阿氏圆从入门到精通
阿氏圆
关于“阿波罗尼斯”：
阿波罗尼斯（Apollonius of Perga Back，也音译作“阿波罗尼奥斯”），古希腊人（公元前262~公元前190），写了八册圆锥曲线论（Conics）著，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线、共扼直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题。他与阿基米德、欧几里德被誉为古希腊三大数学家。
阿波罗尼斯出生在当代文化的中心——Perga（古代小亚细亚南岸地区，今土耳其境内）。少年时，阿波罗尼斯前去 Alexandria（亚历山卓，埃及北部海港城市），并在欧几里得（《几何原本》作者）门下求学，后来也在那边从事教书工作。其生平描述，仅见于他的著作 Conics 的前言。Conics 共有八册，希腊文版本仅留存前四册，而阿拉伯文版本的，前七册均被保留了下来。
阿波罗尼斯亦是位利用数学方法研究相关天文学（即使用几何的模型去解释星球理论）的重要创始人，也是许多应用的发明人，例如他发明了 hemicyclium，即一个表面上有着时刻线的圆锥形的日，这个日暑带给当时的计时工作有更大的精确度。阿波罗尼斯被公认为「最伟大的几何学家]。关于阿波罗尼斯的生平事迹记载并不多，但他的著作对数学的发展确实具有十分重大的影响，特别是他那本介绍了许多名词（例如：抛物线、椭圆、双曲线）的有名的著作 Conics。
关于“阿波罗尼斯圆”：
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阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 λ（λ＞0 且 λ≠0）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.用现代数学语言详述如下：
阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异的两点 A、B，设 P 点在同一平面上且满足 PA:PB＝λ 当 λ＞0 且 λ≠0 时 P 点轨迹是一个圆，这个圆我们称为阿波罗尼斯圆.这个结论称为阿波罗尼斯轨迹定理.
经典几何模型之“阿氏圆”
一、 模型名称由来
【模型背景】“PA＋k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1 时，即可转化为“PA＋PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究。即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点 P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA＝k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二. . 模型建立
如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r＝k·OB，连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
模型解读：最早见“PA＋PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明△BPO 与△PCO相似，即 k·PB＝PC。故本题求“PA＋k·PB”的最小值可以转化为:“PA＋PC”的最小值，其中与A 与 C 为定点，P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时“PA＋PC”值最小。如图 3
三 .“ 阿氏圆 ” 模型破解策略
【破解策略详细步骤解析】
第一步：连接动点于圆心 O（一般将含有 k 的线段两端点分别与圆心 O 相连），即连接 0B、OP； 第二步：计算出线段 OP 与 OB 及 OP 与 OA 的线段比，找到线段比为 k 的情况，如例子中的 OP：OB＝k 第三步：在 OB 上取点 C，使得 OC:OP＝OP:OB（核心关键步骤）
第四步：连接 AC，与⊙O 的交点即为点 P 【核心步骤另单独解析】
回顾图 2，在 OB 上取点 C 构建 OC:OP=OP:OB 的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
将图 2 中△BPO 单独提取出，如图 4，上色渲染的△PCO∽△BPO，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图 4，△PCO 与△BPO 有公共角∠O，且 OC:OP=OP:OB（在某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是∠O=∠O、∠B=∠OPC）
（构造出△PCO∽△BPO 后可以得到 OC:OP=OP:OB，进而推出 OP2 =0B·OC，即“半径的平方=原有线段×构造线段”，确定 C 的位置后，连接 AC，求出 AC 长度“阿氏圆”即可破解）
四.“阿氏圆”典型例题讲解 例 1：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为 2，P 为圆上一动点，连接AP、BP，求 AP+ 12 BP 的最小值。
解答：如图 2，连接 CP，因为 CP=2，AC=6，BC=4，简单推算得:13CPAC? ，12CPCB? 而题目中是求“AP+ 12BP”其中的“k= 12 ”，故舍弃在 AC 上取点，应用“12CPCB? ”，所以在 CB 上取一点 D，使 CD=1，则有12CD CP PDCP CB BP? ? ? ，无论P如何移动，△PCD与△BCP始终相似，故PD= 12 BP始终成立，所以AP+12 BP=AP+PD，其中 A、D 为定点，故 A、P、D 三点共线时最小2 21372AP BP AP PD AD AC CD ? ? ? ? ? ? ?
（思考：若求 BP+ 13 PA 呢？）
（大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”）
例 2：已知扇形 COD 中，∠COD=90°，OC=6，0A=3，OB=5，点 P 是弧 CD 上一点，求 2PA+PB 的最小值. 解答：首先连接 0P，因为 0P=6，0A=3，0B=5，所以12AOOP? ，56BCOP? ,题目求的是“2PA+PB”，其中的“k=2”与之相关的是 AO:OP=1:2，故在 0A 上取点，考虑到是 2PA，故在 OC 上取点 H 使 0H=12，则有12OA OP APOP OH PH? ? ? ，无论 P 如何移动，△PA0 与△HPO 始终相似，故 PH=2PA 始终成立，所以2PA+PB=PH+PB，其中 H、B 为定点，故 H、P、B 三点共线时最小，2PA+PB=PH+PB=2 2OH OB ? =13.（思考：若求 AP+ 65 PB 呢？）
例 3：如图 1，已知 AC=6，BC=8，AB=10，⊙C 的半径为 4，点 D 是⊙C 上的动点，连接 AD、BD，则 AD+ 12BD 的最小值为？
解答：首先连接 CD，因为 CD=4，CB=8，CA=6，所以12CDCB? ，23CDCA? 题目求的是 “AD+ 12 BD”，其中的“k=12 ”与之相关的是12CDCB? ，故在 CB 上取点，故在 CB 上取点 H，使 CH=2，则有12CH CD HDCD CB BD? ? ? ，无论 P 如间移动，△DH0 与△BDC 始终相似，故 HD= 12 BD 始终成立，所以 AD+12BD=AD+DH，其中 H、A 为定点，故 H、D、A 三点共线时最小 AD+ 12 BD=AD+DH=2 2CH AC ? = 2 10
（思考：若求 BD+ 23 AD 呢？）
例 4：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点 D 为△4BC 内一动点，且满足 CD=2，则AD+ 23 BD 的最小值？
解答：此题关键在于看出是“阿氏圆模型”，首先从问题看，可能是“阿圆”，接着题目条件“CD=2”更加确定此题有隐藏圆，如图 2，D 在 r=2 的⊙C 上，下面步骤完全与上相同，故略。答案：4103 例 5：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，⊙C 的半径为 2，点 P 是⊙C 上一动点，则 AP+ 12PB 的最小值？
解答：如图 2，连接 CP，口算23CPCA? ，12CPCB? 故选择在 CB 上取点，构造“核武器”“母子型相供模型”，取点 H，使 CH=1，有器12CH CP PHCP CB BP? ? ? ，所以无论 P 如间移动，△PCH 与△BCP 始终相似，故 PH= 12 BP 始终成立，所以 AP+12 PB=AP+PH，其中 H、A 为定点，故 H、P、A 三点共线时最小，AP+12 PB=AP+PH=2 2CH AC ? = 10
（思考：若求 BP+ 23 AP 呢？）
例 6：如图 1，正方形 ABCD 边长为 4，OB 的半径为 2，P 是⊙B 上一动点，则 2 PD+4PC 的最小值？
解答：此题，初学者有可能会陷入误区，以为很难，因为按照前面题的套路12BPBC?12BPBA? （因为前面我们都是比较这三条线段啊），感觉好像和“ 2 PD+4PC”没关系啊！实际上对“阿氏圆”套路的理解不够深，我们研究的线段是圆心到“一动两点”，在此题中，“一动”指的是“动点 P”，“两定”不是指 A、C，而是要看问题“ 2 PD+4PC”问题中 P 为动点，C、D 才是定点，故本题应该比较12BPBC? ，2 24 4 2BPBD? ? ,故选择在 BD 上取点 H（如图 2），使得2=2BH ，则有24BH BP PHBP BD PD? ? ? ,所以无论 P如何移动，△PBH与△DBP始终相似，故24PH PD ? 始终成立，所以22 +4PC=4(PC+ ) 4( )4PD PD PC PH ? ? ,其中 H、C 为定点，故 H、P、C 三点共线时最小，22 +4PC=4(PC+ ) 4( )=4CH4PD PD PC PH ? ? ,2 22 21 7 5 22 2 2CH PM MC? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,故答案：
10 2
（思考：若求 PD＋ 12 PC 呢？）
例 7：如图 1，在已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B＝60°，⊙B 的半径为 2，P 为⊙B 上一动点，则 3PD＋6PC 的最小值？
解答：比较 BP、BC、PD，得3=6BPBD，12BPBC? ，故在 BD 上取点 H，使得 BH＝33，36BH BP PHBP BD PD? ? ?
所以3=6PH PD ，2 233 +6 =6 + =6 = 2 1116PD PC PC PD PC PH HM MC ? ? ? （ ）（ ）6
(思考：若求 PD＋ 12 PC 呢？)
例 8：在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA-135°，则 2PD+PC 的最小值是？
解答：首先从问题，大概看出是“胡不归”或者“阿氏圆”的问题，然后 P 是动点，但是 AB 是定线段，∠BPA=135°是定值，属于“定弦定角”“隐圆模型”，故构建⊙O，如图 2，然后下面过程略，答案：
2 2
例 9：如图 1，在 Rt△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为 6，P 是⊙A 上的动点，连接PB、PC，则 3PC+2PB 的最小值？
解答：如图 2，取 AH=4，△APH∽△ABP，故 PH= 23 BP，所以 3PC+2PB=3（PC+23 BP）=3（PH+PC）=3CH，利用∠CBA=60°,BC=8，可以求出 BH=4，进而可知 HM=1，CM= 4 3 ，故 CH=7
五、实战演练 练 1：如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 内，内切圆记为⊙O，P 是⊙O 上一动点，则 2PB+PC 的最小值为？
【答案】
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练 2：如图，等边△ABC 的边长为 6，内切圆记为⊙0，P 是⊙0 上一动点，则 2PB+PC 的最小值为多少？
【答案】2372