方法技巧专题12,,函数单调性、极值、最值与导数问题(原卷版)
方法技巧专题 12
函数单调性、极值、最值与导数问题
学生篇
一、函数单调性、极值、最值知识框架
二、函数单调性、极值、最值问题题型
【一】判断函数单调性
1. 例题
【例 1 】已知函数 ? ?xf x ax e ? ? 判断函数 ? ? f x 的单调性。
【例 2 】已知函数2( ) ln1af x xx?? ??,其中 a∈R,讨论并求出 f(x)在其定义域内的单调区间.
2. 巩固提升综合练习
【练习 1】
】已知函数 ( )xf x e ? , ? ? ? ?21 0 g x ax x a ? ? ? ? .设 ? ?? ?? ?g xF xf x?,讨论函数 ? ? F x 的单调性;
【练习 2 】已知 x ax x x ax x f ? ? ? ?2 221ln ) ( ) ( ,求 ) (x f 单调区间.
【二】根据单调性求参数
1. 例题 例 【例 1】
】(1)若函数2( ) 2( 1) 2 f x x a x ? ? ? ? 在区间 ? ? ,4 ?? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是
. (2)函数 ? ? ? ?22 4 4xf x e x x ? ? ? 在区间 ? ? 1, 1 k k ? ? 上不单调,实数 k 的范围是(
)
(3)若函数? ? ? ?212log 4 5 f x x x ? ? ? ?在区间 ? ? 3 2, 2 m m ? ? 内单调递增,则实数 m 的取值范围为
.
(4)若函数 ? ?2ln f x ax x x ? ? ? 存在增区间,则实数 a 的取值范围为
.
例 【例 2】
】已知函数3 2( ) 3 ( ) f x ax x x x ? ? ? ?R 恰有三个单调区间,则实数 a 的取值范围为(
)
A. ? ? 3, ? ??
B. ? ? ? ? 3,0 0, ???
C. ? ? ? ? ,0 0,3 ?? D. ? ? 3, ? ??
2. 巩固提升综合练习
习 【练习 1】
】函数3 21( )3f x ax x a ? ? ? 在 [1,2] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是(
)
A. 1 a ?
B. 1 a?
C. 2 a ?
D. 2 a ?
习 【练习 2】
】已知函数??(??) = ?? 3 + ???? 2 + ?? + 1(?? ∈ ??)在(−23 ,−13 )内存在单调递减区间,则实数??的取值范围是(
)
A.(0,√3] B.(−∞,√3] C.(√3,+∞) D.(√3,3) 习 【练习 3】
】若函数2( ) ln f x x xx? ? ? 在区间 [ ] , 2 t t ? 上是单调函数,则 t 的取值范围是(
)
A. [1,2]
B. [1, ) ??
C. [2,) ??
D. (1, ) ??
【 三 】函数的极值问题
1. 例题 例 【例 1 】(1)函数3( ) 12 f x x x ? ? 的极大值点是_______,极大值是________。
(2)函数31( )3f x x ax ? ? 的极大值为 2 3 ,则实数 a ? __________.
例 【例 2 】(1)函数3 2 2( ) f x x ax bx a a ? ? ? ? ? 在 1 x? 处有极值为 7,则 a ? (
)
A.-3 或 3 B.3 或-9 C.3 D.-3 (2)若函数2( )xf x e ax a ? ? ? 在 R 上有小于 0 的极值点,则实数 a 的取值范围是(
)
A. ( 1,0) ?
B. (0,1)
C. ( , 1) ?? ?
D. (1,) ??
(1)函数的极小值:
函数 y=f(x)在点 x = a 的函数值 f(a)比它在点 x = a 附近其它点的函数值都小,f ′ (a) = 0,而且在点 x = a附近的左侧 f ′ (x) < 0,右侧 f ′ (x) > 0 , 则点 a 叫做函数 y = f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y = f(x)的极小值. (2)函数的极大值:
函数 y = f(x)在点 x = b 的函数值 f(b) 比它在点 x = b 附近的其他点的函数值都大,f ′ (b) = 0,而且在点 x= b 附近的左侧 f ′ (x) > 0,右侧 f ′ (x) < 0,则点 b 叫做函数 y = f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y = f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
2. 巩固提升综合练习 习 【练习 1】
】已知函数2( ) ln f x a x bx ? ? , , a b?R ,若( ) f x 在1 x? 处与直线12y =- 相切. (1)求 , a b 的值; (2)求( ) f x 在1[ , ] ee上的极值.
习 【练习 2】
】若函数? ? ? ?elnxf x a x xx? ? ? 在1,22? ?? ?? ?内有两个不同的极值点,则实数 a 的取值范围是(
)
A. ? ? 2 e, e ??
B.?2 e, e? ???
C.2e, 2 e2? ?? ?? ?? ?
D.2e, 2 e2? ?? ?? ?? ? 习 【练习 3】
】已知函数3 2( ) ( 6) 1 f x x mx m x ? ? ? ? ? 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范围是 A. ( 1,2) ?
B. (, 3) (6, ) ?? ? ??
C. ( 3,6) ?
D. ( , 1) (2, ) ?? ? ??
题 【四】函数的最值问题
求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)基本不等式法:先对解析式变形,具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
1. 例题
例 【例 1】
】已知函数3 21( ) 13f x x ax bx ? ? ? ? ,当 3 x? 时,函数 ( ) f x 有极小值 8 ? . (1)求( ) f x 的解析式; (2)求( ) f x 在 [0,4] 上的值域.
例 【例 2】
】(1)已知??(??) = −13 ??3+ ??在区间(??,10 − ?? 2 )上有最大值,则实数 a 的取值范围是(
)
A.?? < −1
B.−2 ≤ ?? < 3
C.−2 ≤ ?? < 1
D.−3 < ?? < 1 (2)已知函数? ?? ?21 3xx a x af xe? ? ? ?? 在区间 ? ?1,2 上有最大值无最小值,则实数 a 的取值范围(
)
A. ? ?, 4 ?? ? B. [ 1, ) ? ??
C. ? ? 4, 1 ? ?
D. ? ? 4, 1 ? ?
2. 巩固提升综合练习
习 【练习 1】
】若 1 x? 是函数 ? ? ? ?25xx a e f x x ? ? ? 的极值点,则 ? ? f x 在 ? ? 22 ? , 上的最小值为______. 习 【练习 2】
】已知函数??(??) = ?? 3 − ???? 2 在(−1 , 1)上没有最小值,则??的取值范围是________________.
三、课后自我检测
1.若函数 ? ? ln f x x a x ? ? 不是单调函数,则实数 a 的取值范围是(
). A.[0,+∞)
B.(﹣∞,0] C.(﹣∞,0)
D.(0,+∞)
2.已知函数2( ) ln( 1) f x m x x mx ? ? ? ? 在 (1, ) ?? 上不单调,则 m 的取值范围是(
)
A. (4,) ??
B. ( ,4] ??
C. ( ,0) ??
D. (0, ) ??
3.对于任意1x ,2[1, ) x ? ?? ,当2 1x x ? 时,恒有22 11ln 2( )xa x xx? ?成立,则实数 a 的取值范围是(
)
A. ( ,0] ??
B. ( ,1] ??
C. ( ,2] ??
D. ( ,3] ??
4.已知函数 f(x)=x 3 +sin x,x∈(-1,1),则满足 f(a 2 -1)+f(a-1)>0 的 a 的取值范围是(
) A.(0,2) B.(1,2 ) C.(1,2) D.(0,2 ) 5.1( ) cos2f x x x ? ? 在 ? ? 0, ? 上的极小值为(
)
A.5 312 2? ? B.5 112 2? ?
C.312 2?? D.112 2??
6.3 2( ) 3 2 f x x x ? ? ? 在区间[1,5]上的最大值是(
)
A.-2 B.0 C.52 D.2 7.若函数??(??) = ?? 3 − 3???? − ??在区间(0,1)内有最小值,则??的取值范围是(
)
A.0 ≤ ?? < 1 B.0 < ?? < 1 C.−1 < ?? < 1 D.0 < ?? <12
8.已知函数1 ln( 1)( ) ( 2)2xf x xx? ?? ??,若 ( )1kf xx??恒成立,则整数 k 的最大值为(
) A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.已知 f(x)=-x 3 -ax 在(-∞,-1]上递减,且 g(x)=2x - ???? 在区间(1,2]上既有最大值又有最小值,则 a的取值范围是(
)
A.?? > −2 B.−3 ≤ ?? C.−3 ≤ ?? < −2 D.−3 ≤ ?? ≤ −2 10.已知函数??(??) =????+ ??ln??,??(??) = −??3+ ?? 2 + 5,若对任意的?? 1 ,?? 2 ∈ [ 12 ,2],都有??(?? 1 ) − ??(?? 2 ) ≤ 0成立,则实数??的取值范围是(
)
A.(−∞,2 − 4ln2]
B.(−∞,1]
C.[2 − 4ln2,12+14 ln2]
D.(−∞,12+14 ln2]
11.若函数3 2( ) 2 1 f x ax x x ? ? ? ? 在 (1,2) 上有最大值无最小值,则实数 a 的取值范围为(
)
A.34a ? ?
B.53a ? ?
C.5 33 4a ? ? ? ?
D.5 33 4a ? ? ? ?
12.已知3 2( ) f x x ax bx ? ? ? 满足 (1 ) (1 ) 22 0 f x f x ? ? ? ? ? ,则( ) f x 的单调递减区间是
。
13.若函数??(??) = ?? −13 sin2?? + ??sin??在(−∞,+∞)单调递增,则??的取值范围是__________. 14.已知函数3 2( ) 2 1 f x x x ax ? ? ? ? 在区间 (0,1) 上不是单调函数,则实数 a 的取值范围是_________. 15.已知 a 为实数,函数??(??) = ?? 3 − ???? 2 + (?? 2 − 1)??在区间(-∞,0)和(1,+∞)上都是增函数,则 a 的取值范围是______. 16.设函数 ? ?23ln2f x x ax x ? ? ? ,若 1 x? 是函数 ? ? f x 是极大值点,则函数 ? ? f x 的极小值为________ 17.已知函数 ( ) ln f x ax x ? ? ,当(0, ] x e ?(e 为自然常数),函数( ) f x 的最小值为 3,则 a 的值为_____________. 18.设函数 ? ?332x x x af xx x a? ? ?? ? ???,,,若 ? ? f x 无最大值,则实数 a 的取值范围是_
_. 19.已知函数 ? ?3 23 9 f x x ax x b ? ? ? ? ,且 ? ? f x 在 1 x?? 处取得极值 3 . (1)求函数 ? ? f x 的解析式; (2)求函数 ? ? f x 在 ? ? 2,4 ? 的最值.
20.已知函数??(??) = ln?? − ???? ?? + ????(?? ∈ ??). (Ⅰ)若函数??(??)在[1,+∞)上单调递减,求实数??的取值范围; (Ⅱ)若?? = 1,求??(??)的最大值.
21.设函数 f(x)=ae x (x+1)(其中 e=2.71828…),g(x)=x 2 +bx+2,已知它们在 x=0 处有相同的切线.
(1)求函数 f(x),g(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值.
22. 已知函数2( ) ln 3 1 f x x x ax ? ? ? ? ,讨论函数( ) f x 的单调性;
23.已知函数 ? ? ? ?21ln2f x x x ax a ? ? ? ?R ,讨论 ? ? f x 的单调性;.
24.已知函数2( ) ln1af x xx?? ??,其中 a∈R. (1)当 a=4 时,求 f(x)的极值点; (2)讨论并求出 f(x)在其定义域内的单调区间.