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年理科数学

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年理科数学篇一:2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷I)

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={x|x-2x>0},B={x|

x

,则( ).

A.A∩B=B.A∪B=R C.B?A D.A?B

2.(2013课标全国Ⅰ,理2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( ). 2

44

A.-4B.5C.4D.5 -

3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).

A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样

x2y24.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C2-2=1(a>0,b>0)

ab则C的渐近线方程为( ).

111±xx±x

A.y=4B.y=3 C.y=2D.y=±x ±

5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出

的s属于( ).

A.[-3,4]

B.[-5,2]

C.[-4,3]

D.[-2,5]

6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ).

500π866π

A.3cm3 B.3cm3

1372π2048π

C.3cm3 D.3cm3

7.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ).

A.3B.4C.5D.6

8.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该

几何体的体积为( ).

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m为正整数,(x+y)展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)

的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( ).

A.5B.6C.7D.8 2m2m+1展开式

x2y2

10.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交Eab

于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ).

x2y2x2y2x2y2x2y2

+=1+=1+=1+=1

A.4536B.3627 C.2718D.189

?-x2+2x,x≤0,11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f(x)=?若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ).

?ln(x+1),x>0.

A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]

12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+anb+an,cn+1=n,则( ). 22

A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列

C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b2c=0,则t=__________.

14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n项和

15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=__________.

16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为__________. Sn=21an+33,则{an}的通项公式是an=_______.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB

BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.

(1)若PB=1,求PA; 2

(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA

.

18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

19.(2013课标全国Ⅰ,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为1,且各件产品是否为优质品相2

互独立.

(1)求这批产品通过检验的概率;

(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.

20.(2013课标全国Ⅰ,理20)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)+y=1,圆N:(x-1)+y=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程;

(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

2x21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x+ax+b,g(x)=e(cx+d).若曲线y

=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.

(1)求a,b,c,d的值;

(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围. 2222

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明:DB=DC;

(2)设圆的半径为1,BC

CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.

23.(2013课标全国Ⅰ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

?x=4+5cost,已知曲线C1的参数方程为?(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐y=5+5sint?

标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

年理科数学篇二:2017年高考真题理科数学(全国Ⅲ卷) 含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)

理科数学

(试题及答案解析)

一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)

22

1.已知集合A=(x,y)x+y=1,B={(x,y)y=x},则A B中元素的个数为()

{}

A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B

【解析】A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,

故A B表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即A B元素的个数为2,故选B.

2.设复数z满足(1+i)z=2i,则z=() 1A.

2

【答案】C

B

C

D.2

【解析】由题,z=

2i(1-i)2i2i+2===i+1,则zC. 1+i1+i1-

i2

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

2014年 2015年 2016年

根据该折线图,下列结论错误的是() A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 【答案】A

【解析】由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.

4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()

A.-80 B.-40 C.40 D.80 【答案】C

【解析】由二项式定理可得,原式展开中含x3y3的项为

23x?C5(2x)(-y)+y?C5(2x)(-y)=40x3y3,则x3y3的系数为40,故选C.

2

3

3

2

x2y25.已知双曲线C2-2=1(a>0,b>

0)的一条渐近线方程为y=,且与椭圆

ab

x2y2

+=1有公共焦点.则C的方程为() 123

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.-B.-C.-D.-=1 =1 =1 =1

810455443

【答案】B

b,则=【解析】∵

双曲线的一条渐近线方程为y=

ax2y2

=1与双曲线有公共焦点,易知c=3,则a2+b2=c2=9② 又∵椭圆+

123

x2y2

=1,故选B. 由①②

解得a=2,b=C的方程为-

45

π

6.设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是()

3

A.f(x)的一个周期为-2π C.f(x+π)的一个零点为x=【答案】D

?

【解析】函数f(x)=cos x+

?

π 6

B.y=f(x)的图像关于直线x=

π

D.f(x)在(,π)单调递减

2

对称 3

π?π

?的图象可由y=cosx向左平移个单位得到, 3?3

?π?

如图可知,f(x)在 ,π?上先递减后递增,D选项错误,故选D.

?2?

7.执行右图的程序框图,为使输出S的值小于,则输入的正整数N的最小值为()

A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D

【解析】程序运行过程如下表所示:

SM

0 100 1 初始状态

-10 100 2 第1次循环结束

90 1 3 第2次循环结束

此时S=90<91首次满足条件,程序需在t=3时跳出循环,即N=2为满足条件的最小值,故选D.

8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()

3πππ

A.π B. C.

D.

424

【答案】B

【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径r=,

3π2

则圆柱体体积V=πrh=,故选B.

4

9.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为()

A.-24 B.-3 C.3 D.8 【答案】A

【解析】∵{an}为等差数列,且a2,a3,a6成等比数列,设公差为.

2

=a2?a6,即(a1+2d)=(a1+d)(a1+5d) 则a3

2

又∵a1=1,代入上式可得d2+2d=0 又∵d≠0,则d=-2

6?56?5

d=1?6+?(-2)=-24,故选A.

年理科数学

∴S6=6a1+22

x2y2

10.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径

ab

的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()

1B

C

D.

3【答案】A

【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴圆心到直线距离等于半径,

d==a ∴又∵a>0,b>0,则上式可化简为a2=3b2

A

∵b=a-c,可得a=3a-c

2

2

2

2

(

22

)

c22,即2=

a3

∴e=

c=A a

11.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()

111A.- B. C.

232

【答案】C

【解析】由条件,f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得:

f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)

=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)

D.1

=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)

∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)的对称轴, 由题意,f(x)有唯一零点, ∴f(x)的零点只能为x=1,

即f(1)=12-2?1+a(e1-1+e-1+1)=0,

解得a=

1. 2

12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若

AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为() A.3 B

. C

【答案】A

【解析】由题意,画出右图.

设BD与 C切于点E,连接CE. 以A为原点,AD为轴正半轴, AB为轴正半轴建立直角坐标系, 则C点坐标为(2,1). ∵|CD|=1,|BC|=2.

∴BD ∵BD切 C于点E. ∴CE⊥BD.

∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高.

1

2??|BC|?|CD|

2S|EC|=△BCD===|BD||BD| 即

C∵P在 C上.

4

(x-2)2+(y-1)2=y5. ∴P点的轨迹方程为

设P点坐标(x0,y0),可以设出P点坐标满足

D.2

Pg

C

B的参数方程如下:

?

x=2θ0???

?y=1θA(O)0??

而AP=(x0,y0),AB=(0,1),AD=(2,0).

∵AP=λAB+μAD=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ)

1θ. x0=1+

θ,λ=y0=12两式相加得:

E

D

x

∴μ=

λ+μ=1θ+1+θθ+?)=2+sin(θ+?)≤

3=2(其中sin?=当且仅当θ=

,cos?=

π

+2kπ-?,k∈Z时,λ+μ取得最大值3. 2

年理科数学篇三:14年高考真题——理科数学(新课标I卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷

数学(理科)

一.选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=x|x2-2x-3≥0,B={x|-2≤x<2},则A{}B=()

(A)[-2,-1] (B)[-1,2) (C)[-1,1] (D)[1,2)

(1+i)2.21-i()3=()(A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i

3.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列

结论正确的是() (A)f(x)g(x)是偶函数 (B)|f(x)|g(x)是奇函数

(C)f(x)|g(x)|是奇函数 (D)|f(x)g(x)|是奇函数

4.已知F是双曲线C:x-my=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线22

的距离为() (A

(B)3 (C

(D)3m

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参

1357 (B) (C) (D) 8888

6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,

角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,加公益活动的概率() (A)

垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则

y=f(x)在[0,π]上的图像大致为( )

7.执行下图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()

(A)2016715 (B) (C) (D) 3528

8.设α∈ 0,1+sinβ?π??π?tanα=,,且,则( ) β∈0,? ?cosβ?2??2?3α-β=(A)π

23α+β=(B)π

2 (C)2α-β=π

2 (D)2α+β=π

2

?x+y≥19.不等式组?的解集记为D,有下面四个命题:p1: ?(x,y)∈D,x+2y≥-2,x-2y≤4?

p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1。

其中真命题是 () (A)p2和p3 (B)p1和p4 (C)p1和p2(D)p1和p3

10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个焦点,若FP=4FQ,则|QF|= ( )(A)72(B)52 (C)3 (D)2

11.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围为()

(A)(2,+∞) (B)(-∞,-2) (C)(1,+∞) (D)(-∞,-1)

12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某

多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为()

(A

)(B

)(C)6 (D)4

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。

27 13.(x-y)(x+y)的展开式中xy的系数为______。(用数字填写答案) 8

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一个城市。由此可判断乙去过的城市为________。

15.已知A,B,C是圆O上三点,若AO=1AB+AC,则AB与AC的夹角为______。 2()

16.已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且

(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则?ABC面积的最大值为______。

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数。⑴证明:an+2-an=λ;⑵是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由。

18.(本小题满分12分)从某企业

的某种产品中抽取500件,测量这些产

品的一项质量指标值,由测量结果得如

下频率分布直方图。⑴求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差

s2(同一组数据用该区间的中点值作代

表);⑵由频率分布直方图可以认为,这

种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,δ2),其中μ近似为样本平均数x,δ近似为样本方差s2。①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求EX。

≈12.2。若Z2N(μ,δ2),则

P(μ-δ<Z<μ+δ)=0.6826,P(μ-2δ<Z<μ+2δ)=0.9544)

19.(本小题满分12分)如图三棱锥

侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C。ABC-A1B1C1中,

⑴证明:AC=AB1;⑵若AC⊥AB1,∠CBB1=600,

AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

x2y2

20.(本小题满分12分) 已知点A(0,-2),椭圆E:2+2=1(a>b>

0)的离心率为ab

F是椭圆的焦点,直线AF

O为坐标原点。⑴求E的方程;⑵设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当?OPQ的面积最大时,求l的方程。

bex-1

21.(本小题满分12分)设函数f(x)=aelnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处xx

的切线为y=e(x-1)+2。⑴求a,b;⑵证明:f(x)>1。

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则

按所做的第一部分,做答时请写清题号。

22.(本小题满分10分)如图,四边形ABCD是⊙O的

内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且

CB=CE。⑴证明:∠D=∠E;⑵设AD不是⊙O

的直径,

AD的中点为M,且MB=MC,证明:?ADE为等边三角形。

?x=2+tx2y2

+=1,直线l:? 23.(本小题满分10分)已知曲线C:(t为参数)。49?y=2-2t

⑴写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;⑵过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值。

24.(本小题满分10分)若a>0,b>

0,且

否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由。

011+=。⑴求a3+b3的最小值;⑵是ab

2014年普通高校招生全国统考数学试卷新课标I卷解答

一.ADCAD CDCBB CB

二.13.-20;14.A;15.90;16

17.解:⑴由题anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,故an+1(an+2-an)=λan+1。因0an+1≠0,故an+2-an=λ;

⑵由题1?a2=λ?1-1,故a2=λ-1。由⑴得a3=1+λ,令2a2=a1+a3,解得λ=4。故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-1。所以an=2n-1,an+1-an=2。因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列。

18.解:⑴抽取产品的质量指标值的样本平均数x=170?0.02+180?0.09+190?0.22+ 200?0.33+210?0.24+220?0.08+230?0.02=200,样本方差s2=(-30)?0.02+ 2

(-20)2?0.09+(-10)?0.22+0?0.33+102?0.24+202?0.08+302?0.02=150; 2

⑵①由⑴知ZN(200,150),故P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<

200+12.2)=0.6826;②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题知XB(100,0.6826),故EX=100?0.6826=68.26。

19.解:⑴连接BC1时,交B1C于O,连接AO。因侧面BB1C1C为菱形,故B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点。又AB⊥B1C,故B1C⊥平面ABO。由于AO?平面ABO,故B1C⊥AO。又B1O=CO,故AC=AB1;

⑵因AC⊥AB1,且O为B1C的中点,故A1AO=CO。又AB=BC,故?BOA??BOC,得OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直。以O为原点,OB的方向为x轴正方向,|OB|为

单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz。因∠CBB1=600,故?CBB1为正三角形。又AB=

BC,故A,

??????B

(1,0,0),B1 ??,C 0,??,AB1= ,A1B1= 1,0,,

??

??

??

??

()

????n?AB1=0B1C1=BC= -1,-。设是平面的法向量,则,即AABn=(x,y,z)??11 ?3????

n?A1B1=0

?=0?m?B1C1=0n=,故可取。设是平面的法向量,则,

mABC?111???

3x=0?m?A1B1=0(同理可取m=1,。故cosm,n=(1

m?n1=。所以所求二面角的余弦值为。 7|m||n|7

20.解:⑴设F(c,0),

由题c2b2=a2-c2=1。故c=又=,故a=2,=ac

x2

+y2=1; 从而E的方程为4

⑵显然直线l的斜率存在,故可设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2)。将y=kx-2

2222代入E的方程可得1+4kx-16kx+12=0。当?=164

k-3>0即k>4时,()()

|PQ|=x

1-x2|=。又点O到直线x1,2

=

PQ

的距离d=

,故S?OPQ1=t>

0,则=d?|PQ|

=2

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