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方法技巧专题13,,函数图像(原卷版)

发布时间:2024-03-29 01:59:59 影响了:

 方法技巧专题 13

 函数的图像

  学生篇

  一、函数的图像知识框架

  二 、函数的图像备用知识扫描

 关于函数图像常用结论 1 1 .函数图象自身的轴对称

 (1)f(-x)=f(x)⇔函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称; (2)函数 y=f(x)的图象关于 x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x); (3)若函数 y=f(x)的定义域为 R,且有 f(a+x)=f(b-x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x= a+b2对称. 2 2 .函数图象自身的中心对称

 (1)f(-x)=-f(x)⇔函数 y=f(x)的图象关于原点对称; (2)函数 y=f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x); (3)函数 y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x). 3 3 .两个函数图象之间的对称关系

 (1)函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)的图象关于直线 x= b-a2对称(由 a+x=b-x 得对称轴方程); (2)函数 y=f(x)与 y=f(2a-x)的图象关于直线 x=a 对称; (3)函数 y=f(x)与 y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称; (4)函数 y=f(x)与 y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称 4 4 .函数图象的变换

 (1) 平移变换

 ①y=f(x)的图象 ――――――――→a>0,右移a个单位a<0,左移|a|个单位 y=f(x-a)的图象; ②y=f(x)的图象 ――――――――→b>0,上移b个单位b<0,下移|b|个单位 y=f(x)+b 的图象. “左加右减,上加下减”,左加右减只针对 x 本身,与 x 的系数,无关,上加下减指的是在 f?x?整体上加减.

  (2) 对称变换 ①y=f(x)的图象―――――→关于x轴对称

  y=-f(x)的图象; ②y=f(x)的图象―――――→关于y轴对称

 y=f(-x)的图象; ③y=f(x)的图象――――――→关于原点对称

 y=-f(-x)的图象; ④y=a x (a>0 且 a≠1)的图象 ―――――――→关于直线y=x对称

  y=log a x(a>0 且 a≠1)的图象. (3) 伸缩变换 ①y=f(x)的图象 ―――――――――――――――――――→a>1,横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a<1,横坐标伸长为原来的1a 倍,纵坐标不变 y=f(ax)的图象. ②y=f(x)的图象 ――――――――――――――――――――→a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变 y=af(x)的图象. (4) 翻折变换 ①y=f(x)的图象 ――→x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y=|f(x)|的图象; ②y=f(x)的图象 ――→y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉,右侧不变 y=f(|x|)的图象.

  三 、函数的图像题型分析

  【一】函数图象的作法

  1. 例题

 【例 1 1】

 】

 作出下列函数的图象. 函数图象的作法:

 :

 (1)直接法:当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可去掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

  (1) |xy ???????21;

  (2)y=|log 2 (x+1)|;

  (3)y= 2x-1x-1;

 (4)y=x 2 -2|x|-1.

 【例 2 2】

 】为了得到函数 y=log 2 x-1的图象,可将函数 y=log 2 x 图象上所有点的(

 ) A.纵坐标缩短为原来的 12 ,横坐标不变,再向右平移 1 个单位 B.纵坐标缩短为原来的 12 ,横坐标不变,再向左平移 1 个单位 C.横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位 D.横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位

 【例 3 3】

 】设函数 y= 2x-1x-2,关于该函数图象的命题如下:

 ①一定存在两点,这两点的连线平行于 x 轴; ②任意两点的连线都不平行于 y 轴; ③关于直线 y=x 对称; ④关于原点中心对称. 其中正确的是(

 ) A.①②

  B.②③

  C.③④

  D.①④

 2. 巩固提升综合练习

 【练习 1 1】

 】分别画出下列函数的图象:

 (1)y=|lg(x-1)|;

  (2)y=2 x+ 1 -1;

  (3)y=x 2 -|x|-2;

  (4)y= 2x-1x-1.

  【二】函数图象的识别

  1. 例题

 例 【例 1 1】

 】已知二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则正比例函数 y=(b+c)x 与反比例函数 y=a-b+cx在同一坐标系中的大致图象是(

 )

  【例 2 2】

 】函数 y=-x 4 +x 2 +2 的图象大致为(

 )

 2. 巩固提升综合练习

 【练习 1 1 】在同一直角坐标系中,函数 , (a>0,且 a≠1)的图象可能是(

 )

 识别函数图象的两种方法:

 :

 (1)直接根据函数解析式作出函数图象,或者是根据图象变换作出函数的图象. (2)间接法筛选错误与正确的选项可从如下几个方面入手:

 ①从函数的定义域判断图象的左右位置,从函数的值域判断图象的上下位置; ②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势; ③从函数的奇偶性判断图象的对称性; ④从函数的周期性判断图象的循环往复; ⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项.

  【练习 2 2】

 】函数 y=2 |x| sin2x 的图象可能是(

 )

  A

 B

  C

  D 【例 3 3】

 】若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为(

 )

 【 三 】

 根据图像识别解析式

  1. 例题

 【例 1 1 】如图所示的函数图象,对应的函数解析式可能是(

 )

 A.22 1xy x ? ? ?

 B. 2 sin y x x ?

 C.lnxyx?

 D. ? ?22xy x x e ? ?

  【例 2 2】

 】已知图①中的图象是函数 y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是(

 )

 A.y=f(|x|)

 B.y=|f(x)|

  C.y=f(-|x|)

  D.y=-f(-|x|)

 通过图象变换识别函数图象要掌握的两点 (1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象); (2)了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换.

 2. 巩固提升综合练习 【练习 1 1 】函数 ( ) y f x ? 的图象如图所示,则( ) f x 的解析式可以为(

 )

 A.1( )xf x ex? ?

 B.31( ) f x xx? ?

 C.21( ) f x xx? ?

 D.1( ) ln f x xx? ?

  【练习 2 2 】已知函数( ) f x 的图象如图所示,则 ( ) f x 的解析式可能是(

 )

 A.31( )2 1f x xx? ??

 B.31( )2 1f x xx? ??

 C.31( )2 1f x xx? ??

 D.31( )2 1f x xx? ?? 【四 】函数图像的应用

  1. 例题 【例 1 1】

 】已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(

 ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)

  B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)

  D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)

  函数图像的应用:

 (1)利用函数图象研究函数性质,一定要注意其对应关系. (2)利用函数的图象研究方程根的个数:当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程 f(x)=0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标,方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐标. (3)利用函数的图象研究不等式:当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.

 【例 2 2】

 】函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在(-1,3)上的解集为

 A.(1,3)

  B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3)

  D.(-1,0)∪(0,1) 【例 3 3 】对任意实数 a,b 定义运算“⊙”:a⊙b=? ???? b,a-b≥1,a,a-b<1,设 f(x)=(x 2 -1)⊙(4+x)+k,若函数 f(x)的图象与 x 轴恰有三个交点,则 k 的取值范围是(

 ) A.(-2,1)

 B.[0,1] C.[-2,0)

 D.[-2,1)

 2. 巩固提升综合练习

  【练习 1 1】

 】已知函数 f(x)=|log 3 x|,实数 m,n 满足 0<m<n,且 f(m)=f(n),若 f(x)在[m 2 ,n]上的最大值为 2,则 nm =________. 【练习 2 2】

 】已知 f(x)=? ???? |lg x|,x>0,2 |x| ,x≤0,则函数 y=2[f(x)] 2 -3f(x)+1 的零点个数是__________.

 四 、课后自我检测

 1.要得到 g(x)=log 2

 (2x)的图象,只需将函数 f(x)=log 2 x 的图象(

 ) A.向左平移 1 个单位

 B.向右平移 1 个单位 C.向上平移 1 个单位

 D.向下平移 1 个单位 2.函数 f(x)= e2x +1e x的图象(

 )

 A.关于原点对称

 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称

 D.关于 y 轴对称 3.已知函数 y=f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0},且满足 f(x)-f(-x)=0,当 x>0 时,f(x)=ln x-x+1,则函数 y=f(x)的大致图象为(

 )

 4.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 f?x?-f?-x?x<0 的解集为(

 )

  A.(-1,0)∪(1,+∞)

 B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

 D.(-1,0)∪(0,1) 5.已知函数( ) f x 的部分图象如图所示,则该函数的解析式可能是(

  )

 A. ( )ln f x x x ?

 B. ( )xf x xe ?

 C.ln( )xf xx? ?

 D. ( )xef xx?

 6.设函数 ? ?? ? f x x R ? 满足 ? ? ? ? ? ? ? ? 0,2 f x f x f x f x ? ? ? ? ? ,则 ? ? y f x ? 的图象可能(

 ) A. B.

 C. D.

 7.函数 f(x)=334 4xx?的大数图象为(

 )

 A. B.

 C. D.

 8.若函数 m yx? ???????? 121的图象与 x 轴有公共点,则m 的取值范围是________. 9.已知函数f(x)=? ???? log 2 x,x>0,2 x ,x≤0,且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是________. 10.定义在 R 上的函数 f(x)=? ???? lg|x|,x≠0,1,x=0,关于 x 的方程 f(x)=c(c 为常数)恰有三个不同的实数根 x 1 ,x 2 ,x 3 ,则 x 1 +x 2 +x 3 =________. 11.已知函数 y=f(x)及 y=g(x)的图象分别如图所示,方程 f(g(x))=0 和 g(f(x))=0 的实根个数分别为 a 和 b,则 a+b=________.

  12.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)若方程 f(x)=a 只有一个实数根,求 a 的取值范围.

  13.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ 1x +2 的图象关于点 A(0,1)对称. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)+ ax ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围.

 14.已知函数 f(x)=2 x ,x∈R. (1)当 m 取何值时方程|f(x)-2|=m 有一个解?两个解? (2)若不等式[f(x)] 2 +f(x)-m>0 在 R 上恒成立,求 m 的取值范围.

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