方法技巧专题11,圆锥曲线综合问题（原卷版）

　 方法技巧专题 11

　圆锥曲线的综合问题（学生版）

　一、

　圆锥曲线的综合问题知识框架

　 二、知识点及例题

　【一】定点问题

　 ·1.例题 【例 1】已知抛物线 py x C 2 :2? 经过点（2，−1）． （1）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （2）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 O 的直线 l 交抛物线 C 于两点N M、，直线 1 ? ? y 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B．求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．

　 【例 2】已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为 6. 定点问题：圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清．

　(1)求该抛物线 的方程； (2)已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，判断直线 是否过定点，并说明理由.

　2.巩固提升综合练习 【练习 1 】已知点 A，B 是抛物线2: 2 ( 0) C y px p ? ? 上关于轴对称的两点，点 E 是抛物线 C 的准线与 x轴的交点. （1）若 EAB 是面积为 4 的直角三角形，求抛物线 C 的方程； （2）若直线 BE 与抛物线 C 交于另一点 D ，证明：直线 AD 过定点.

　【练习 2 】已知椭圆2 22 2: 1x yCa b? ? ? ? 0 a b ? ? 的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆

　与直线 6 0 x y ? ? ? 相切，过点 ? ? 4,0 P 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点。

　（1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 B 关于 x 轴的对称点是点 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点。

　 【二】定值问题

　 1.例题 定值问题：定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现. （1）圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：

　（2）两种解题思路：

　①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：其解题流程为：

　【例 1 】已知椭圆2 22 2: 1x yCa b? ? （ ）的焦距为 ，且过点 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若点 ，设 为椭圆 上位于第三象限内一动点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值，并求出该定值．

　 【例 2】已知椭圆 ：

　，点 、 、 都在椭圆 上， 为坐标原点， 为中点，且 . （1）若点 的坐标为 ，求直线 的方程； （2）求证：

　面积为定值.

　2.巩固提升综合练习 0 a b ? ? 2 3(2,0) AC(0,1) BP C PAyM PBxN ABNM

　【练习 1】已知椭圆 ：

　的左、右焦点 ， ，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且 的周长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 是圆 ：

　上动点 处的切线， 与椭圆 交与不同的两点 ，，证明：

　的大小为定值．

　 【练习 2】已知抛物线 C：

　=2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N． （Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设 O 为原点， ， ，求证：

　为定值．

　 C2 22 21( 0)x ya ba b? ? ? ?1F2FM1 2MFF ?4 2 2 ?Cl O2 243x y ? ? ? ?? ?0 0 0 0, 0 P x y x y ? ? l C QRQOR ?

　【三】定线问题

　 1.例题 【例 1】如图，已知椭圆 的左右焦点为 ，其上顶点为 ，已知 是边长为 2 的正三角形 （1）求椭圆 的方程 （2）过点 任作一动直线 交椭圆 于 两点，记 ，若在线段 上取一点 使得 ，试判断当直线 运动时，点 是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，原点到过点的直线距离是

　（1）求椭圆 的方程 （2）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，过 作 的垂线与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上，并求出定直线的方程

　? ?2 22 2: 1 0x yC a ba b? ? ? ?1 2, F F A1 2F AFC? ? 4,0 Q ? l C, M N MQ QN ? ? MN RMR RN ? ? ? l R? ?2 22 2: 1 0x yC a ba b? ? ? ?1F24 y x ?? ? ? ? ,0 , 0, A a B b ?2 217C: l y kx m ? ? C P1F1PF l QQ：

　定线问题：定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的 方法，如定义法、消参法、交轨法等．

　【四】圆锥曲线中的最值与范围问题

　 1.例题 【例 1】已知点 A (−2，0)、 B (2，0)，动点 M ( x ， y )满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为−.记 M 的轨迹为曲线 C . （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C 于 P ， Q 两点，点 P 在第一象限， PE ⊥ x 轴，垂足为 E ，连结 QE 并延长交 C 于点 G .

　（i）证明：

　是直角三角形； （ii）求 面积的最大值.

　12PQG △PQG △圆锥曲线相关的最值、范围问题：

　一、圆锥曲线最值问题类型：

　（1）由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等； （2）将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用． 二、处理圆锥曲线最值问题的求解方法：

　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 三、解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：

　(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

　【例 2】已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，该椭圆的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切. （I）求椭圆 的方程； （Ⅱ）如图，若斜率为 的直线 与 轴，椭圆 顺次交于 点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线 过定点；并求出斜率 的取值范围.

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】

　】已知抛物线28 x y ? ，过点 0 4 M（ ，）

　的直线与抛物线交于 , A B

　两点，又过 , A B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于 P 点. （1）证明：直线 , PA PB 的斜率之积为定值； （2）求PAB △面积的最小值

　 2 22 2: 1 ( 0)x yC a ba b? ? ? ?1 2F F 、222 y x ? ?C? ? 0 k k ? lxC , , ( P Q R P1 2 1RFF PFQ ? ? ?l k

　【练习 2】

　】设圆2 22 15 0 x y x ? ? ? ? 的圆心为 A ，直线 l 过点 ? ? 10 B , 且与 x 轴不重合，直线 l 交圆 A 于 C ，D 两点，过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . （1）证明 EA EB ? 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （2）设点 E 的轨迹为曲线1C ，直线 l 交1C 于 M ， N 两点，过点 B 且与直线 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

　 【五】圆锥 曲线中的存在性问题

　 1.例题 【例 1】

　】在直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，若椭圆 ：经过点 ，抛物线 和椭圆 有公共点 ，且 . （1）求抛物线 和椭圆 的方程；

　（2）是否存在正数 ，对于经过点 且与抛物线 有 两个交点的任意一条直线，都有焦点 在以为直径的圆内？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.

　圆锥曲线中存在性问题的求解方法：

　（1）通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在； （2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．

　【例 2 】已知椭圆2 22 2: 1( 0)x yC a ba b? ? ? ? 的左、右焦点分别为1 ( 1,0)F ? ，2 (1,0)F ，点21,2A ??? ?? ?? ?在椭圆 C 上． （ 1 ）求椭圆 C 的标准方程． （ 2 ）是否存在斜率为 2 的直线 l ，使得当直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 M ， N 时，能在直线53y ? 上找到一点 P ，在椭圆 C 上找到一点 Q ，满足 PM NQ ? ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1 】已知圆 C 的圆心在直线 4 0 x y ? ? 上，且与直线 1 ? ? ? x y 相切于点 ? ? 3, 2 P ? ． （1）求圆 C 方程； （2）是否存在过点(1,0) A的直线 l 与圆 C 交于 M N 、 两点，且 OMN ? 的面积为 2 2 （ O 为坐标原点），若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由.

　 【练习2】

　】如图，两条相交线段 AB 、 PQ 的四个端点都在椭圆2 214 3x y? ? 上，其中直线 AB 的方程为 xm ?，直线 PQ 的方程为12y x n ? ? . （1）若 0 n ? ，BAP BAQ ? ??，求 m 的值； （2）探究：是否存在常数 m ，当 n 变化时，恒有BAP BAQ ? ??？

　 三、课后自我检测

　 三、课后自我检测

　 1.已知抛物线 的焦点 恰好是椭圆 的右焦点. （1）求实数 的值及抛物线 的准线方程； （2）过点 任作两条互相垂直的直线分别交抛物线 于 、 和 、 点，求两条弦的弦长之和的最小值．

　 2: 2 E y px ? F2 2: 2 2 C x y ? ?pEF E A B M NAB MN ?

　2.已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E（1,2 33）.过点 P(1,1)分别作斜率为 k 1 ,k 2 的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k 1 ; (3)若 k 1 +k 2 =1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.

　 3.已知椭圆 E ：2 22 21( 0)x ya ba b? ? ? ? 的焦距为 2c ，且 3 b c ? ，圆 O ：2 2 2 (0) x y r r ? ? ? 与 x 轴交于点 M ， N ， P 为椭圆 E 上的动点， 2 PM PN a ? ? ， PMN ? 面积最大值为 3 . （1）求圆 O 与椭圆 E 的方程； （2）设圆 O 的切线 l 交椭圆 E 于点 A ， B ，求 AB 的取值范围.

　4.已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，该椭圆的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切. （I）求椭圆 的方程； （Ⅱ）如图，若斜率为 的直线 与 轴，椭圆 顺次交于 点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线 过定点；并求出斜率 的取值范围.

　 5.已知椭圆2 212 2: 1( 0)x yC a ba b? ? ? ? 的离心率为63，椭圆2 222 2: 1( 0)3 3x yC a ba b? ? ? ? 经过点3 3,2 2? ?? ?? ?? ?. （1）求椭圆1C 的标准方程； （2）设点 M 是椭圆1C 上的任意一点，射线 MO 与椭圆2C 交于点 N ，过点 M 的直线 l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线 l 与椭圆2C 交于 , A B 两个相异点，证明：

　NAB △ 面积为定值.

　2 22 2: 1 ( 0)x yC a ba b? ? ? ?1 2F F 、222 y x ? ?C? ? 0 k k ? lxC , , ( P Q R P1 2 1RFF PFQ ? ? ?l k

　6.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线2x 8y ? 的准线上． ? ? 1 求椭圆 C 的标准方程； ? ? 2 点 ? ?P 2, 3 ，? ?Q 2, 3 ? 在椭圆上， , A B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点 . 当 , A B 运动时，满足APQ BPQ ? ? ? ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．

　7.已知椭圆 离心率为 ，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且. （I）求椭圆 E 的方程； （II）过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点.若 ，求直线 l 的方程.