b 2 (cos θsin x＋sin θcos x)． (3)化简、逆用公式得 asin x＋bcos x＝ a 2 ＋b 2 sin(x＋θ) 温馨提醒 1：θ 所在的象限由 a 和 b 的符号确定:ab? ? tan 温馨提醒 2：另法 asin x＋bcos x= a 2 ＋b 2 (sin θsin x＋cos θcos x)= a 2 ＋b 2 cos(x－θ) 这里2 2sinb aa?? ? ，2 2cosb ab?? ? ，（ba? ? tan ）
【例 2】已知函数 f(x)＝ 3sin ????2x－ π6＋2sin 2 ????x－π12 (x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合． 【解析】(1)∵f(x)＝ 3sin ????2x－ π6＋2sin 2 ????x－π12＝ 3sin[2 ????x－π12]＋1－cos ????2 ????x－π12 ＝2 ? ?????32sin ????2 ????x－π12－ 12 cos ????2 ????x－π12＋1＝2sin ????2 ????x－π12－ π6＋1 ＝2sin ????2x－ π3＋1， ∴f(x)的最小正周期为 T＝ 2π2＝π. (2)当 f(x)取得最大值时，sin ????2x－ π3＝1， 有 2x－ π3 ＝2kπ＋π2 (k∈Z)，即 x＝kπ＋5π12
(k∈Z)， ∴所求 x 的集合为 ? ?????x ?? x＝kπ＋ 5π12 ，k∈Z. 2.巩固提升综合练习 【练习 1】
当函数 x x y sin 3 cos ? ? 取得最大值时， tanx 的值是______
【解析】
)3cos( 2 sin 3 cos?? ? ? ? x x x y ， 2max ?y ， 这时 ??k x 23? ? ， 即 Z k k x ? ? ? ? , 23??，所以 3 )3tan( ) 23tan( ? ? ? ? ? ????k
【练习 2】如果 ? ? ? ? sin 2cos( ) f x x x ? ? ? ? ? ? 是奇函数，则 tan ? =
. 【解析】
) ( os 2 ) sin( ? ? ? ? ? ? x c x y )] ( os55 2) sin(55[ 5 ? ? ? ? ? ? x c x ) sin( 5 ? ? ? ? ? x ， 其中55 2sin ,55cos ? ? ? ? ，∵ ) (x f y ? 为奇函数，所以 ? ? ? k ? ? ，即 ? ? ? k ? ? ， 所以 tan ?? ? ? tan ) tan( ? ? ? k??cossin? 2 ?
【练习 3】已知函数 f(x)＝cos ????π3 ＋x ·cos ????π3 －x ，g(x)＝12 sin 2x－14 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值时 x 的集合． 【解析】(1)f(x)＝ ????12 cos x－32sin x ·????12 cos x＋32sin x ＝ 14 cos2 x－ 34 sin2 x
＝ 1＋cos 2x8－ 3?1－cos 2x?8＝ 12 cos 2x－14 ，∴f(x)的最小正周期为 T＝2π2＝π. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝ 12 cos 2x－12 sin 2x＝22cos ????2x＋ π4， 当 2x＋ π4 ＝2kπ(k∈Z)，即 x＝kπ－π8 (k∈Z)时，h(x)有最大值22. 此时 x 的集合为 ? ?????x ?? x＝kπ－ π8 ，k∈Z.
三、课后自我检测
1．已知 sin α＝ 45 ，且 α∈)23,2(? ?，则 sin )32 (?? ? 的值为________． 【答案】－ 24＋7 350 【解析】因为 sin α＝ 45 ，且 α∈)23,2(? ?，所以 α∈ ) ,2( ??， 所以 cos α＝－ 1－sin 2 α＝－ 1－ ????452 ＝－ 35 . 因为 sin 2α＝2sin αcos α＝－ 2425 ，cos 2α＝2cos2 α－1＝－ 725 . 所以 sin )32 (?? ? ＝sin 2αcos π3 ＋cos 2αsinπ3 ＝－24＋7 350.
2．若2sin4 3??? ?? ?? ?? ?，则 sin2 ? ?
。
【答案】19?
【解析】因为24 1cos2 1 2sin 1 24 4 9 9? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 又 sin2 cos( 2 ) cos2( )2 4? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ，所以1sin29? ? ? ，故选 B. 3．已知 tan 2,(0, ) ? ? ? ? ? ，则sin2cos2????? ??? ?? ?
。
【答案】2 55?
【解析】sin2 2cos2sin cossin? ? ?? ???? ? ??? ?? ?= 2cosα, ? 又2 2tan 2 , 1sinsin coscos?? ? ??? ? ? ? , 解5cosα5? ?
又 ? ? α 0 ? ? ， ， tan 0 ? ? ,故 α 02? ? ?? ??? ?， ， 故5cosα5? 所以sin2 2 55cos2???? ?? ??? ?? ?故选：A 4．已知2019 1cos2 2??? ?? ?? ?? ?， ,2?? ?? ?? ??? ?，则 cos ? ?
。
【答案】32? 【解析】因为2019 1cos2 2??? ?? ?? ?? ?，诱导公式可得， 2019 3 1cos( ) cos( ) sin2 2 2? ?? ? ? ? ? ? ? ?
，又因为 ,2?? ?? ?? ??? ? 所以23cos 1 sin2? ? ? ? ? ? ?
5．已知 sin（π4x ? ）14? ，则 sin2x 的值为（
）
【答案】78 【解析】设4x y?? ? ,则1sin4y ? ，21 7sin2 sin2 2 1 2 1 24 16 8x y cos y sin y? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 6．已知 sin( π) 2cos(3π ) 0 ? ? ? ? ? ? ? ，则sin cossin cos? ?? ????
。
【答案】13 ∵ ? ? ? ? sin π 2cos 3π 0 ? ? ? ? ? ? ? ， ∴ sin 2cos ? ? ?? ，sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?． 7．若 02?? ? ? ， 02?? ? ? ? ，1cos4 3??? ?? ?? ?? ?，3cos4 2 3? ? ? ?? ?? ?? ?，则 c os2??? ??? ?? ?等于
。
【答案】5 39 【解析】
02?? ? ? Q ，34 4 4? ? ?? ? ? ? ? ，则22 2sin 1 cos4 4 3? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，
02?? ? ? ? Q ，则4 4 2 2? ? ? ?? ? ? ，所以，26sin 1 cos4 2 4 2 3? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 因此， cos cos2 4 4 2? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 2 2 6 5 3cos cos sin sin4 4 2 4 4 2 3 3 3 3 9? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 8．已知 ? ， ? 为锐角，且1tan7? ? ，? ?2 5cos5? ? ? ? ，则 cos2 ? ?
。
A.35 B.23 C.45 D.7 210 【答案】C 【解析】
π 2 1, (0, ) (0,π) cos( ) sin( ) ,2 5 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 7tan sin ,cos7 5 2 5 2? ? ? ? ? ? ? 15 3cos cos( ) cos( )cos sin( )sin5 10 10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
29 4cos2 2cos 1 2 110 5? ? ? ? ? ? ? ?
,选 C. 9．已知角3?? ? 的始边是 x 轴非负半轴．其终边经过点3 4( , )5 5P ? ? ，则 sin ? 的值为__________． 【答案】4 3 310? ? 【解析】由题意得:4 3sin ,cos3 5 3 5? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,且 sinsin3 3? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?4 1 3 3sin cos cos sin3 3 3 3 5 2 5 2? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 4 3 310? ??,故填4 3 310? ?. 10．在平面直角坐标系中，角 ? 的顶点与原点重合，始边与 x 的非负半轴重合，终边过点(1,2) P ，则sin( 2 )2?? ? ? ______________。
【答案】35- ； 【解析】由题意，角 ? 的终边过点 (1,2) P ，求得 5 OP ? ，
利用三角函数的定义，求得1 5cos5 5? ? ? ， 又由2 25 3sin( 2 ) cos2 2cos 1 2 ( ) 12 5 5?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 11． 平面直角坐标系 xOy 中，点 ? ?0 0, P x y 是单位圆在第一象限内的点， xOP ? ? ? ，若11cos3 13?? ? ?? ? ?? ?? ?，则0 0y x ? 为_____． 【答案】
15 3126? 【解析】由题意知：
0,2??? ?? ??? ?，5,3 3 6? ?? ?? ?? ? ??? ?，由11cos3 13?? ? ?? ? ?? ?? ?，得4 3sin3 13??? ?? ?? ?? ?， 0sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3y? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 4 3 1 11 3 15 313 2 13 2 26? ? ? ? ?
0cos cos cos cos sin sin3 3 3 3 3 3x? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 11 1 4 3 3 113 2 13 2 26?? ? ? ? ?
0 015 3 1 15 3 126 26 26x y?? ? ? ? ，故答案为：15 3 126?. 12．若 ? ? 7 coscos2?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?，则 tan2 ? ? （
）
【答案】73 【解析】由题意得， 7sin cos ? ? ? ? ? ，则7tan7? ?. 22 72tan 77tan211 tan 317???? ? ? ???，故选 B . 13．已知6cos( )4 6?? ? ? ，则 sin2 ? 的值为
。
【答案】23 【解析】因为21 cos 22cos4 2????? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?1 sin2 12 6? ?? ? ，所以2sin23? ? ，
14．已知 ? ? 、 均为锐角，满足5 3 10sin ,cos5 10? ? ? ? ，则 ?? ? ?
。
【答案】4? 【解析】由已知 α、β 均为锐角，5 3 10sin ,cos5 10? ? ? ? ， 2 5 10cos ,sin5 10? ? ? ? ? ， 又 cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝22， ∵0＜α+β＜π， ∴α+β＝4?． 15．若? ?2sin 753??? ?，则 ? ? cos 30 2 ??? ?
。
【答案】59?
【解析】令 75 ? ??? ?，则 75 ? ??? ? 由? ?2sin 753??? ? ，可得2sin3? ? ? ? ? ?cos 30 2 cos 30 2 75 ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?2cos 180 2 cos2 1 2sin ? ? ??? ? ?? ?? ?
22 51 23 9? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? 16．已知6sin sin3? ? ? ? ，3cos cos3? ? ? ? ，则 cos2? ? ?? ________. 【答案】32. 【解析】∵6sin sin3? ? ? ? ，3cos cos3? ? ? ? ，平方相加可得 22cos( ) 1 ? ? ? ? ?
即1cos( ) ,2? ? ? ? 由降幂公式可得212cos 12 2? ? ? ? ?? ?? ?? ?
求得3cos2 2? ? ?? . 17．若1 10tan , ,tan 3 4 2? ?? ??? ?? ? ? ??? ?，则 sin 24??? ?? ?? ?? ?________． 【答案】210? 【解析】由题意1 10tan , ,tan 3 4 2? ?? ??? ?? ? ? ??? ?，sin cos 10cos sin 3? ?? ?? ? ? ， 通分可得1 5sin2 3 ?? ，3sin25? ? ? ， ,4 2? ??? ?? ??? ?，4cos25? ? ? ? ， 2sin 2 sin2 cos cos2 sin4 4 4 10? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? 所以本题答案为210?. 18． 已知 tan 2 ? ? ，则3cos2 sin cos2 2? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?__________． 【答案】
1 ?
【解析】
因为2 22 2 2 23 cos sin cos sincos2 sin( )cos( )2 2 sin cos sin cos? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ?，所以2 2 22 2 23 cos sin sin cos 1 tan tancos2 sin( )cos( ) 12 2 sin cos 1 tan? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?，应填答案 1 ? 。
19．若3sin6 3x? ? ?? ?? ?? ?，则 sin 26x? ? ?? ?? ?? ?________． 【答案】13 【解析】36 3sin x? ? ?? ?? ?? ?， 则 2 cos 26 2 6sin x x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2cos 2 1 2sin3 6x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1 11 23 3? ? ? ? ，故答案为13. 20．若1sin( )6 3?? ? ? ，则2cos ( )6 2? ?? ? ________.
【答案】23 【解析】由题意可得：
212cos 1 cos cos sin6 2 3 2 3 3 3? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即：212cos 16 2 3? ? ? ?? ? ?? ?? ?，解方程可得：22cos6 2 3? ? ? ?? ?? ?? ?. 21．已知 α∈ )43,4(? ?，β∈ )4, 0 (?，且 cos )4( ??? ＝ 35 ，sin)45( ??? ＝－ 1213 ，则 cos(α＋β)＝________. 【答案】
－ 3365
【解析】
∵α∈ )43,4(? ?，∴ π4 －α∈) 0 ,2(?? ， 又 cos )4( ??? ＝ 35 ，∴sin)4( ??? ＝－ 45 ， ∵sin )45( ??? ＝－ 1213 ，∴sin)4( ??? ＝ 1213 ， 又∵β∈ )4, 0 (?， π4 ＋β∈)2,4(? ?，∴cos（ π4 ＋β）＝513 ， ∴cos(α＋β)＝cos[ )4( ??? - )4( ??? ]＝cos )4( ??? cos )4( ??? ＋sin )4( ??? sin )4( ??? ＝513 ×35 －1213 ×45 ＝－3365 . 22．（1）已知1,sin2 3?? ? ? ? ? ? ，求 tan ? 的值； （2）已知 sin( )3a?? ? ? ，求2 5sin( ) cos( )3 6? ?? ? ? ? ? 的值. 【解析】（1）由题得2 2 sin 2cos , tan3 cos 4?? ??? ? ? ? ? ?. （2）2 5( ), ( )3 3 6 2 3? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以2 5sin( ) cos( ) 23 6a? ?? ? ? ? ? ? . 23．已知 sin ? 是方程25 7 6 0 x x ? ? ?的根， ?
是第三象限角. （1）求 ? ?23 3sin cos2 2tancos sin2 2? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? 的值； （2）已知 ? ?? ?? ?3sin cos 2 tan2tan sin2f?? ? ? ? ???? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ??? ?? ? ?? ?? ?（ ），若 ? 是第三象限角，且3 1cos2 5??? ?? ?? ?? ?，求? ? f ? 的值. 【解析】(1)∵方程 5x 2 －7x－6＝0 的根为35- 或 2，
又 ? 是第三象限角，∴sin ? ＝35- ，∴cos ? ＝－21 sin ? ?＝45? ， 3sin 35tan4cos 45????? ? ? ??， ∴原式2 2cos ( sin ) 9tan tansin cos 16? ?? ?? ??? ? ?? ???. (2)3sin cos tan 22( )tan sin2f?? ? ? ???? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?sin cos tan2costan sin2?? ? ???? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?. 3 1 1cos sin , sin2 5 5?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?， 又 α 是第三象限角，22 6cos 1 sin5? ? ? ? ? ? ? ?. 故2 6( )5f ? ?. 24．已知关于 x 的方程 2x 2 －( 3＋1)x＋m＝0 的两根分别是 sin θ 和 cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)sin 2 θsin θ－cos θ ＋cos θ1－tan θ 的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时 θ 的值．
【解析】(1)原式＝sin 2 θsin θ－cos θ ＋cos θ1－ sin θcos θ＝sin 2 θsin θ－cos θ ＋cos 2 θcos θ－sin θ ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ. 由条件知 sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2 θsin θ－cos θ ＋cos θ1－tan θ ＝3＋12. (2)由已知，得 sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝ m2 ， 因为 1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ) 2 ，所以 1＋2×m2 ＝ ??????3＋122 ，解得 m＝32. (3)由????? sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得??? sin θ＝32，cos θ＝ 12或??? sin θ＝ 12 ，cos θ＝32. 又 θ∈(0,2π)，故 θ＝ π3 或 θ＝π6 . 故当 sin θ＝32，cos θ＝ 12 时，θ＝π3 ；
当 sin θ＝ 12 ，cos θ＝32时，θ＝ π6 . 25.已知函数 f ( x )＝sin2 x －cos 2 x －23sin x cos x ( x ∈R)． (1)求 f ? ?????2π3的值； (2)求 f ( x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】(1)由题意， )62 sin( 2 ) 2 cos212 sin23( 2 2 sin 3 2 cos ) (?? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x x x f
故 223sin 2 )6 34sin( 2 )32( ? ? ? ? ? ?? ? ? ?f
(2)由(1)知， )62 sin( 2 ) (?? ? ? x x f ，则 f(x)的最小正周期是 π 。由正弦函数的性质， 令 z k k x k ? ? ? ? ? ? ,2326222??? ?? ，解得 z k k x k ? ? ? ? ? ,326???? ，所以 f(x)的单调递增区间是 ) ](32,6[ z k k k ? ? ?????