方法技巧专题20,解三角形（原卷版）

　方法技巧专题 20

　解三角形 学生篇

　 一、解三角形问题知识框架

　二、解三角形题型分析

　（一）

　三角形中的求值问题

　 1 ．正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． 2 2 ．求三角形面积的方法

　(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积． (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

　1.例题 【例 1】设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝2，c＝2 3，cosA＝32，且 b<c，则 b＝(

　) A． 3

　 B．2

　 C．2 2

　 D．3 【例 2】在 ABC ? 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 1 a ? ， 3sin cos ( 3sin )cos 0 A C C b A ? ? ? ，则角 A? （

　 ）

　A．23? B．3? C．6? D．56? 【例 3】在 ABC ? 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， 4 a ? ，2 3 b ?， cos(2 )cos c B a b C ? ?，则 ABC ? 的面积为______． 【例 4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角 、 、 A B C 的对边分别为 a b c 、 、 , 已知△ABC 的面积为23sinaA．

　(1)求 sin sin B C ; (2)若 6coscos 1, 3, B C a ? ? 求△ABC 的周长.

　3 3 ．已知三角形面积求边、角的方法

　(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 4. 以平面几何为载体的解三角形问题 解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于 π3 )确定角或边的范围．

　 【例 5】如图，在△ABC 中，∠B＝ π3 ，AB＝8，点 D 在 BC 边上，且 CD＝2，cos∠ADC＝17 . (1)求 sin∠BAD； (2)求 BD，AC 的长.

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4csinC，cosA=－14，则bc=（

　 ）

　A．6 B．5 C．4 D．3 【练习 2】（2018·全国高考真题）△??????的内角??  ，   ??  ，   ??的对边分别为??  ，   ??  ，   ??，已知??sin?? + ??sin?? =4??sin??sin??，?? 2 + ?? 2 − ?? 2 = 8，则△??????的面积为________． 【练习 3】

　在 ABC ? 中，已知 AB 边上的中线 1 CM ? ，且1tan A，1tanC，1tanB成等差数列，则 AB 的长为________. 【练习 4】在△ABC 中，已知 AB＝ 2，AC＝ 5，tan∠BAC＝－3，则 BC 边上的高等于(

　) A．1

　 B． 2

　 C． 3

　 D．2 【练习 5】已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形 ABCD 的面积 S．

　 【练习 6】

　△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 已知 ccos B＝(3a－b)cos C． (1)求 sin C 的值； (2)若 c＝2 6，b－a＝2，求△ABC 的面积．

　 （二）三角形中的最值或范围问题

　 1.例题 【例 1】在△ABC 中，已知 c＝2，若 sin 2 A＋sin 2 B－sin Asin B＝sin 2 C，则 a＋b 的取值范围为________． 【例 2】已知在锐角 ABC ? 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2 cos cos b C c B ? ，则1 1 1tan tan tan A B C? ? 的最小值为（

　）

　A．2 73 B．5

　C．73 D． 2 5

　【例 3】已知△ABC 的外接圆半径为 R，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 asinBcosC＋ 32 csinC＝2R ，则△ABC 面积的最大值为(

　) A． 25

　 B．45

　C．2 55

　D． 125 【例 4】在 ABC ? 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 cosCcos cos cos2ab A c A B ? ? ， ABC ?的面积为 3 ，则 ABC ? 周长的最小值为______. 2.巩固提升综合练习 【练习 1】

　设锐角三角形 ABC 的内角 , , A B C 所对的边分别为 , , a b c ，若 2, 2 a B A ? ? ，则 b 的取值范围为（

　）

　A． (0,4)

　B． (2,2 3)

　C． (2 2,2 3)

　 D． (2 2,4)

　【练习 2】

　在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角 B 取得最大值时，△ABC 的周长为(

　) A．2＋ 3

　B．2＋ 2

　 C．3

　D．3＋ 2 解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：

　一是利用基本不等式求得最大值或最小值； 二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．

　 【练习 3】已知 ABC ? 的面积为2 1 ?,且满足4 31tan tan A B? ? ，则边 AC 的最小值为_______. 【练习 4】在 ABC ? 中，23BAC?? ? ，已知 BC 边上的中线 3 AD? ，则 ABC ? 面积的最大值为__________．

　 （三）解三角形的实际应用

　必备知识：实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时 l 与水平线的夹角

　俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线 l下方时与水平线的夹角

　方向角

　从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于 90°)

　 南偏西 60°指以正南方向为始边， 转向目标方向线形成的角 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角

　 1.例题 例 【例 1 】在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距离 A 处( 3－1)n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

　 【例 2】如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点均不可到达，测出 A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点 C，D，测得 CD＝a，同时在 C，D 两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出 AC 和 BC，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出 AB. 若测得 CD＝32 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求 A，B 两点间的距离．

　【例 3】某人在点 C 测得塔顶 A 在南偏西 80°，仰角为 45°，此人沿南偏东 40°方向前进 100 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30°，则塔高为____________米．

　 2.巩固提升综合练习 【练习 1】甲船在 A 处，乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处，乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向北偏西 60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？

　 【练习 2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这艘船航行的速度为(

　)

　A. 17 62海里/时

　 B．34 6海里/时

　 C. 17 22海里/时

　 D．34 2海里/时 【练习 3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C 三

　地位于同一水平面上，在 C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点 A、B 两地相距 100 米，∠BAC＝60°，在 A地听到弹射声音的时间比在 B 地晚217 秒．在 A 地测得该仪器弹至最高点 H 时的仰角为 30°，求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/秒)

　 三、课后自我检测

　1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 a 2 ＝c 2 ＋ac－bc，则cbsin B＝(

　) A．32

　B． 2 33 C．33

　D． 3 2．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a＝3，c＝2 3，bsin A＝acos ???????6?B 则 b＝(

　) A．1 B. 2 C. 3 D. 5 3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝2，c＝3 2，tan B＝2tan A，则△ABC 的面积为(

　) A．2 B．3

　C．3 2 D．4 2 3．如图，在△ABC 中，∠C＝ π3 ，BC＝4，点 D 在边 AC 上，AD＝DB，DE⊥AB，E 为垂足．若 DE＝2 2，则 cos A 等于(

　)

　A． 2 23

　B．24 C．64

　D．63

　 4．在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝2A，则2ba的取值范围是(

　) A．( 2，2)

　B．(2， 6) C．( 2， 3)

　D．( 6，4) 5．在????????中，角??、??、??所对的边分别为??，??，??，?? = 2，?? = 45°，若三角形有两解，则??的取值范围是_______. 6．已知 a，b，c 是△ABC 中角 A，B，C 的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，则 c 的取值范围为________． 7．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边 a，b，c 成等比数列，cos(A－C)－cos B＝ 12 ，延长 BC 至点 D，若 BD＝2，则△ACD 面积的最大值为________． 8．(2019· 高考全国卷Ⅱ Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b＝6，a＝2c，B＝ π3 ，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC?? ? ， AC =3， , BC m ABC ? 恰有一解，则实数 m 的取值范围是______． 10．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，外接圆的半径为 1，且 tan Atan B ＝2c－bb，则△ABC 面积的最大值为________．

　11．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a 2 ＋c 2 －b 2 ＝abcos A＋a 2 cos B． (1)求角 B； (2)若 b＝2 7，tan C＝32，求△ABC 的面积．

　12．已知 ABC ? 中，角 A B C 、 、 的对边分别为 a b c ， ， ，若 cossin a b C c B ? ?

　 （Ⅰ）求 B ； （Ⅱ）若 2 b ?

　，求 ABC ? 面积的最大值。

　 13．在 ABC ? 中， , , a b c 分 别 为 角 , , A B C 的 对 边 ，且 ? ? sin sin sin B C A C ? ? ? . （1）求角 A ；

　 （2）若 3 a? ，求 2 b c ? 的最大值.

　14．某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45°相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75°的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？ (参考数据：若 sin θ＝ 5 314，当 θ 是锐角时，其近似值为 38°13′)

　15．如图，某大型厂区有三个值班室 , , A B C ，值班室 A 在值班室 B 的正北方向 3 千米处，值班室 C 在值班室 B 的正东方向 4 千米处．

　（1）保安甲沿 CA 从值班室 C 出发行至点 P 处，此时 2 PC ? ，求 PB 的距离； （2）保安甲沿 CA 从值班室 C 出发前往值班室 A ，保安乙沿 AB 从值班室 A 出发前往值班室 B ，甲乙同时出发，甲的速度为 5 千米/小时，乙的速度为 3 千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为 3 千米（含 3 千米），试问有多长时间两人不能通话？