第2课时　函数定义域与值域

　第 第 2 课时

　函数的定义域与值域 题型一 函数的定义域

　1 ．函数 f(x) ＝ln(4x －x 2 )＋ ＋1x －2 的定义域为 为(

　) A ．(0,4)

　B ．[0,2) ∪(2,4] C ．(0,2) ∪(2,4)

　D ．(－ － ∞， ，0) ∪(4 ，＋∞ ∞) 【答案】C 【解析】

　要使函数有意义，则? ? ? ?? ?? ?? ? 4x －x 2 >0， ，x －2 ≠0， ， 得 解得 0<x<4 且 且 x ≠2. 2 ．(2020· 安徽江南十校模拟) 函数 y＝ ＝－ －x 2 ＋ ＋2x ＋3lg? ?x ＋1? ?的定义域为(

　) A ．( －1,3]

　B ．( －1,0) ∪(0,3] C ．[ －1,3]

　D ．[ －1,0) ∪(0,3] 【答案】B 【解析】

　要使函数有意义，x 需满足? ?? ?? ?? ?? ? － －x 2 ＋ ＋2x ＋3 ≥0， ，x ＋1>0， ，x ＋1 ≠1， ，

　解得－1<x<0 或 或 0<x ≤3 ，所以函数的定义域为( －1,0) ∪(0,3] ． 3 ．若函数 f(x) 的定义域为[0,8] ，则函数g(x)＝ ＝f? ?2x? ?8 －2 x 的定义域为________ ． 【答案】[0,3) 【解析】

　依题意有? ? ? ?? ?? ?? ? 0 ≤2x ≤8， ，8 －2 x >0， ， 得 解得 0 ≤x<3 ， ∴ ∴g(x) 的定义域为[0,3) ． 思维升华

　(1) 根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式 式( 组) ，得出不等式( 组) 的解集即可． (2) 求抽象函数的定义域的策略 ①数 若已知函数 f(x) 的定义域为[a ，b] ，则数 复合函数 f(g(x)) 的定义域由不等式a ≤g(x) ≤b 求出； ②数 若已知函数 f(g(x)) 的定义域为[a ，b]， ，则 则 f(x) 的定义域为 g(x)在 在 x ∈[a ，b] 上的值域． (3) 求函数定义域应注意的问题 ① 不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； ② 定义域是一个集合，要用集合或区间表

　示，若用区间表示数集，不能用 “ 或 ” 连接，而应该用并集符号 “ ∪ ” 连接．

　题型二 函数的值域

　例 例 1

　求下列函数的值域：

　(1)y ＝x 2 － －2x ＋3 ，x ∈[0,3) ； (2)y＝ ＝ 2x ＋1x －3； ； (3)y ＝2x－ － x －1 ； (4)y＝ ＝ x ＋1＋ ＋ x －1. 【答案】

　【解析】(1)( 配方法)y ＝x 2 － －2x ＋3 ＝(x－ －1) 2 ＋ ＋2 ， 由 由 x ∈[0,3) ， 再结合函数的图像 像( 如图 ① 所示) ，可得函数的值域为[2,6) ．

　(2)( 分离常数法)y＝ ＝ 2x ＋1x －3＝ 2? ?x －3? ? ＋7x －3＝

　2＋ ＋7x －3 ，， 显然7x －3 ≠≠0， ，∴ ∴y ≠2. 故函数的值域为(－ － ∞， ，2) ∪(2 ，＋∞ ∞) ． (3)( 换元法)设 设 t＝ ＝ x －1 ，则 x ＝t 2 ＋ ＋1 ，且t ≥0 ， ∴ ∴y ＝2(t 2 ＋ ＋1) －t ＝2 ? ?? ?? ?? ?t－ － 142 ＋ 158， ， 由 由 t ≥0 ，再结合函数的图像 像( 如图 ② 所示)， ，可得函数的值域为 ? ?? ?? ?? ?158，＋∞ ∞ . (4) 函数的定义域为[1 ，＋∞ ∞) ， ∵ ∵y＝ ＝ x ＋1与 与 y＝ ＝ x －1 在[1 ，＋∞ ∞) 上均为增函数， ∴ ∴y＝ ＝ x ＋1＋ ＋ x －1 在[1 ，＋∞ ∞) 上为增函数， ∴当 当 x ＝1 时，y min ＝ ＝ 2 ，即函数的值域为[ 2 ，＋∞ ∞) ． 思维升华

　求函数值域的一般方法 (1) 分离常数法；(2) 配方法；(3) 不等式法；(4) 单调性法；(5) 换元法；(6) 数形结合法；(7) 导数法． 跟踪训练１

　求下列函数的值域：

　(1)y＝ ＝ 2x －－12 x ＋ ＋1 ；；

　(2)y＝ ＝12log x ＋12 x ，，x ∈[1,2) ； (3)y＝ ＝ x2 －－x ＋2x －1(x>1) ． 【答案】

　】

　【解析】(1) 方法一

　y＝ ＝ 2x －－12 x ＋ ＋1 ＝＝1－ －22 x ＋ ＋1 ，， ∵ ∵2 x >0， ，∴ ∴2 x ＋ ＋1>1 ， ∴ ∴0<22 x ＋ ＋1 <2，， ∴－ －1<1－ －22 x ＋ ＋1 <1 ， ∴ 函数的值域为( －1,1) ． 方法二

　由 由 y＝ ＝ 2x －－12 x ＋ ＋1 得得 2 x ＝ y ＋11 －y ，， 又∵ ∵2 x >0 ， ∴ y ＋11 －y >0 ，即(y ＋1)(y －1)<0 ，即－1<y<1. ∴ 函数的值域为( －1,1) ． (2) 函数 y＝ ＝12log x ＋12 x 在在[1,2) 上为减函数， 当 当 x ＝1 时，y＝ ＝ 12 当，当 x ＝2 时，y ＝－1＋ ＋ 14＝－ 34 ，， ∴ － 34 <y≤≤ 12 ，，

　∴ 函数的值域为 ? ?? ?? ?? ?－ 34 ， 12. (3)令 令 t ＝x －1， ，∴ ∴t>0 ，x ＝t ＋1 ， ∴ ∴y＝ ＝ ? ?t ＋1? ? 2 － －? ?t ＋1? ? ＋2t＝ t2 ＋＋t ＋2t＝ ＝t＋ ＋ 2t＋ ＋1 ≥2 2 ＋1 ， 当 当且仅当 t＝ ＝ 2t 即即 t＝ ＝ 2 时取等号， ∴ 函数的值域为[2 2 ＋1 ，＋∞ ∞) ．

　 题型三 定义域与值域的应用

　例 例 2

　(1)(2021· 广州模拟) 若函数 f(x)＝ ＝ax 2 ＋ ＋abx ＋b 的定义域为{x|1 ≤x ≤2} ，则a ＋b 的值为________ ． 【答案】

　－ 92

　【解析】数 函数 f(x) 的定义域是不等式 ax 2＋ ＋abx ＋b ≥0 的解集．不等式 ax 2 ＋ ＋abx＋ ＋b ≥0 的解集为{x|1 ≤x ≤2} ， 所以? ?? ?? ?? ?? ? a<0， ，1 ＋2 ＝－b， ，1 ×2＝ ＝ ba ，解得? ?? ?? ?? ?? ? a ＝－ 32 ，b ＝－3， ， 以 所以 a ＋b ＝－ 32 －－3 ＝－ 92 . (2) 已知函数y＝ ＝ x 2 ＋ ＋ax －1 ＋2a 的值域为[0 ，＋∞ ∞) ，求 a 的取值范围． 【答案】

　【解析】令 令 t ＝g(x) ＝x 2 ＋ ＋ax －1 ＋2a ，要数 使函数 y＝ ＝ t 的值域为[0 ，＋∞ ∞) ，则说明[0 ，＋∞ ∞)⊆ ⊆

　{y|y ＝g(x)} ，即函数 g(x) 对应的一元二次方程的判别式 Δ ≥0 ，即 a 2 － －4(2a －1) ≥0， ，即 即 a 2 － －8a ＋4 ≥0 ，解得 a ≥4 ＋2 3或 或 a ≤4

　－ －2 3， ，∴ ∴a 的取值范围是{a|a ≥4 ＋2 3或 或a ≤4 －2 3} ． 思维升华

　已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图 像 、性质、转化为含参数的方程( 组) 、不等式( 组) ，然后求解． 练 跟踪训练 2

　(1) 若函数 f(x) ＝ln(ax －1)在 在(2 ，＋∞ ∞) 上有意义，则实数 a 的取值范围为 为________ ． 【答案】

　? ?? ?? ?? ?12 ，＋∞ ∞ 】

　【解析】数 要使函数 f(x) ＝ln(ax －1) 有意义，则 则 ax －1>0 ， 即 即 ax －1>0 在(2 ，＋∞ ∞) 上恒成立， ∴? ? ? ?? ?? ?? ? a>0， ，2a －1 ≥0， ，得 解得 a≥ ≥ 12 . (2) 已知函数 f(x)＝ ＝ 12 (x －1) 2 ＋ ＋1 的定义域与值域都是[1 ，b](b>1) ，则实数 b＝ ＝________. 【答案】3 【解析】f(x)＝ ＝ 12 (x －1) 2 ＋ ＋1 ，x ∈[1 ，b]且 且b>1 ， 则 则 f(1) ＝1 ，f(b)＝ ＝ 12 (b －1) 2 ＋ ＋1 ， ∵ ∵f(x) 在[1 ，b] 上为增函数，

　∴ 函数值域为 ? ?? ?? ?? ?1， ， 12 ? ?b －1? ? 2 ＋ ＋1 . 由已知得 12 (b －1) 2 ＋ ＋1 ＝b ，解得 b ＝3 或 或 b＝ ＝1( 舍) ．