数学1必修

数学1必修篇一：高中数学必修1课后习题答案

高中数学必修1课后习题答案

第一章集合与函数概念

1．1集合

1．1．1集合的含义与表示

练习（第5页）

1．用符号“?”或“?”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，

印度_______A，英国_______A；

（2）若A?{x|x2?x}，则?1_______A；

（3）若B?{x|x2?x?6?0}，则3_______B；

（4）若C?{x?N|1?x?10}，则8_______C，9.1_______C．

1．（1）中国?A，美国?A，印度?A，英国?A；

中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．

2 （2）?1?AA?{x|x?x}?{0,．1 }

2 （3）3?B B?{x|x }?x?6?0}?{?3．,2

（4）8?C，9.1?C 9.1?N．

2．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x2?9?0的所有实数根组成的集合；

（2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数y?x?3与y??2x?6的图象的交点组成的集合；

（4）不等式4x?5?3的解集．

22．解：（1）因为方程x?9?0的实数根为x1??3,x2?3，

所以由方程x?9?0的所有实数根组成的集合为{?3,3}；

（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，

所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；

?y?x?3

?y??2x?6?x?1?y?42（3）由?，得?，

即一次函数y?x?3与y??2x?6的图象的交点为(1,4)，

所以一次函数y?x?3与y??2x?6的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；

（4）由4x?5?3，得x?2，

所以不等式4x?5?3的解集为{x|x?2}．

1．1．2集合间的基本关系

练习（第7页）

1．写出集合{a,b,c}的所有子集．

1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得?；

取一个元素，得{a},{b},{c}；

取两个元素，得{a,b},{a,c},{b,c}；

取三个元素，得{a,b,c}，

即集合{a,b,c}的所有子集为?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}．

2．用适当的符号填空：

（1）a______{a,b,c}；（2）0______{x|x2?0}；

（3）?______{x?R|x2?1?0}； （4）{0,1}______N；

（5）{0}______{x|x2?x}； （6）{2,1}______{x|x2?3x?2?0}．

2．（1）a?{a,b,c}a是集合{a,b,c}中的一个元素；

（2）0?{x|x2?0} {x|x?0?}

22 {；0}22（3）??{x?R|x?1?0}方程x?1?0无实数根，{x?R|x?1?0}??；

（4）

{0,1}

（5）

{0}N （或{0,1}?N） {0,1是自然数集合N的子集，也是真子集； }{x|x?x} （或{0}?{x|x?x}） {x|x?x}?222{0,；1 }

22（6）{2,1}?{x|x?3x?2?0} 方程x?3x?2?0两根为x1?1,x2?2．

3．判断下列两个集合之间的关系：

（1）A?{1,2,4}，B?{x|x是8的约数}；

（2）A?{x|x?3k,k?N}，B?{x|x?6z,z?N}；

（3）A?{x|x是4与10的公倍数,x?N?}，B?{x|x?20m,m?N?}．

3．解：（1）因为B?{x|x是8的约数}?{1,2,4,8}，所以

AB；

（2）当k?2z时，3k?6z；当k?2z?1时，3k?6z?3，

即B是A的真子集，

BA；

（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A?B．

1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）

1．设A?{3,5,6,8},B?{4,5,7,8}，求A?B,A?B．

1．解：A?B?{3,5,6,8}?{4,5,7,8}?{5,8}，

A?B?{3,5,6,?8}{4,5?,7,8}{3,．4

2．设A?{x|x2?4x?5?0},B?{x|x2?1}，求A?B,A?B．

2．解：方程x2?4x?5?0的两根为x1??1,x2?5，

方程x2?1?0的两根为x1??1,x2?1，

得A?{?1,5},B?{?1,1}，

即A?B?{?1},A?B?{?1,1,5}．

3．已知A?{x|x是等腰三角形}，B?{x|x是直角三角形}，求A?B,A?B．

3．解：A?B?{x|x是等腰直角三角形}，

A?B?{x|是． x等腰三角形或直角三角形}

4．已知全集U?{1,2,3,4,5,6,7}，A?{2,4,5},B?{1,3,5,7}，

B),(求A?(痧UA)?( UB)． U

4．解：显然eUB?{2,4,6}，eUA?{1,3,6,7}，

A)?(则A?(eUB)?{2,4}，(痧UUB)?{6}．

1．1集合

习题1．1 （第11页）A组

1．用符号“?”或“?”填空：

（1）32

7_______Q；（2）32______N；（3）?_______Q；

（4

）R；（5

Z； （6

）2_______N．

1．（1）32

7?Q32

7是有理数； （2）32?N32?9是个自然数；

)?2（3）??Q ?是个无理数，不是有理数； （4

R

（5

）Z

?3是个整数； (转 载 于:wWw.HnnsCY.cOM 博文学习网:数学1必修)（6

）2?N

是个自然数． 5

2．已知A?{x|x?3k?1,k?Z}，用 “?”或“?” 符号填空：

（1）5_______A； （2）7_______A； （3）?10_______A．

2．（1）5?A； （2）7?A； （3）?10?A．

当k?2时，3k?1?5；当k??3时，3k?1??10；

3．用列举法表示下列给定的集合：

（1）大于1且小于6的整数；

（2）A?{x|(x?1)(x?2)?0}；

（3）B?{x?Z|?3?2x?1?3}．

3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；

（2）方程(x?1)(x?2)?0的两个实根为x1??2,x2?1，即{?2,1}为所求；

（3）由不等式?3?2x?1?3，得?1?x?2，且x?Z，即{0,1,2}为所求．

4．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数y?x2?4的函数值组成的集合；

（2）反比例函数y?2

x

（3）不等式3x?4?2x的解集．

22的自变量的值组成的集合； 4．解：（1）显然有x?0，得x?4??4，即y??4，

得二次函数y?x?4的函数值组成的集合为{y|y??4}；

（2）显然有x?0，得反比例函数y?

（3）由不等式3x?4?2x，得x?

5．选用适当的符号填空：

（1）已知集合A?{x|2x?3?3x},B?{x|x?2}，则有： 452x2的自变量的值组成的集合为{x|x?0}； 45． ，即不等式3x?4?2x的解集为{x|x?

?4_______B； ?3_______A； {2}_______B； B_______A；

（2）已知集合A?{x|x2?1?0}，则有：

1_______A； {?1}_______A； ?_______A； {1?A； ,1_______}

（3）{x|x是菱形}_______{x|x是平行四边形}；

{x|x是等腰三角形}_______{x|x是等边三角形}．

5．（1）?4?B； ?3?A； {2}B；

BA；

2x?3?3x?x??3，即A?{x|x??3},B?{x|x?2}；

（2）1?A； {?1}A；

?A； {1?,1=}A；

2 A?{x|x }?1?0}?{?1；,1

（3）{x|x是菱

形}{x|x是平行四边形}；

菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；

{x|x是等边三角

形}{x|x是等腰三角形}．

等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．

6．设集合A?{x|2?x?4},B?{x|3x?7?8?2x}，求A?B,A?B．

6．解：3x?7?8?2x，即x?3，得A?{x|2?x?4},B?{x|x?3}，

则A?B?{x|x?2}，A?B?{x|3?x?4}．

7．设集合A?{x|x是小于9的正整数}，B?{1,2,3},C?{3,4,5,6}，求A?B， A?C，A?(B?C)，A?(B?C)．

7．解：A?{x|x是小于9的正整数}?{1,2,3,4,5,6,7,8}，

则A?B?{1,2,3}，A?C?{3,4,5,6}，

而B?C?{1,2,3,4,5,6}，B?C?{3}，

则A?(B?C)?{1,2,3,4,5,6}，

A?(B?C)?{1,2,3,4,5,6,7,8}．

数学1必修篇二：高一数学必修1试题附答案详解

1.已知全集I＝{0，1，2}，且满足CI (A∪B)＝{2}的A、B共有组数

2.如果集合A＝{x|x＝2kπ+π，k∈Z}，B＝{x|x＝4kπ+π，k∈Z}，则集合A，B的关系

2

3.设A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则B的元素个数是

4.若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a+1≤x<3a－5}，则能使Q ? (P∩Q)成立的所 有实数a的取值范围为

5.已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f:x→y＝ax＋b，若4和10的原象分别对应是6和9， 则19在f作用下的象为

3x－1

6.函数f(x) (x∈R且x≠2)的值域为集合N，则集合{2,－2,－1,－3}中不属于N的元

2－x素是

7.已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为

8.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.f(x)＝1，g(x)＝x

x－4

B.f(x)＝x＋2，g(x)＝

x－2D.f(x)＝x，g(x)＝( )2

2

C.f(x)＝|x|，g(x)＝?

2

?x x≥0

?－x x＜0

??xx＞0

9. f(x)＝?πx＝0 ，则f{f［f(－3)］}

??0 x＜0

x

10.已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则 的

y

11.设x∈R，若a<lg(|x－3|＋|x＋7|)恒成立，则a取值范围是

12.若定义在区间（－1，0）内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)>0，则a

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

1.已知全集I＝{0，1，2}，且满足CI (A∪B)＝{2}的A、B共有组数 A.5 B.7 C.9 2.如果集合A＝{x|x＝2kπ+π，k∈Z}，B＝{x|x＝4kπ+π，k∈Z}，则 A.AB B.BA C.A=B 3.设A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B的元素个数是

D.11 D.A∩B=?

A.5B.4C.3 D.2 4.若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a+1≤x<3a－5}，则能使Q ? (P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为 A.(1，9) B.［1，9］C.［6，9) D.(6，9］ 5.已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f:x→y＝ax＋b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为 A.18

B.30

27C.

2

D.28

3x－1

6.函数f(x) (x∈R且x≠2)的值域为集合N，则集合{2,－2,－1,－3}中不属于N的元

2－x素是 A.2

B.－2

C.－1

D.－3

7.已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为 A.3x－2 B.3x＋2 C.2x＋3 D.2x－3 8.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.f(x)＝1，g(x)＝x

x2－4

B.f(x)＝x＋2，g(x)＝

x－2D.f(x)＝x，g(x)＝( )2

C.f(x)＝|x|，g(x)＝?

2

?x x≥0

?－x x＜0

??xx＞0

9. f(x)＝?πx＝0 ，则f{f［f(－3)］}等于

?0 x＜0?

A.0

B.π

C.π

2

D.9

x

10.已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则 的值为

yA.1

B.4

C.1或4

1

D. 或4

4

11.设x∈R，若a<lg(|x－3|＋|x＋7|)恒成立，则 A.a≥1 B.a>1 C.0<a≤1

D.a<1

12.若定义在区间（－1，0）内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)>0，则a的取值范围是

1A.(0，)

2

B.(0，?

2

?

1?

1

C.( ，+∞)

2

D.(0，+∞)

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上) 13.若不等式x2＋ax＋a－2>0的解集为R，则a可取值的集合为__________.

14.函数yx＋x＋1 的定义域是______，值域为__ ____.

1

15.若不等式3x?2ax>()x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______.

3

2

x?1??2 x?(??,1??3

16. f(x)＝?1?x，则f(x)值域为_____ _.

??2 x??1,????3

1

17.函数y的值域是__________.

2＋1

18.方程log2(2－2x)＋x＋99＝0的两个解的和是______.

三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x－2x－3＞0}，求(CUA)∩(CUB).

20.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1. （1）求证：f(8)＝3(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.

21.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

22.已知函数f(x)＝log12x－log1x+5，x∈［2，4］，求f(x)的最大值及最小值.

4

4

2

a

23.已知函数f(x) (ax－a－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围.

a－2

答案

1、由题知A∪B={0，1}，所以A=?或{0 }或{1}或{0,1}；对应的集合B可为{0,1}或{1}，{0,1}或{0}，{0,1}或?，{0}，{1}，{0,1}

2、解：当k为偶数即k=2m,时A＝{x|x＝4mπ+π，m∈Z}，为奇数即k=2m+1,时A＝{x|x＝4mπ+2π，m∈Z},故.BA；注意m , k都是整数，虽字母不同但意义相同 3、解：A＝{-2，-1, 0,1,2}，则B＝{5，2, 1}

2a?1?3

4、解：由Q ? (P∩Q)知Q ? P，故 3a?5?222a?1?3a?5

得6<a≤9

5、解：由题知4?6a?b?9a?b

得a=2 b=－8，19×2－8=28

3x－12y?1

6、解：令 得x=,当y=－3时x不存在，故－3是不属于N的元素

2－x3?y7、解：设f(x)= ax＋b，则2(2a+b) －3(a+b) ＝5, 2(0a+b)－[(－1)a+b] ＝1，

解得a=3 b=－2 故f(x)= 3x－2

8、解：A. f(x)定义域为R，g(x)定义域为x≠0 B. f(x)定义域为R，g(x)定义域为x≠2 C f(x)去绝对值即为g(x)，为同一函数D f(x)定义域为R，g(x)定义域为x≥2 9、解：－３＜０，则f(－３)＝０，f(０)＝π，π＞０，f(π)＝π2，f{f［f(－3)］}＝π2 x1

10、解(x－2y) 2＝xy，得(x－y) (x－４y) ＝０，x＝y或，x＝４y即＝ 或4

y4

11、解：要使a<lg(|x－3|＋|x＋7|)恒成立，须a小于lg(|x－3|＋|x＋7|)的最小值，由于y＝lg x是增函数，只需求|x－3|＋|x＋7|的最小值，

?2x?7

（x??7）(?7?x?3)(x?3)

最小值为10最小值为10

去绝对值符号得|x－3|＋|x＋7| 102x?4

故lg(|x－3|＋|x＋7|)的最小值为lg １０＝１，所以.a<1

12、解：由x ?（－1，0），得x＋1?（0，1）,要使f(x)>0，由函数y＝logax 的图像知

1

0＜2a＜1, 得0＜a＜

2

1、由题知A∪B={0，1}，所以A=?或{0 }或{1}或{0,1}；对应的集合B可为{0,1}或{1}，{0,1}或{0}，{0,1}或?，{0}，{1}，{0,1}

2、解：当k为偶数即k=2m,时A＝{x|x＝4mπ+π，m∈Z}，为奇数即k=2m+1,时A＝{x|x＝4mπ+2π，m∈Z},故.BA；注意m , k都是整数，虽字母不同但意义相同 3、解：A＝{-2，-1, 0,1,2}，则B＝{5，2, 1}

2a?1?3

4、解：由Q ? (P∩Q)知Q ? P，故 3a?5?222a?1?3a?5

得6<a≤9

5、解：由题知4?6a?b?9a?b

得a=2 b=－8，19×2－8=28

3x－12y?1

6、解：令 得x=,当y=－3时x不存在，故－3是不属于N的元素

2－x3?y7、解：设f(x)= ax＋b，则2(2a+b) －3(a+b) ＝5, 2(0a+b)－[(－1)a+b] ＝1，

解得a=3 b=－2 故f(x)= 3x－2

8、解：A. f(x)定义域为R，g(x)定义域为x≠0 B. f(x)定义域为R，g(x)定义域为x≠2 C f(x)去绝对值即为g(x)，为同一函数D f(x)定义域为R，g(x)定义域为x≥2 9、解：－３＜０，则f(－３)＝０，f(０)＝π，π＞０，f(π)＝π2，f{f［f(－3)］}＝π2 x1

10、解(x－2y) 2＝xy，得(x－y) (x－４y) ＝０，x＝y或，x＝４y即＝ 或4

y4

11、解：要使a<lg(|x－3|＋|x＋7|)恒成立，须a小于lg(|x－3|＋|x＋7|)的最小值，由于y＝lg x是增函数，只需求|x－3|＋|x＋7|的最小值，

?2x?7

（x??7）(?7?x?3)(x?3)

最小值为10最小值为10

去绝对值符号得|x－3|＋|x＋7| 102x?4

故lg(|x－3|＋|x＋7|)的最小值为lg １０＝１，所以.a<1

12、解：由x ?（－1，0），得x＋1?（0，1）,要使f(x)>0，由函数y＝logax 的图像知

1

0＜2a＜1, 得0＜a＜

2

13、解：要不等式的解集为R，则△＜0，即a2－4a＋a＜0，解得a??

331

142＋x＋1 由意义，须x2+x+1≥0, 解得x?R, 由x2+x+1=（ ）2+≥,所以

244

函数定义域为R 15、解:原不等式可化为3x

2

，+∞) 2

>3－（x+1）对一切实数x恒成立，须x2－2ax>－(x+1) 对一切实

?2ax

132

数x恒成立,即 x－(2a－1)x+1> 0对一切实数x恒成立，须△＜0< a <

2216、解：因3x-1-2=3x?

13

是增函数，当x≤1时0＜3x＜3，-2＜3x-1-2≤-1，而31-x-2=3·3-x

-x

是减函数，当x＞1时0＜3＜

13

，-2＜3-2＜-1，故原函数值域为（-2，-1］

1-x

数学1必修篇三：新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念：

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ ? } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}

（3）图示法（文氏图）：

4、常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集Q 实数集 R

5、“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A

6、集合的分类：

1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系———子集

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?B或B? A

集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B?A?B且B?A

① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即A?S），由S中 所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。 记作： CSA ，即 CSA ={x | x?S且 x?A} （3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U (4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点

的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法：

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法：

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换

Ⅰ、对称变换:

（1）将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5

?1?（2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如y?a与y?a??? ?a?

（3） y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如y?logax与y??logax?log1x x?xx

a

Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(x?a) 左加右减； 由f(x)得到f(x)?a 上加下减

(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．映射

定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6、函数的表示法：

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。

2 解析法：必须注明函数的定义域；

3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；

4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g的复合函数。

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，

都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)

＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) （或f(x1)＞f(x2)）。

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；2 作差f(x1)－f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

复合函数单调性：口诀：同增异减

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

（4）判断函数的单调性常用的结论

①函数y??f(x)与y?f(x)的单调性相反；

②当函数y?f(x)恒为正或恒有负时，y?1f(x)与函数y?f(x)的单调性相反；

③函数y?f(x)与函数y?f(x)?C（C为常数）的单调性相同；

④当C > 0（C为常数）时，y?f(x)与y?C?f(x)的单调性相同；

当C < 0（C为常数）时，y?f(x)与y?C?f(x)的单调性相反；

⑤函数f(x)、g(x)都是增（减）函数，则f(x)?g(x)仍是增（减）函数；

⑥若f(x)?0,g(x)?0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则f(x)?g(x)也是增（减）函数； 若f(x)?0,g(x)?0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则f(x)?g(x)也是减（增）函数；

nff(x)?0f(x

)k?f(x)(k?0)⑦设，若、、(x)(n?1)都是增函数，1

而f(x)是减函数.

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

函数奇偶性的性质

① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.

③若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|).

④若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)?0.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数F(x)与一个偶函数G(x)的和（或差）”.如设f(x)是定义域为R的任一函数， 则F(x)?f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)，G(x)?. 22

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（f(x)?0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

9、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p30页）

（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

（2） 利用图象求函数的最大（小）值；

（3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0

=0。

注意：

(1)?a

(2)当 n

?a ，当 n

?|a|??

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂的意义，规定：a?

正数的正分数指数幂的意义：a_m

nmnn?a,a?0 ?a,a?0?a?0,m,n?N?,且n?1) ?1

am

n(a?0,m,n?N?,且n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）aa?arsr?s(a?0,r,s?R)