方法技巧专题30,不等式解法与基本不等式(原卷版)
方法技巧丏题 30
不等式的解法与基本不等式 学生篇
一、不等式的解法与基本不等式知识框架
二、不等式的解法
【一】一元二次不等式的解法
1.例题
【例 1】已知集合 A={x|x 2 -x-2<0},B={y|y=2 x },则 A∩B 等于(
) A.(-1,2)
B.(-2,1)
C.(0,1)
D.(0,2) 【例 2】解关于 x 的不等式 ax 2 -(a+1)x+1<0(a>0). 【例 3】
已知不等式 ax 2 -bx-1>0 的解集是??????? ? ? ?3121| x x ,则不等式 x 2 -bx-a≥0 的解集是________. 【例 4】(1)已知函数 f(x)=mx 2 -mx-1.若对于 x∈R,f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围. (2)已知函数 f(x)=mx 2 -mx-1.若对于 x∈[1,3],f(x)<5-m 恒成立,求实数 m 的取值范围. (3)若 mx 2 -mx-1<0 对于 m∈[1,2]恒成立,求实数 x 的取值范围.
2.巩固提升综合练习 【练习 1】
解下列不等式:
(1)-x 2 -2x+3≥0; (2)已知函数 f(x)=? ???? x 2 +2x,x≥0,-x 2 +2x,x<0, 解不等式 f(x)>3.
【练习 2】解关于 x 的不等式 12x 2 -ax>a 2 (a∈R).
【练习 3】已知不等式 ax 2 -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b;
(2)解不等式x-cax-b >0(c 为常数).
【二】分式不等式的解法
1.例题 【例 1】
解不等式:
073???xx.
例 【例 2】
】解不等式132 x??.
2.巩固提升综合练习 【练习 1】解下列不等式:
(1) 2 301xx???
(2) 2301xx x??? ?
【练习 2】解不等式:(1)
(2)
(3)
三、基本不等式
2 113xx???221xx? ??216 12xx x?? ?
【一】配凑型
1.例题 【例 1】(1)已知 0<x<1,则 x(4-3x)取得最大值时 x 的值为________. (2)若函数1( ) ( 2)2f x x xx? ? ??在 x a ? 处取最小值,则 a 等于(
)
A.3
B. 13 ?
C. 12 ?
D.4 (3)已知 0 a b ? ? ,则4 12aa b a b? ?? ?的最小值为(
)
A.44 4 ?
B.6 C.32 283aa b?? D. 3 2
(4)已知 1 x ? ? ,则函数27 101x xyx? ???的值域为________. 2.巩固提升综合练习 【练习 1】函数 y=x-1x+3+ x-1 的最大值为________. 【练习 2】已知 1, 0, 2 a b a b ? ? ? ? ,则1 11 2 a b??的最小值为(
)
A.322?
B.3 24 2? C. 32 2 ? D.1 22 3?
【二】条件型
1.例题 【例 1】(1)已知正数 x 、 y 满足 41 x y ? ?,则1 1x y?的最小值为(
)
A.8 B.12 C.10 D.9 (2)已知 0 m ? ,0 xy ? ,当 2 x y ? ? 时,不等式24mx y? ?恒成立,则 m 的取值范围是(
)
A. ? 2,???? B. ? ? 2,??
C. ? 0, 2 ?? D. ? ? 0,2
2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知正实数 a , b 满足41 ab? ? ,则1ba? 的最小值为(
)
A.4 B.6 C.9 D.10 【练习 2】已知 0 x ? , 0 y ? ,且 2 8 0 x y xy ? ? ? ,若不等式 ax y ? ?恒成立,则实数 a 的范围是(
)
A. ( ,12] ??
B. ( ,14] ??
C. ( ,16] ??
D. ( ,18] ??
【练习 3】已知正数 x 、 y 满足 1 x y ? ? ,则1 41 x y??的最小值为(
)
A. 2
B.92 C.143 D. 5
【练习 4】已知 1, 0, 2 a b a b ? ? ? ? ,则1 11 2 a b??的最小值为(
)
A.322?
B.3 24 2? C. 32 2 ? D.1 22 3?
【三】换元型
1.例题 【例 1】已知 0 a ? , 0 b ? ,且 2 1 a b ab ? ? ? ,则 2 ? a b 的最小值为(
)
A. 5 2 6 ?
B. 8 2
C.5 D.9
2.巩固提升综合练习 【练习 1】若正数 xy 、满足 4 0 x y xy ? ? ? ,则4x y ?的最大值为(
)
A.25 B.49 C.12 D.47 【练习 2】已知正实数 a,b 满足 a 2 -b+4≤0,则 u= 2a+3ba+b的最小值为________.
【四】实际应用
1.例题 【例 1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为34800m ,深度为 3m .如果池底每21m 的造价为150 元,池壁每21m 的造价为 120 元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为______ m .
2.巩固提升综合练习 【练习 1】某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站 10 km 处建仓库,则土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站(
) A.5 km 处
B.4 km 处
C.3 km 处
D.2 km 处
四 、课后自我检测
1.若集合 A=????????01|xxx ,B={x|x 2 <2x},则 A∩B=
。
2.不等式2601x xx? ??> 的解集为
。
3.关于 x 的不等式( )( )0( )x a x bx c? ???解集为 { | 1 2 3} x x x ? ? ? ? 或 ,则点 ( , ) P a b c ? 位于第
象限
4.不等式2312 1x xx? ???的解集为
。
5.若函数1( ) ( 2)2f x x xx? ? ??在 x a ? 处取最小值,则 a 等于(
)
A.3 B. 13 ? C. 12 ? D.4 6.不等式2( 1) (1 ) ( 2) 0 k x k x k ? ? ? ? ? ? 对于 x?R 恒成立,则 k 的取值范围是
。
7.已知对任意的 ? ? 1,1 a? ? ,函数 ? ? ? ?24 4 2 f x x a x a ? ? ? ? ? 的值总大于 0 ,则 x 的取值范围是
。
8.分式不等式22114 3x xx x? ?? ?? ?的解集为__________ 9.设正实数, x y 满足1, 12x y ? ? ,不等式2 241 2 1x ymy x? ?? ?恒成立,则 m 的最大值为 (
)
A. 8
B. 16
C. 2 2
D. 4 2
10.已知 0 a ? , 0 b ? , a , b 的等比中项是 1,且1m ba? ? ,1n ab? ? ,则 m n ? 的最小值是______.
11.若关于 x的不等式 x 2 +ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为
。
12.已知函数 f(x)=-x 2 +ax+b 2 -b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x)成立,若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是
。
13.若不等式 x 2 -(a+1)x+a≤0 的解集是[-4,3]的子集,则 a 的取值范围是________. 14.不等式 x 2 +8y 2 ≥λy(x+y)对于任意的 x,y∈R 恒成立,则实数 λ 的取值范围为________. 15.若存在实数 x∈[2,4],使 x2 -2x+5-m<0 成立,则 m 的取值范围为
。
16.已知实数 x,y 满足 x 2 +y 2 =3,|x|≠|y|,则1?2x+y? 2 +4?x-2y? 2 的最小值是________. 17.已知 P 为椭圆 x24 +y 23 =1 上一个动点,过点 P 作圆(x+1)2 +y 2 =1 的两条切线,切点分别是 A,B,则PA → ·PB →的取值范围为________.
18.在关于 x 的不等式 x 2 -(a+1)x+a<0 的解集中至多包含 1 个整数,则 a 的取值范围是
。
19.不等式 x 2 -2ax-3a 2 <0(a>0)的解集为________. 20.已知函数 f(x)=ax 2 +bx(a>0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为 2,则 8a+bab的最小值是________. 21.在△ ABC 中,A= π6 ,△ ABC 的面积为 2,则2sin Csin C+2sin B +sin Bsin C
的最小值为
. 22.已知 a∈[-1,1],不等式 x 2 +(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为________. 23.已知函数 f(x)=mx 2 -mx-1. (1)若对于 x∈R,f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<5-m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
24.已知不等式 ax 2 +bx+c>0 的解集为(1,t),记函数 f(x)=ax 2 +(a-b)x-c. (1)求证:函数 y=f(x)必有两个不同的零点; (2)若函数 y=f(x)的两个零点分别为 m,n 求|m-n|的取值范围.
25.设函数2( ) 2 f x mx mx ? ? ?
(1)若对于一切实数 ( ) 0 f x ? 恒成立,求 m 的取值范围;
(2)若对于 [1,3], ( ) 2( 1) x f x m x ? ? ? ? ? 恒成立,求 m 的取值范围.
26.设函数2( ) 3| | ( ) ? ? ? f x ax x a ,其中 a R ? . (1)当 1 a ? 时,求函数( ) f x 的值域; (2)若对任意 [ , 1] ? ? x a a ,恒有 ( ) 1 f x ? ? ,求 a 的取值范围.
27.徐州、苏州两地相距 500 千米,一辆货车从徐州行驶到苏州,规定速度不得超过 100 千米/时.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 0.01;固定部分为 a 元(a>0). (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
28.已知关于 x 的不等式 ? ?23 2 0 ax x a R ? ? ? ? . (1)当 0 a ? 时,若23 2 0 ax x ? ? ?的解集为 ? ? 1 x b x ? ? ,求实数 , a b 的值; (2)当 0 a ? 时,求关于 x 的不等式23 2 1 ax x ax ? ? ? ?的解集.