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专题10,不等式(原卷版)

发布时间:2020-11-25 02:30:16 影响了:

  专题 10 不等式

 思想方法诠释

 1.对于解不等式,主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式,并且以一元二次不等式为主. 2.对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数,此类题型有时需要借助一个实际背景.其中以考查线性目标函数的最值为重点,常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解. 3.对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验,在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式.

  【真题解析】

 1.若集合 A=? ??? ?? ??? ?x ?? xx-1 ≤0,B={x|x 2 <2x},则 A∩B 等于(

 ) A.{x|0<x<1}

  B.{x|0≤x<1} C.{x|0<x≤1}

  D.{x|0≤x≤1} 2.若实数 a,b 满足 1a +2b = ab,则 ab 的最小值为(

 ) A. 2

 B.2

 C.2 2

 D.4 4.(2017·山东卷)若 a>b>0,且 ab=1,则下列不等式成立的是(

 ) A.a+ 1b <b2 a <log 2 (a+b) B.b2 a <log 2 (a+b)<a+1b

 C.a+ 1b <log 2 (a+b)<b2 a

 D.log 2 (a+b)<a+ 1b <b2 a

  【典例解析】

 考点一 不等式的解法 求解不等式的方法 (1)对于一元二次不等式,应先化为一般形式 ax 2 +bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解. (3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标准,有理有据、层次清楚地求解. 【训练】1.(2016·全国卷Ⅰ)设集合 A={x|x 2 -4x+3<0},B={x|2x-3>0},则 A∩B=(

 ) A. ????-3,- 32

  B. ????-3, 32 C. ????1, 32

  D. ????32 ,3 【训练】2.函数 f(x)=? ???? 2e x- 1 ,x<2,log 3 ?x 2 -1?,x≥2, 则不等式 f(x)>2 的解集为(

 ) A.(-2,4)

  B.(-4,-2)∪(-1,2) C.(1,2)∪( 10,+∞)

  D.( 10,+∞) 【训练】3.关于 x 的不等式 ax-b<0 的解集是(1,+∞),则关于 x 的不等式(ax+b)(x-3)>0 的解集是(

 ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)

  【训练】4.已知函数 f(x)=????? |x|+2,x<1,x+ 2x ,x≥1.设 a∈R,若关于 x 的不等式 f(x)≥ ????x2 +a 在 R 上恒成立,则 a的取值范围是(

 ) A.[-2,2]

  B.[-2 3,2] C.[-2,2 3]

  D.[-2 3,2 3] 考点二 基本不等式的应用 1.基本不等式:

 a+b2≥ ab (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. (3)应用:两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值. 2.几个重要的不等式 (1)a 2 +b 2 ≥2ab(a,b∈R).当且仅当 a=b 时取等号. (2)ab≤ ????a+b22 (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (3) a2 +b 22≥ ????a+b22 (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (4) ba +ab ≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. 【训练】1.若 a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),则 a+b 的最小值为(

 ) A.8

 B.6

 C.4

 D.2 【训练】2.设 a>1,b>1 且 ab-(a+b)=1,那么(

 ) A.a+b 有最小值 2+2 2 B.a+b 有最大值 2+2 2 C.ab 有最大值 2+1

  D.ab 有最小值 2+2 2 【训练】3.当 0<m< 12 时,若1m +21-2m ≥k2 -2k 恒成立,则实数 k 的取值范围为(

 ) A.[-2,0)∪(0,4]

  B.[-4,0)∪(0,2] C.[-4,2]

  D.[-2,4] 【训练】4.若 a,b∈R,ab>0,则 a4 +4b 4 +1ab的最小值为________. 【强化训练】

 一、选择题 1.已知 a>b,则下列不等式中恒成立的是(

 ) A.lna>lnb

  B. 1a <1b

 C.a 2 >ab

  D.a 2 +b 2 >2ab 2.设函数 f(x)=? ???? x 2 -4x+6,x≥0,x+6,x<0,则不等式 f(x)>f(1)的解集是(

 ) A.(-3,1)∪(3,+∞)

 B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)

 D.(-∞,-3)∪(1,3) 3.若关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是(-∞,-2),则关于 x 的不等式 ax2 +bxx-1>0 的解集为(

 ) A.(-2,0)∪(1,+∞)

 B.(-∞,0)∪(1,2) C.(-∞,-2)∪(0,1)

 D.(-∞,1)∪(2,+∞) 4.若关于 x,y 的不等式组????? x≤0,x+y≥0,kx-y+1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域,则其表示的区域面积为(

 ) A. 12 或14

 B.12 或18

  C.1 或 12

 D.1 或 14

 5.对一切实数 x,不等式 x 2 +a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

 ) A.(-∞,-2)

  B.[-2,+∞) C.[-2,2]

  D.[0,+∞) 6.已知 a>0,b>0,且 2a+b=ab,则 a+2b 的最小值为(

 ) A.5+2 2

 B.8 2

 C.5

 D.9 7.已知 f(x)=? ???? x 2 -4x+3,x≤0,-x 2 -2x+3,x>0, 不等式 f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数 a 的取值范围是(

 ) A.(-∞,-2)

  B.(-∞,0) C.(0,2)

  D.(-2,0) 8.若正实数 x,y 满足 x+y+ 1x +1y =5,则 x+y 的最大值是(

 ) A.1

 B.2

 C.3

 D.4 二、填空题 9.把一段长 16 米的铁丝截成两段,分别围成正方形,则两个正方形面积之和的最小值为________. 10.若正数 x,y 满足 x 2 +3xy-1=0,则 x+y 的最小值是________.

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