第2课时　等式性质与不等式性质

　第 第 2 2 课时

　等式性质与不等式性质

　课标解读 课标要求 核心素养 1.掌握等式和不等式的基本性质.(重点) 2.运用不等式的性质解决有关问题.(难点) 1.通过学习不等式的性质,培养学生数学抽象素养. 2.借助不等式的性质解决相关问题,提升数学运算素养.

　 楼房的采光率有一种简单的计算方法:设楼房的建筑面积为 a,窗口的面积和为 b,则楼房的采光率为 ???? (其中 a>b>0).

　问题:显而易见,如果增加窗口的面积,楼房的采光将变好,那么如何用不等式来表示这个事实呢?(不妨设增加的窗口面积为 m,其中 m>0) 答案 ??+????> ???? .

　1.等式的基本性质 (1)如果 a=b,那么①b=a. (2)如果 a=b,b=c,那么②a=c. (3)如果 a=b,那么 a±c=b±c. (4)如果 a=b,那么 ac=bc. (5)如果 a=b,c≠0,那么 ???? =???? .

　 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b③<a 可逆 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c④>b+c 可逆 4 可乘性 a ??c > 0 }⇒ac⑤>bc c 的符号 a > ??c < 0 }⇒ac⑥<bc 5 同向可 加性 a ??c > ?? }⇒a+c⑦>b+d 同向 6 同向同正 可乘性 a ?? c > ?? > 0 }⇒ac⑧>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an ⑨>b n (n∈N,n≥2) 同正

　 思考 1:如果 a>b,c>d,那么 a-c>b-d 成立吗? 提示 不一定,但 a-d>b-c 成立.

　 思考 2:如果 a>b,c>d,那么 ac>bd 成立吗? 提示 不一定,但当 a>b>0,c>d>0 时,一定成立.

　探究一

　假 利用不等式的性质判断命题的真假

　例 1 (1)下列命题为真命题的是(

　) A.若 a2 >b 2 ,则 a>b

　B.若 1?? >1?? ,则 a<b C.若 ac>bc,则 a>b

　D.若√??<√??,则 a<b (2)(多选)若 1?? <1?? <0,则下列不等式中一定成立的是(

　)

　A.|a|>|b| B.a<b C.a+b<ab D.a3 >b 3

　答案 (1)D (2)CD 解析 (1)A 为假命题,例如(-3)2 >2 2 ,但-3<2;B 为假命题,例如 12 >-13 ,但 2>-3;C 为假命题,例如当 c=-2,a=-3,b=2 时,有 ac>bc,但 a<b. (2)由 1?? <1?? <0 可得 b<a<0,|a|<|b|,即 A、B 中的不等式均不成立;a+b<0,ab>0,则 a+b<ab成立;a3 >b 3 成立.故选 CD.

　1.如果 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列不等式中不一定成立的是(

　) A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.cb2 <ab 2

　D.ac(a-c)<0 答案 C 由于 ac<0,且 c<b<a,因此 a>0,c<0,b 的符号不确定,当 b 为 0 时,不等式cb2 <ab 2 不成立.故选 C. 探究二

　利用不等式的性质证明不等式

　例 2 若 a>b>0,c<d<0,e<0,求证:??(??-??) 2 >??(??-??) 2 . 证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d,∴(a-c)2 >(b-d) 2 , 不等式两边同乘1(??-??) 2 (b-d) 2 , 得1(??-??) 2 <1(??-??) 2 . 又∵e<0,∴??(??-??) 2 >??(??-??) 2 . 思维突破

　 利用不等式的性质证明不等式时应注意的事项 (1)解决此类问题时一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活、准确地应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.

　 2.已知 a>b>0,c<d<0,求证:√ ????3<√????3. 证明 因为 c<d<0,所以-c>-d>0, 所以 0<- 1?? <-1?? . 又因为 a>b>0,所以- ???? >-???? >0. 所以 √ -????3> √ -????3,即-√ ????3>-√ ????3, 两边同乘-1,得√ ????3<√????3. 探究三

　利用不等式的性质求范围

　例 3 已知 1<a<4,2<b<8,试求 2a+3b 与 a-b 的取值范围. 解析 ∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24,∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8,∴-8<-b<-2. 又∵1<a<4,∴-7<a-b<2. 故 2a+3b 的取值范围是 8<2a+3b<32,a-b 的取值范围是-7<a-b<2. 易错点拨

　 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围. (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,那么就有可能扩大其取值范围.

　3.(1)(变条件)若本例条件变为-3<a<2,-4<b<-3,试求 2a+3b 与 a-b 的取值范围; (2)(变设问)若本例条件不变,求 ???? 的取值范围; (3)(变条件、变结论)若本例条件变为 1<a+b<4,2<a-b<8,试求 3a+b 的取值范围. 解析 (1)∵-3<a<2,-4<b<-3, ∴-6<2a<4,-12<3b<-9, ∴-18<2a+3b<-5.

　3<-b<4, ∴0<a-b<6. 故 2a+3b 的取值范围是-18<2a+3b<-5,a-b 的取值范围是 0<a-b<6. (2)∵2<b<8,∴ 18 <1?? <12 ,又∵1<a<4, ∴1× 18 <a·1?? <4×12 ,即18 <???? <2. 故 ???? 的取值范围是18 <???? <2. (3)设存在 m、n,满足 3a+b=m(a+b)+n(a-b), 则{ ?? + ?? = 3,??-?? = 1, 解得{ ?? = 2,?? = 1. ∴3a+b=2(a+b)+1(a-b), ∵1<a+b<4, ∴2<2(a+b)<8, 又∵2<a-b<8, ∴4<3a+b<16. 故 3a+b 的取值范围是 4<3a+b<16.

　 1.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是(

　) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 答案 A 由-1<β<1,得-1<-β<1, ∴-2<α-β<2,但 α<β,故-2<α-β<0. 2.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,-a,-b 的大小关系是(

　) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 答案 C 由 a+b>0 知,a>-b,∴-a<b<0. 又 b<0,∴-b>0,∴a>-b>b>-a.

　3.设 a,b∈R,若 a+|b|<0,则下列不等式中正确的是(

　) A.a-b>0 B.a3 +b 3 >0 C.a2 -b 2 <0 D.a+b<0 答案 D 不妨取 a=-2,b=1,则 a-b<0,a3 +b 3 <0,a 2 -b 2 >0,排除 A,B,C,故选 D. 4.若 8<x<10,2<y<4,则 ???? 的取值范围是

　.

　答案 2< ???? <5 解析 ∵2<y<4,∴ 14 <1?? <12 .又∵8<x<10,∴2<???? <5. 5.若 bc-ad≥0,bd>0,求证: ??+????≤ ??+????. 证明 因为 bc-ad≥0,所以 ad≤bc, 因为 bd>0,所以 ???? ≤???? ,所以???? +1≤???? +1,所以??+????≤ ??+????.

　数学运算——等价转化法比较大小

　设 P=√?? + 6+√?? + 7,Q=√?? + 5+√?? + 8(a>-5),判断 P,Q 的大小关系. 素养探究:比较两个实数的大小时,如果直接用作差法或作商法比较大小比较困难,或无从下手,那么可以考虑利用不等式的性质转化为利于比较大小的数后再进行比较,过程中体现数学运算核心素养. 解析 P2 =2a+13+2√(?? + 6)(?? + 7),Q 2 =2a+13+2√(?? + 5)(?? + 8), 因为(a+6)(a+7)-(a+5)(a+8)=a2 +13a+42-(a 2 +13a+40)=2>0, 所以√(?? + 6)(?? + 7)>√(?? + 5)(?? + 8),所以 P2 >Q 2 ,所以 P>Q.

　设 a>b>c>0,x= √ ?? 2 + (b + c) 2 ,y= √ ?? 2 + (c + a) 2 ,z= √ ?? 2 + (a + b) 2 ,则 x,y,z 的大小关系是

　 .(用“>”连接)

　答案 z>y>x 解析 ∵a>b>c>0,y2 -x 2 =b 2 +(c+a) 2 -a 2 -(b+c) 2 =2ac-2bc=2c(a-b)>0, ∴y2 >x 2 ,即 y>x. 同理可得 z>y,

　故 z>y>x.

　1.设 a=3x2 -x+1,b=2x 2 +x,x∈R,则(

　) A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b 答案 C ∵a-b=x2 -2x+1=(x-1) 2 ≥0,∴a≥b. 2.若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是(

　) A.a+c≥b-c B.ac>bc C.?? 2??-?? >0 D.(a-b)c2 ≥0 答案 D ∵a>b,∴a-b>0,∴(a-b)c2 ≥0,故选 D. 3.已知 a>b>c,则1??-?? +1??-?? 的值是(

　) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 答案 A 1??-?? +1??-?? =??-??+??-??(??-??)(??-??) =??-??(??-??)(??-??) , ∵a>b>c,∴b-c>0,c-a<0,b-a<0, ∴1??-?? +1??-?? >0,故选 A. 4.(多选)下列命题中的真命题为(

　) A.若 a>b>0,则1?? 2 <1?? 2

　B.若 a>b,则 c-2a<c-2b C.若 a<0,b>0,则 √ -??<√?? D.若 a>b,则 2a>2b 答案 ABD 对于 A 选项,a>b>0⇒0< 1?? <1?? ⇒1?? 2 <1?? 2 ;对于 B 选项,a>b⇒-2a<-2b⇒c-2a<c-2b;对于 C 选项,取 a=-2,b=1,则 √ -??<√??不成立;D 正确. 5.若 1<a<3,-4<b<2,则 a-|b|的取值范围是(

　) A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5 C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4

　C ∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0.又∵1<a<3, ∴-3<a-|b|<3. 6.不等式 a>b 和 1?? >1?? 同时成立的条件是

　.

　答案 a>0>b 7.已知 1<α<3,-4<β<2,若 z= 12 α-β,则 z 的取值范围是

　.

　答案 {??|-32< ?? <112} 解析 ∵1<α<3,∴ 12 <12 α<32 ,又-4<β<2,∴-2<-β<4,∴-32 <12 α-β<112,即- 32 <z<112. 8.若 a>b>0,则 a+ 1??

　 b+1?? (填“<”“>”或“=”).

　答案 > 解析 解法一:∵a>b>0,∴0< 1?? <1?? ,∴a+1?? >b+1?? . 解法二:a+ 1?? -(?? +1?? )=(??-??)(1+????)????,∵a>b>0,∴a-b>0,ab>0,1+ab>0, 则 a+ 1?? >b+1?? . 9.若-1<a+b<3,2<a-b<4,求 2a+3b 的取值范围. 解析 设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则{ ?? + ?? = 2,??-?? = 3,解得{?? =52,?? = -12. 易知- 52 <52 (a+b)<152,-2<- 12 (a-b)<-1, 所以- 92 <52 (a+b)-12 (a-b)<132,所以- 92 <2a+3b<132.

　10.已知 x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是(

　) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 答案 C 因为 x>y>z,x+y+z=0,所以 3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以 x>0,z<0, 所以由{ ?? 0,?? > ??, 可得 xy>xz. 11.有外表相同,质量不同的四个小球,它们的质量分别是 a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是(

　) A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b 答案 A ∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即 a>c,∴b<d.

　又 a+c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c. 12.(多选)已知 a、b、c、d 均为实数,则下列命题中正确的是(

　) A.若 ab<0,bc-ad>0,则 ???? -???? >0 B.若 ab>0, ???? -???? >0,则 bc-ad>0 C.若 bc-ad>0, ???? -???? >0,则 ab>0 D.若 1?? <1?? <0,则1??+?? <1????

　答案 BCD 对于 A 选项,∵ab<0,∴1???? <0,又∵bc-ad>0,∴???? -???? =1???? ·(bc-ad)<0,即???? -???? <0,故A 不正确; 对于 B 选项,∵ab>0, ???? -???? >0,∴ab·(????-???? )>0,即 bc-ad>0,故 B 正确; 对于 C 选项,∵ ???? -???? >0,∴????-????????>0,又∵bc-ad>0,∴ab>0,故 C 正确; 对于 D 选项,由 1?? <1?? <0,可知 b<a<0,∴a+b<0,ab>0, ∴1??+?? <1???? 成立,故 D 正确.故选 BCD. 13.已知 a>b>0,c<d<0,求证:( ???? )3 <( ???? )3 . 证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴0<- 1?? <-1?? . ∵a>b>0,∴- ???? >-???? >0,∴(-???? )3 >(- ???? )3 ,即-( ???? )3 >-( ???? )3 , ∴( ???? )3 <( ???? )3 .

　14.已知二次函数 y=ax2 +bx+c 满足以下条件: ①该函数图象过原点; ②当 x=-1 时,1≤y≤2; ③当 x=1 时,3≤y≤4. 当 x=-2 时,求 y 的取值范围. 解析 ∵二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象过原点,∴c=0,∴y=ax 2 +bx. 由题意得,当 x=-1 时,1≤a-b≤2,①

　当 x=1 时,3≤a+b≤4,② 当 x=-2 时,y=4a-2b. 设存在实数 m,n,使得 4a-2b=m(a+b)+n(a-b),则 4a-2b=(m+n)a+(m-n)b, ∴{ ?? + ?? = 4,??-?? = -2,解得 m=1,n=3, ∴4a-2b=(a+b)+3(a-b). 由①②可知 3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6, ∴3+3≤4a-2b≤4+6,即 6≤4a-2b≤10, 故当 x=-2 时,y 的取值范围是{y|6≤y≤10}