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2016考研数学二答案

发布时间:2024-03-19 15:50:16 影响了:

以下是博文学习网为大家整理的关于2016考研数学二答案的文章,希望大家能够喜欢!

2016考研数学二答案篇一:2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析

Born To Win

2016考研数学(一)真题及答案解析

考研复习最重要的就是真题,所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析,希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺,快速有效的备考。 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ...(1)设?xn?是数列下列命题中不正确的是( ) (A)若limxn?a,则limx2n?limx2n?1?a

n??

n??

n??

(B)若limx2n?limx2n?1?a,则limxn?a

n??

n??

n??

(C)若limxn?a,则limx3n?limx2n?1?a

n??

n??

n??

(D)若limx3n?limx3n?1?a,则limxn?a

n??

n??

n??

【答案】(D) (2)设y?特解,则

(A)a??3,b?2,c??1 (B)a?3,b?2,c??1 (C)a??3,b?2,c?1 (D)a?3,b?2,c?1 【答案】(A)

【解析】将特解代入微分方程,利用待定系数法,得出a??3,b?2,c??1。故选A。 (3)若级数()

(A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点 【答案】(A) 【解析】因为级数

?

?

?

12x1

e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y???ay??by?cex的一个23

?ax

nn?1

n

在x?2处条件收敛,

则x?x?3依次为幂级数

?na(x?1)

n

n?1

n

?ax

nn?1

n

在x?2处条件收敛,所以R?2,有幂级数的性质,

?na(x?1)

n

n?1

?

n

的收敛半径也为R?2,即x??3,收敛区间为?1?x?3,则收敛域为

?

Born To Win

?1?x?

3,进而x?x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的收敛点,收敛点,故选A。

n?1

(4)下列级数发散的是()(A)

n

?n8n?1

?

(B

n?1

?

1?)

n(?1)n?1

(C)?

lnnn?2

?

(D)

n! ?n

n?1n

?

【答案】(C)

【解析】(A)Sn?u1?u2?...?un?

12n?2?...?n, 888

112n7111n817nSn?()2?3?...?n?1?Sn??2?...?n?n?1?Sn?(1?()n)?n,8888888884988

8

limSn?存在,则收敛。

n??49

?

111

?)?3??3收敛,所以(B)收敛。 (B)un?

nn?12

n2n

?

(?1)n?1(?1)n?1?(?1)n?1

(C)?,因为?分别是收敛和发散,所以????,?

lnnn?2lnnn?2lnnn?2n?2lnnn?2lnn

?

(?1)n?1

发散,故选(C)。 ?lnnn?2

?

n!u?n?

(D)un?n,limn?1?lim??e?1?1,所以收敛。 ?n??n?1nn??un??

n

?111??1?

????(5)设矩阵A?12a,b??,若集合???1,2?,则线性方程组Ax?b有无穷????

22

???14a??????

多解的充分必要条件为() (A)a??,??? (B)a??,??? (C)a??,??? (D)a??,??? 【答案】(D)

【解析】Ax?b有无穷多解?r?A??rA?3,?A?0,即(a?2)(a?1)?0,从而

??

a?1或a?2

?111?1??11当a?1时,A???121????

11??

??1??41???010??

?1??2????000??2?3??2??

从而?2

?3??2=0??=1或?=2时Ax?b有无穷多解

?111?1??1111当a?2时,A???122??????

???011???1??1442??

??????000??2?3??2??

从而?2

?3??2=0??=1或?=2时Ax?b有无穷多解 所以选D.

(6)二次型f(xx222

1,x2,3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3

,其中P?(e1,e2,e3),若Q?(e,1?e,3)e2

,f(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准型为((A)2y22y21?y2?3 (B)2y2221?y2?y3 (C)2y2?y2212?y3 (D)2y2221?y2?y3

【答案】(A)

【解析】由已知得f(xTAPY?2y2y221,x2,x3)?YTP1?2?y3

,Q?PE23E2(?1), 从而

f(x)?YTQTAQY?YTETT1,x2,x32(?1)E23PTAPE23E2(?1)Y

??YTEE22

?100?

2(?1)23PTAPE23E2(?1)Y?2y21?y2?y3

,其中E?1?23?00,?010?????100?

E?1)???0?10?2(均为初等矩阵,所以选A。

?01?

?0??

(7)若A,B为任意两个随机事件,则 (A)P(AB)?P(A)P(B) (B)P(AB)?P(A)P(B) (C)P(AB)?P(A)?P(B)

2

(D)P(AB)?P(A)?P(B)

2

【答案】(C)

【解析】排除法。若AB??,则P(AB)?0,而P(A),P(B)未必为0,故

P(A)P(B)?P(AB),

P(A)?P(B)

?P(AB),故B,D错。

2

若A?B,则P(AB)?P(A)?P(A)P(B),故A错。

(8)设总体X?B(m,?),X1,X2,X3为来自该总的简单随机样本,为样本均值,则

?n?E??(Xi?)2?? ?i?1?

(A)(m?1)n?(1??)

(B)m(n?1)?(1??) (C)(m?1)(n?1)?(1??) (D)mn?(1??) 【答案】(B) 【解析】

2??1n

E?X??ES2?DX?m?(1??)???i??n?1i?1?

n

2??

?E???Xi????m(n?1)?(1??)

?i?1?

二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上). ...

ln(cosx)

?_____. 2x?0x

1

【答案】?

2

(9)lim

sinx

lncosx??1limsinx??1 【解析】lim?limx?0x?0x22x2x?0xcosx2?

?sinx?

(10) ?2???x?dx?_______.

?

?2?1?cosx

?

?2

【答案】

4

【解析】

????

sinxsinx?2?sinx?2222

?x?dx???dx??????dx?2?xdx????2?0?1?cosx??1?cosx1?cosx4??222

2

?

z

(11) 若函数z?z(x,y)有方程e?xyz?x?cosx?2确定,则dz

(0,1)

?_______.

【答案】?dx

【解析】对e?xyz?x?cosx?2两边分别关于x,y,z求偏导,并将(0,1)这个代入,得到

z

(0,1)??1,

Born To Win

?z?x?z?y

(0,1)

?0,所以dz

(0,1)

??dx。

(12)设? 是由 x?y?z?1 与三个坐标平面所围成的空间区域,则

????x?2y?3z?dxdydz?

?

【答案】

14

1

【解析】由对称性,

????x?2y?3z?dxdydz?6???zdxdydz?6?zdz??dxdy,

?

?

DZ

其中

DZ 为平面 z?z 截空间区域 ?所得的截面

其面积为 所以:

111232

x?2y?3zdxdydz?6zdxdydz?6z(1?z)dz?3z?2z?zdz?????????????0024??

1

1

(1?z2)2

20?02

2

??_______ 22

?12?0

???(13) n阶行列式?

00?200??1

【答案】2

n?1

?2

【解析】按第一行展开得

2016考研数学二答案篇二:2016考研数学数学二试题(完整版)

2016考研数学(二)试题(完整版)

一、选择:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合要求的.

(1)

设a1?x

1),a2?

,a3?1.当x?0?时,

以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是

(A)a1,a2,a3.(B)a2,a3,a1.

(C)a2,a1,a3.(D)a3,a2,a1.

?2(x?1),x?1,(2)已知函数f(x)??则f(x)的一个原函数是 lnx,x?1,?

?(x?1)2,x?1.?(x?1)2,x?1.(A)F(x)??(B)F(x)?? x(lnx?1),x?1.x(lnx?1)?1,x?1.??

?(x?1)2,?(x?1)2,x?1.x?1.(C)F(x)??(D)F(x)??

?x(lnx?1)?1,x?1.?x(lnx?1)?1,x?1.

1+?111

exdx的敛散性为 (3)反常积分①?2exdx,②?2??x0x0

(A)①收敛,②收敛.(B)①收敛,②发散.

(C)①收敛,②收敛.(D)①收敛,②发散.

(4)设函数f(x)在(??,??)内连续,求导函数的图形如图所示,则

(A)函数f(x)有2个极值点,曲线y?f(x)有2个拐点.

(B)函数f(x)有2个极值点,曲线y?f(x)有3个拐点.

(C)函数f(x)有3个极值点,曲线y?f(x)有1个拐点.

(D)函数f(x)有3个极值点,曲线y?f(x)有2个拐点.

(5)设函数fi(x)(i?1,2)具有二阶连续导数,且fi(x0)?0(i?1,2)

线 ,若两条曲

y?fi(x)(i?1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y?g(x),且在该点处曲线y?f1(x)的曲率大于曲线y?f2(x)的曲率,则在x0的某个领域内,有

(A)f1(x)?f2(x)?g(x)

(B)f2(x)?f1(x)?g(x)

(C)f1(x)?g(x)?f2(x)

(D)f2(x)?g(x)?f1(x)

ex

(6)已知函数f(x,y)?,则 x?y

(A)fx'?fy'?0

(B)fx'?fy'?0

(C)fx'?fy'?f

(D)fx'?fy'?f

(7)设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是

(A)AT与BT相似

(B)A?1与B?1相似

(C)A?AT与B?BT相似

(D)A?A?1与B?B?1相似

22(8)设二次型f(x1,x2,x3)?a(x12?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正、负惯性指

数分别为1,2,则

(A)a?1

(B)a??2

(C)?2?a?1

(D)a?1与a??2

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。

x3

?arctan(1?x2)的斜渐近线方程为____________. (9)曲线y?21?x

(10)极限lim

(11)以y?x2?ex和y?x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.

112n(sin?2sin???nsin)?____________. n??n2nnn

(12)已知函数f(x)在(??,??)上连续,且f(x)?(x?1)?2?f(t)dt,则当n?202x

时,f(n)(0)?____________.

(13)已知动点P在曲线y?x3上运动,记坐标原点与点P间的距离为l.若点P

的横坐标时间的变化率为常数v0,则当点P运动到点(1,1)时,l对时间的变化率是_______.

?a?1?1??110??与?0?11?等价,则a?_________. ?1a?1(14)设矩阵????????1?1a????101??

解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

(16)(本题满分10分) 设函数f(x)??t2?x2dt(x?0),求f'(x)并求f(x)的最小值. 01

(17)(本题满分10分)

已知函数z?z(x,y)由方程(x2?y2)z?lnz?2(x?y?1)?0确定,求z?z(x,y)

的极值.

(18)(本题满分10分)

设D是由直线y?1,y?x,y??x围成的有界区域,计算二重积分x2?xy?y2

dxdy. 22??x?yD

(19)(本题满分10分)

已知y1(x)?ex,y2(x)?u(x)ex是二阶微分方程(2x?1)yn?(2x?1)y'?2y?0的解,若u(?1)?e,u(0)??1,求u(x),并写出该微分方程的通解。

(20)(本题满分11分)

3????x?cost?设D

是由曲线y??x?1)与?求D0?t??围成的平面区域,3?2???y?sint?绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

(21)(本题满分11分)

3?3?cosx]上连续,在(0,)内是函数的一个原函数f(0)?0。 222x?3?

3?(Ⅰ)求f(x)在区间[0,]上的平均(转 载于:www.hnNscy.CoM 博文学习网:2016考研数学二答案)值; 2

3?(Ⅱ)证明f(x)在区间(0,)内存在唯一零点。 2

(22)(本题满分11分) 已知f(x)在[0,

11?a??1?0?????0a?,???1设矩阵A??1?,且方程组Ax??无解。 ?a?11a?1??2a?2?????

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)求方程组ATAx?AT?的通解。

(23)(本题满分11分)

?0?11???已知矩阵A??2?30?

?000???

(Ⅰ)求A99

(Ⅱ)设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)满足B2?BA。记B100?(?1,?2,?3),将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组合。

2016考研数学二答案篇三:2016年考研数学二真题与解析

2016年考研数学二真题与解析

一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.

1

1.当x?0时,若ln(1?2x),(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小,则?的可能取值范围是( )

(A)(2,??)(B)(1,2) (C)(,1) (D)(0,)

??

1212

???1?

【详解】ln?(1?2x)~2?x?,是?阶无穷小,(1?cosx)?~1x?是阶无穷小,由题意可知?2

??1?2???

1

1

2

2

所以?的可能取值范围是(1,2),应该选(B). 2.下列曲线有渐近线的是

(A)y?x?sinx (B)y?x2?sinx(C)y?x?sin(D)y?x?1x

2

1 x

【详解】对于y?x?sin,可知x??

1xy1

?1且lim(y?x)?limsin?0,所以有斜渐近线y?x

x??x??xx

应该选(C)

3.设函数f(x)具有二阶导数,g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x,则在[0,1]上( )

(A)当f'(x)?0时,f(x)?g(x) (B)当f'(x)?0时,f(x)?g(x) (C)当f??(x)?0时,f(x)?g(x) (D)当f??(x)?0时,f(x)?g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.

【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然

g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程.故当f??(x)?0时,曲线是凹

的,也就是f(x)?g(x),应该选(D)

【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话,可令

F(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x,则F(0)?F(1)?0,且F"(x)?f"(x),故当f??(x)?0时,曲线是凹的,从而F(x)?F(0)?F(1)?0,即F(x)?f(x)?g(x)?0,也就是

f(x)?g(x),应该选(D)

?x?t2?7,

4.曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是( ) 2

?y?t?4t?1

(A)

(B) (C) (D)5 50100

y"(1?y'2)3

2

【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式K?,曲率半径R?

1

. K

22dxdydy2t?42dy1?2t,?2t?4,所以??1?,2?本题中??3,

dtdtdx2tt2tdxt

?

对应于t?1的点处y'?3,y"??1,所以K?应该选(C)

5.设函数f(x)?arctanx,若f(x)?xf'(?),则x?0

y"(1?y'2)3

?

110,曲率半径R?

1

?10. K

?2

x

2

?( )

(A)1(B)

211 (C) (D) 323

【详解】注意(1)f'(x)?

1133

x?0时,arctanx?x?x?o(x). ,(2)2

31?x

由于f(x)?xf'(?).所以可知f'(?)?

1f(x)arctanxx?arctanx2,, ????

xx1??2(arctanx)2

13

x)?o(x3)

1?. 3x3

x?0

?2

x2

?x?0

x?arxtanx

?x(arctanx)2x?0

x?(x?

?2u

6.设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续,在D的内部具有二阶连续偏导数,且满足?0及

?x?y?2u?2u

. ?2?0,则()2

?x?y

(A)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上; (B)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部;

(C)u(x,y)的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上;

(D)u(x,y)的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上.

【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续,所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值.并且如果在

?2u?2u?2u?2u?u?u

内部存在驻点(x0,y0),也就是,由??0,在这个点处A?2,C?2,B??

?x?y?x?y?y?x?x?y

条件,显然AC?B?0,显然u(x,y)不是极值点,当然也不是最值点,所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上.

所以应该选(A).

2

a

7.行列式

0cab000b

等于

cd000d

2

2

2

2

2

2

2

2

(A)(ad?bc)2(B)?(ad?bc)2 (C)ad?bc (D)?ad?bc 【详解】

0a0cab0

a0ba0b

00babab

??a0d0?b0c0??ad?bc??(ad?bc)2

cd0cdcd

c0dc0d

00d

应该选(B).

8.设?1,?2,?3 是三维向量,则对任意的常数k,l,向量?1?k?3,?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的

(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D) 非充分非必要条件 【详解】若向量?1,?2,?3线性无关,则

?10???

(?1?k?3,?2?l?3)?(?1,?2,?3)?01??(?1,?2,?3)K,对任意的常数k,l,矩阵K的秩都等

?kl???

于2,所以向量?1?k?3,?2?l?3一定线性无关.

?1??0??0?

??????

而当?1??0?,?2??1?,?3??0?时,对任意的常数k,l,向量?1?k?3,?2?l?3线性无关,但

?0??0??0???????

. ?1,?2,?3线性相关;故选择(A)

二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)

1

dx? 2

x?2x?5

11dx1x?11

dx??|??????x2?2x?5???(x?1)2?4221

9.

?

1??

【详解】

1????3?

. ??(?)??

2?42?8

10.设f(x)为周期为4的可导奇函数,且f'(x)?2(x?1),x??0,2?,则f(7)?. 【详解】当x??0,2?时,f(x)?

?

2(x?1)dx?x2?2x?C,由f(0)?0可知C?0,即

f(x)?x2?2x;f(x)为周期为4奇函数,故f(7)?f(?1)?f(1)?1.

11.设z?z(x,y)是由方程e

2yz

?x?y2?z?

7

确定的函数,则dz|?11??.

?,?4?22?

【详解】设F(x,y,z)?e

2yz

71

?x?y2?z?,Fx?1,Fy?2ze2yz?2y,Fz?2ye2yz?1,当x?y?

42

时,z?0,

FyF11?z1?z1

??x??,????,所以dz|?11???dx?dy.

?,?22?xFz2?yFz2?22?

????

,?处的切线方程为 22??

12.曲线L的极坐标方程为r??,则L在点(r,?)??

【详解】先把曲线方程化为参数方程?

?x?r(?)cos???cos???

,于是在??处,x?0,y?,

22?y?r(?)sin???sin?

?2dysin???cos?2????

|??|???,则L在点(r,?)??,?处的切线方程为y???(x?0),即

2?dx2cos???sin?2??22?

y??

2x?

?

2

?

.

2

13.一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上,若其线密度?(x)??x?2x?1,则该细棒的质心坐标

x?

11

(?x?2x?x)dx?11?00

【详解】质心坐标x?1. ?1??

25

?0?(x)dx?0(?x?2x?1)dx320

1

x?(x)dx

1

32

22

14.设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围

是 . 【详解】由配方法可知

2

f(x1,x2,x3)?x12?x2?2ax1x3?4x2x3

2

?(x1?ax3)2?(x2?2x3)2?(4?a2)x3

由于负惯性指数为1,故必须要求4?a?0,所以a的取值范围是??2,2?.

2

三、解答题

15.(本题满分10分)

?求极限lim

x???

x1

(t(e?1)?t)dt1

x2ln(1?)

x

2

1t

【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限. 【详解】

x???

?lim

x1

(t(e?1)?t)dtx2ln(1?

1

)x

2

1t

??lim

x???

x

1

(t(e?1)?t)dt

x

2

1

t

?lim(x2(e?1)?x)

x??

1x

111??1

?lim?x2(??o()?x??22x??x2xx??2

16.(本题满分10分)

已知函数y?y(x)满足微分方程x2?y2y'?1?y',且y(2)?0,求y(x)的极大值和极小值. 【详解】

解:把方程化为标准形式得到(1?y)

2

dy

?1?x2,这是一个可分离变量的一阶微分方程,两边分别积分dx

可得方程通解为:

1312y?y?x?x3?C,由y(2)?0得C?, 333

1312

y?y?x?x3?. 333

dy1?x2d2y?2x(1?y2)2?2y(1?x2)2 令; ??0,得x??1,且可知2?

dx1?y2dx(1?y2)3

当x?1时,可解得y?1,y"??1?0,函数取得极大值y?1; 当x??1时,可解得y?0,y"?2?0,函数取得极小值y?0. 17.(本题满分10分)

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