方法技巧专题21,排列组合与二项式定理（原卷版）

　方法技巧专题 21 排列组合与二项式定理 学生篇

　 一、

　排列组合与二项式定理知识框架

　 二、与排列相关的常见问题

　 【一】特殊元素、特殊位置的排列问题

　1.例题 【例 1】有 8 名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果. （1）甲不在两端； （2）甲、乙相邻； （3）甲、乙、丙三人两两不得相邻； （4）甲不在排头，乙不在排尾。

　 【例 2】毕业季有 6 位好友欲合影留念，现排成一排，如果：

　（1）

　A 、 B 两人不排在一起，有几种排法？ （2）

　A 、 B 两人必须排在一起，有几种排法？ （3）

　A 不在排头， B 不在排尾，有几种排法？

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数． （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如 301，423 等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；

　 【练习 2】7 个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？ 其中甲不站排头，乙不站排尾； 其中甲、乙、丙 3 人两两不相邻； 其中甲、乙中间有且只有 1 人； 其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列

　 【二】相邻元素的排列问题

　1.例题 【例 1】7 人排成一排 （1）甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？ （2）甲、乙相邻，丙、丁相邻，共有多少种排法？ （3）甲、乙、丙排在一起，且都不在两端，共有多少种排法？ （4）甲、乙、丙排在一起，且甲在两端，共有多少种排法？ （5）甲、乙之间恰有 2 人，共有多少种排法？ （6）甲、乙之间是丙，共有多少种排法？

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】有 8 本互不相同的书，其中数学书 3 本，英语书 3 本，语文书 2 本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起的排法共有______种.（用数值回答）

　【练习 2】A ， B ， C ， D ， E ， F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅

　 子，B ， C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（

　 ）

　A．60 种 B．48 种 C．30 种 D．24 种 【练习 3】“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智信”相邻的概率为（

　）

　A．110 B．15 C．310 D．25 【练习 4】某小区有排成一排的 8 个车位，现有 5 辆不同型号的轿车需要停放，则这 5 辆轿车停入车位后， 剩余 3 个车位连在一起的概率为_______（结果用最简分数表示）.

　 【三】不相邻元素的排列问题

　1.例题 【例 1】】7 人排成一排 （1）甲、乙、丙互不相邻，共有多少种排法？ （2）甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有多少种排法？ （3）甲、乙不相邻，丙、乙不相邻，共有多少种排法？

　 【例 2】老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共 7 人要排成一排拍散伙纪念照. （1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？ （2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？ （3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】某大型联欢会准备从含甲、乙的 6 个节目中选取 4 个进行演出，要求甲、乙 2 个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（

　）

　 A．720 B．520 C．600 D．264 【练习 2】有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（

　）种 A．48 B．72 C．78 D．84 【练习 3】2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有 155 个国 家和地区，26 个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个 展位.在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 【练习 4】现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是______.

　【四】含定序元素的排列问题

　 1.例题 【例 1】4 男 3 女排成一排，且 4 男不等高，4 男自左向右从高到矮的顺序排列，有多少种排法？

　【例 2】某工程队有 5 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进行那么安排这 5 项工程的不同排法种数是_____________.（用数字作答）

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】用 1,2,3,4,5,6,7 排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？ (1)偶数不相邻； (2)偶数一定在奇数位上； (3)1 和 2 之间恰夹有一个奇数，没有偶数；

　 (4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．

　【练习 2】7 人站成一排． (1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法； (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法．

　 三、与组合相关的常见问题

　 【一】有限制条件的抽( ( 选) ) 取问题

　1.例题

　 【例 1】某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？

　 【例 2】10 双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取 4 只，求各有多少种情况出现如下结果． （1）4 只袜子没有成双； （2）4 只袜子恰好成双； （3）4 只袜子 2 只成双，另两只不成双．

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人,选派 5 人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法. （1）任选 5 人 （2）男运动员 3 名,女运动员 2 名 （3）至少有 1 名女运动员 （4）队长至少有一人参加 （5）既要有队长,又要有女运动员

　【练习 2】从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加座谈会，问：

　(1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人，有多少种选法？ (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，有多少种选法？ (3)如果 4 人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？

　 【二】分组分配问题

　1.例题 【例 1】按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; （3）平均分成三份,每份 2 本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; （5）分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本;

　【例 2】将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子．

　2.巩固提升综合练习

　 【练习 1】按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; （3）平均分成三份,每份 2 本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; （5）分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; （7）甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本.

　 【练习 2】某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有(

　) A．4 种

　B．10 种

　C．18 种

　D．20 种 【练习 3】（2018·黑龙江鹤岗一中高二月考（理））按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子； (2) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (3) 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (4) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子,恰有 1 个空盒.

　 .

　四 、排列与组合综合问题

　 1.例题 【例 1】在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A ， B ， C ， D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率.

　 【例 2】用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，数字 1 和 3 相邻的个数有多少? （3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124 排第几个?

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】（1）

　, , , , A B C D E 五人站一排， B 必须站 A 右边，则不同的排法有多少种； （2）晚会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又加了 2 个节目，若将这 2 个节目插入原节目单中，则不同的插法有多少种． （3）有四个编有 1、2、3、4 的四个不同的盒子，有编有 1、2、3、4 的四个不同的小球，现把小球放入盒子里． ①小球全部放入盒子中有多少种不同的放法； ②恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法； ③恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法．

　【练习 2】有 4 个不同的球，4 个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内． (1)共有几种放法？ (2)恰有一个盒不放球，共有几种放法？

　五 、二项式定理

　 【一】通项及二项式系数

　 1.例题 【例 1】在二项式521xx? ??? ?? ?的展开式中，含4x 的项的系数是

　。

　 （2）二项式8 31( )2xx? 的展开式的常数项是___________． （3）在二项式2 52( ) xx? 的展开式中， x 的系数为

　。

　【例 2】（1）

　? ? ? ?422 1 x x x ? ? ? 的展开式中 x 项的系数为（

　）

　A． 9 ?

　 B． 5 ?

　C． 7

　D． 8

　（2）（2019·重庆八中高三月考（理））

　? ?? ?52 x y x y ? ? 的展开式中3 3x y 的系数为（

　）

　A． 10

　B． 20

　C．、 30

　D． 40

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】61xx? ??? ?? ?展开式中的常数项为______． 【练习 2】2 42( ) xx? 展开式中含5x 的项的系数为（

　）

　A． 8

　 B． 8 ?

　C． 4

　D． 4 ?

　【练习 3】二项式11(3 1) x? 的二项展开式中第 3 项的二项式系数为________. 【练习 4】

　??481 2 14yx? ?? ?? ?? ?的展开式中2 2x y 的系数是（

　 ）

　A．58 B．62 C．52 D．42 【练习 5】

　? ?? ?32 x y x y ? ? 的展开式中3x y 的系数为_____ .

　 【二】二项式系数和问题

　 1.例题

　 【例 1】若2 70 1 2 77( ) (1 2 ) f x x a a x a x a x ? ? ? ? ? ? ? . 求：（1）0 1 7a a a ? ??? ； （2）1 3 5 7a a a a ? ? ? ； （3）0 1 2 7a a a a ? ? ? ? .

　【例 2】在二项式9) 3 2 ( y x?的展开式中，求：

　(1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】设2013 2 20130 1 2 2013(1 2 ) ( R) x a a x a x a x x ? ? ? ? ??? ? . （1）求1 2 2013a a a ? ??? 的值； （2）求1 3 5 2013a a a a ? ? ??? 的值； （3）求0 1 2 2013a a a a ? ? ??? 的值

　【练习 2】

　我设(2－ 3 x )100 ＝ a0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x2 ＋„＋ a100 · x100 ， 求下列各式的值．

　(1)求 a 0 ； (2) a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋„＋ a 100 ；

　 (3) a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋„＋ a 99 ； (4)( a 0 ＋ a 2 ＋„＋ a 100 )2 －( a1 ＋ a 3 ＋„＋ a 99 )2 ； (5)| a 0 |＋| a 1 |＋„＋| a 100 |.

　 【三】系数的最值问题

　 1.例题 【例 1】已知二项式3312nxx? ??? ??? ?的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数 n 的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项.

　2.巩固提升综合练习

　 【练习 1】（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）在822( ) xx? 的展开式中， （1）求展开式中所有的有理项； （2）展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项

　 【练习 2】

　我 已知1( 2 )4nx ? 的展开式前三项的三项式系数的和等于 37 ，求：

　（1）展开式中二项式系数最大的项的系数． （2）展开式中系数最大的项．

　六 、课后自我检测

　1.一个口袋里装有 7 个白球和 1 个红球，从口袋中任取 5 个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？

　 2.把 6 本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）

　(Ⅰ)甲得 2 本； (Ⅱ)每人 2 本； (Ⅲ)有 1 人 4 本，其余两人各1 本．

　 3.一次游戏有 10 个人参加，现将这 10 人分为 5 组，每组两人。

　（1）若任意两人可分为一组，求这样的分组方式有多少种？ （2）若这 10 人中有 5 名男生和 5 名女生，要求各组人员不能为同性，求这样的分组方式有多少种？ （3）若这 10 人恰为 5 对夫妻，任意两人均可分为一组，问分组后恰有一对夫妻在同组的概率是多少？

　4.从 8 名运动员中选 4 人参加 4 100 ? 米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？ （1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒； （2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； （3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒； （4）甲不在第一棒.

　5.有 8 名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果. （1）甲不在两端； （2）甲、乙相邻； （3）甲不在排头，乙不在排尾；

　（4）甲、乙两人之间有且只有 1 人.

　6.在班级活动中，4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字．．作答）

　（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）四名男生相邻有多少种不同的排法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）

　（5）从中选出 2 名男生和 2 名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？

　 （6）现在有 7 个座位连成一排，仅安排 4 个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？

　 7.现有 5 名男生和 3 名女生站成一排照相， （1）3 名女生站在一起，有多少种不同的站法？ （2）3 名女生次序一定，但不一定相邻，有多少种不同的站法？ （3）3 名女生不站在排头和排尾，也互不相邻，有多少种不同的站法？ （4）3 名女生中， A ， B 要相邻， A ， C 不相邻，有多少种不同的站法？

　8．从 1 到 7 的 7 个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数． 试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？ （2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？

　（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）

　9．现有 4 个不同的球，和 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）共有多少种不同的方法？ （2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？ （3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？ （4）若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？

　 10.51( 3) x xx? ?? ?? ?? ?展开式中含 x 的项的系数为（

　）

　A．-112 B．112 C．-513 D．513 11. ? ?6211 1 xx? ?? ?? ?? ?展开式中2x 的系数为（

　）

　A．15 B．20 C．30 D．35 12. ?? 52 3 4 50 1 2 3 4 51 3 + + + + = + x a a x a x a x a x a x ?，求0 1 2 3 4 5+ = + + + + a a a a a a

　（

　）

　A．1024 B．243 C．32 D．24 13.二项式? ?6210 mx mx? ?? ?? ?? ?的展开式中常数项为 60，则 m? （

　）

　A．2

　B．3

　C．2 D．3 14. ? ?131 x ? 的展开式中，系数最小的项为（

　）

　A．第 6 项 B．第 7 项 C．第 8 项 D．第 9 项 15.设5 2 50 1 2 5(2 ) x a a x a x a x ? ? ? ? ，那么0 2 41 3 5a a aa a a? ?? ?的值为（

　）

　A．244241?

　B．122121?

　C．6160?

　D．-1 16.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为12 n? ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，„，则此数列的前 15 项和为（

　）

　A．110 B．114 C．124 D．125 17.设2018 2 20180 1 2 2018(1 ) ax x a x a a x a ? ? ? ? ? ? ，若1 2 3 20182 3 2018 2018 a a a a a ? ? ??? ? ? ? 0 a ? ，则实数 a? ________. 18. 1 - 50 51 被 7 除后的余数为_____． 19.若412nxx? ??? ?? ?展开式中前三项系数成等差数列，求：

　（1）展开式中含 x 的一次幂的项；

　 （2）展开式中所有 x

　的有理项； （3）展开式中系数最大的项．