方法技巧专题18,三角函数图像和性质（原卷版）

　 方法技巧专题 18

　三角函数的图像和性质 学生版

　 一、

　三角函数的图像和性质知识框架

　 二、根据解析式研究三角函数性质

　 【一】化为同角同函型

　 1.例题 【例 1】函数 ? ? cos cos sin2y x x x? ? ?? ? ?? ?? ?的单调递增区间是（

　 ）

　A． 32 ,28 8k k? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? k Z ?

　 B． 3,8 8k k? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? k Z ?

　C． ,4 4k k? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? k Z ?

　D． 2 ,22 2k k? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? k Z ?

　2.巩固提升综合练习 研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）

　或 ，常见方法有：

　（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函； （2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角； （3）用两角和、差公式或辅助角公式 将已给函数化成同函.

　【练习 1】已知函数( ) sin 2cos f x x x ? ?. ①( ) f x的最大值为________ ； ②设当 x? ?时，( ) f x取得最大值，则 cos ?? ______. 【练习 2】已知函数 1 ) cos (sin cos 2 ) ( ? ? ? x x x x f， 求函数) (x f 的最小正周期和单调增区间；

　 【练习 3】已知2 2sin cos 2 3sin cos ( ) ( ) x x x f x x x ? ? ? ?R， 求( ) f x 的最小正周期及单调递增区间．

　 【二】化为二次函数型

　1.例题 【例 1】函数 )2cos( 6 2 cos ) ( x x x f ? ? ??的最大值为 ____________．

　 【例 2】函数 y＝sin x＋cos x＋sin xcos x 的值域为_______

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知函数 ? ? 2sin sin2 f x x x ? ? ，则 ? ? f x 的最小值是_____________． 【练习 2】求函数2 47 4sin cos 4cos 4cos y x x x x ? ? ? ? 的最大值与最小值.

　 研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述 或 的形式，有时会化简为二次函数型：

　或 ，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意 的取值范围. 若将已给函数化简为更高次的函数，如 ，则换元后可通过导数求解.如：解析式中同时含有 和 ，令 ，由关系式得到 关于 的函数表达式.

　 【练习 3】函数 y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π] 的值域为________．

　三、根据图像和性质确定解析式

　 【一】图像型

　 1.例题 【 例 1 】

　已 知 函 数 ? ? ? ? ? ? sin 0, 0, f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 其 中? ? ? ? 2, 1 , 8,1 M N ?分别是函数 ? ? f x 的图象的一个最低点和一个最高点，则A? ? ?? （

　）

　A. 23??

　 B. 6??

　 C. 6?

　D. 23? 【例 2】函数 ? ? ? ?? ? sin 0, 0,0 f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的图象如图所示，则（

　 ）

　A． ? ? f x 在 ,3 13? ? ? ??? ?? ?上是增函数

　 B． ? ? f x 在 ,2 13? ? ? ??? ?? ?上是增函数 C． ? ? f x 在2 7,3 6? ? ? ?? ?? ?上是増函数

　D． ? ? f x 在 ,2 12? ? ? ??? ?? ?上是增函数 【例 3】已知函数 ? ? ? ? 2sin ( 0 f x x ? ? ? ? ? ? ， ) x ? ? 的部分图像如图所示，已知点? ?0, 3 A ， ,06B? ? ?? ?? ?，若将它的图像向右平移6?个单位长度，得到函数 ? ? g x 的图像，则函数 ? ? g x 图像的一条对称轴方程为（

　）A． 24x?? ?

　 B． 4x??

　 C． 3x??

　 D． 23x??

　对形如 中参数的确定，应准确识别和利用题干中函数图像的信息（如周期、振幅、最值、特征点等），列出方程（组）或不等式（组），常规方法有：

　（1）由振幅或最值，可确定 ; （2）由周期的值或取值范围，可确定 的值或取值范围； （3）由特征点，可列出三角方程（组），可确定 .（有时 也需特征点来确定）

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】函数 ? ? ? ? sin f x A x ? ? ? ?

　(其中 0 A? ， 2?? ? )的部分图象如图所示,将函数 ? ? f x 的图象（

　）可得 ? ? sin 24g x x? ? ?? ?? ?? ?的图象.

　A． 向右平移12?个长度单位

　 B． 向左平移24?个长度单位 C． 向左平移12?个长度单位

　 D． 向右平移24?个长度单位 【练习 2】如图，某港口一天6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数 y＝3sin(6?x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.

　 【二】性质型

　1.例题 【例 1】已知函数 ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

　为 ( ) f x 的零点,4x?? 为 ( ) y f x ? 图像的对称轴,且 ( ) f x 在518 36? ? ? ?? ?? ?， 单调,则 ? 的最大值为(

　 ) （A）11

　（B）9

　（C）7

　 （D）5 【 例 2 】

　设 函 数 ) s i n ( ) ( ? ? ? ? x x f ， 0 , 0 ? ? ? A ， 若 ) (x f 在 区 间 ]2,6[? ?上 单 调 ， 且??????? ? ??????? ??????6 322? ? ?f f f ，则 ) (x f 的最小正周期为（

　）

　A．2?

　 B．2π

　C．4π

　 D．π

　【例 3】设函数 ， ，其中 ， .若 ， ，且 的最小正周期大于 ，则（

　）

　（A）

　，

　 （B）

　，

　（C）

　，

　（D）

　，

　2.巩固提升综合练习 【练习1】设函数f （x）= ，若 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________． 【练习 2】若函数 ? ? ? ? ? ? 3sin cos f x x x ? ? ? ? ? ? 的图象关于 y 轴对称，则 ? 的一个值为（

　）

　A． 6?

　B． 3?

　C． 23?

　D． 56?

　对形如 中参数的确定，应充分挖掘题干中所给的函数性质（如周期、单调性、最值、奇偶性、对称性等），列出方程（组）或不等式（组）. 特别地，正弦型函数 与最小正周期 相关的几种表述：

　（1）两个相邻最低（高）点的距离，即为 ; （2）两个相邻对称轴的距离，即为 ; （3）两个相邻对称中心的距离，即为 ; （4）相邻对称中心与对称轴的距离，即为 ;

　四、图像变换问题

　1.例题 【例 1】已知曲线1 :cos C y x ? ，22π: sin 23C y x? ?? ?? ?? ?，则下面结论正确的是（）

　A．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C

　B．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C

　C．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C

　D．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C

　【例 2】设函数 ，其中 .已知 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.

　 由 变换成 的两种变换方式：

　（1）

　 ； （2）

　注：两种变换方法，相位或周期变换都只针对自变量 .

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】函数 ? ? ? ? sin f x x ? ? ? ? （ 0 ? ? ， 2?? ? ）的最小正周期是 ? ，若其图象向左平移3?个单位后得到的函数为奇函数，则函数 ? ? f x 的图象（

　）

　A． 关于点 012? ? ?? ?? ?， 对称

　B． 关于直线12x?? 对称 C． 关于点 06? ? ?? ?? ?， 对称

　D． 关于直线6x?? 对称 【练习 2】已知函数1( ) 2sin( )3f x x ? ? ? ，将 ( ) y f x ? 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将图象向左平移 1 个单位，所得图象对应的函数为 ( ) g x ，若函数的图象在 P ， Q 两处的切线都与 x 轴平行，则 | | PQ 的最小值为（

　）

　A． 17

　 B． 4

　 C． 4 ?

　D． 2 5

　五、三角函数值域（最值）

　 1.例题 求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：

　（1）

　，令 ，则 ； （2）

　，引入辅助角 ，化为 ； （3）

　，令 ，则 ； （4）

　，令 ， 则 ，所以 ； （5），根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.

　 【例 1】

　已知函数 ? ? 3sin2 2sin cos4 4f x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，则 ? ? f x 在 02x? ? ?? ??? ?， 上的最大值与最小值之差为

　． 【例 2】函数 的最小值为

　． 【例 3】函数 ? ? sin cos 2sin cos ,4 4f x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?的最小值是__________． 【例 4】求函数xxycos 2sin 2??? 的值域

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知 的定义域为[ ].求 的最小值. 【练习 2】函数 ? ?23sin 3cos4f x x x ? ? ? （ 0,2x? ? ?? ??? ?）的最大值是

　。

　【练习 3】求函数 x x x x y cos sin cos sin ? ? ? 的值域

　 六、平面向量为载体的三角函数综合问题

　1.例题 x x x f sin 2 2 cos ) ( ? ?1 )4( cos 2 ) sin (cos 3 ) (2 2 2? ? ? ? ??x x x x f2, 0?) (x f三角函数与向量的综合问题中，向量只是工具，问题的本质还是三角函数问题.解决本类问题的常规方法是：

　将向量的平行、垂直、数量积等通过坐标运算转化为三角函数形式，然后进行恒等变换，进而解决本问题.

　【例 1】

　设向量 cos , cos2 , sin2 ,sin4 4a x b x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ? ? f x a b ? ? . （1）求 ? ? f x 的最小正周期； （2）求 ? ? f x 在区间 ? ? 0, ? 上的单调递减区间.

　【例 2】

　已知向量 (cos ,sin ), (3, 3), [0,π]. x x x ? ? ? ? a b

　（1）若 a∥b，求 x 的值； （2）记 ( ) f x ? ? a b ，求( ) f x 的最大值和最小值以及对应的 x 的值．

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知 3cos ,cos4 4x xm? ?? ??? ?， sin ,cos4 4x xn? ?? ??? ?，设函数 ? ? f x m n ? ? ． （1）求函数 ? ? f x 的单调增区间； （2）设 ABC ? 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 a ， b ， c 成等比数列，求 ? ? f B的取值范围．

　【练习 2】已知3sin 2cos2a x x? ?? ??? ?? ?， ， 12cos cos2b x x? ?? ??? ?， ，记函数 ? ? f x a b m ? ? ?

　（1）求函数 ? ? f x 的最小正周期；

　 （2）如果函数 ? ? f x 的最小值为 1 ，求 m 的值,并求此时 ? ? f x 的最大值及图像的对称轴方程.

　七、课后自我检测

　1.函数 ? ? ? ? sin f x A x ? ? ? ?

　π( 0, 0, )2A ? ? ? ? ? 的部分图象如图所示,则 ? ? __________；函数 ? ? f x在区间π,π3? ?? ?? ?上的零点为__________．

　2.已知函数 ? ?23 13cos sin cos2 2 2 2f x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?. （1）求函数 ? ? f x 的单调递增区间； （2）已知在 ABC ? 中， , , A B C 的对边分别为 , , a b c ，若 ? ? 1 f A ? ， 2 a ? ，求 ABC ? 面积的最大值.

　 3.已知函数 ? ? ? ? 2sin 2 ( )2f x x?? ? ? ? ? 部分图象如图所示. （1）求 ? 值及图中0x 的值； （2）在 ABC ? 中，角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c ，已知 ? ? 7, 2, c f C ? ? ?

　sinB ?

　2sinA ，求 a 的值．

　 4. ? ? ? ? ? ? sin ,cos , 2cos ,2cos a x x b x x ? ? ? ? ，函数 ? ? 1 f x a b ? ? ? . （1）求 ? ? f x 的对称中心； （2）求函数 ? ? f x 在区间 0,2? ? ?? ?? ?上的最大值和最小值，并求出 x 相应的值.

　5.函数 ? ?2cos 3sin 2 f x x x ? ? ?

　0,2x? ? ? ? ??? ?? ?? ? ? ?的最大值是__________． 6.已知函数 ， ，且 在区间上有最小值，无最大值，则 的值为

　（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　7. 已 知 函 数 ? ? ? ? sin cos f x x a x a R ? ? ? 对 任 意 x R ? 都 满 足4 4f x f x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 则 函 数? ? ? ? sin g x x f x ? ?的最大值为 A． 5

　 B． 3

　C． 5

　D． 3

　8．将函数 ? ? cos 24f x x? ? ?? ?? ?? ?的图象向左平移8?个单位，得到函数 ? ? g x 的图象，则下列说法不正确的是 (

　 )

　A．16 2g? ? ??? ?? ? B． ? ? g x 在区间5 7,8 8? ? ? ?? ?? ?上是增函数 C．2x?? 是 ? ? g x 图象的一条对称轴 D． ,08? ? ??? ?? ?是 ? ? g x 图象的一个对称中心 9．已知 ? ?cos31cosxf xx? ? ,将 ? ? f x 的图象向左平移6?个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到 ? ? g x 的图象，下列关于函数 ? ? g x 的说法中正确的个数为（

　 ）

　①函数 ? ? g x 的周期为2?;②函数 ? ? g x 的值域为 ? ? 22 ? , ;③函数 ? ? g x 的图象关于12x?? ? 对称;④函数? ? g x 的图象关于 ,024? ? ?? ?? ?对称. A． 1个

　B． 2个

　C． 3个

　D． 4个

　 10. 函数 y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．

　11.已知向量 ? ? sin ,cos m A A ? ， ? ?3, 1 n ? ? ，

　1 m n ? ? ，且 A 为锐角． （1）求角 A 的大小； （2）求函数 ? ? cos2 4cos sin f x x A x ? ?

　( x R ? )的值域．

　12.在△ ??????中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 )23sin ,23(cosA Am ? ， )2sin ,2(cosA An ? ，且满足|???+ ??? | = √3． （1）求角 A的大小； （2）若?? + ?? = √3??，试判断△ ??????的形状．