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管卫东高考数学学习方法

发布时间:2024-03-28 19:28:28 影响了:

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管卫东高考数学学习方法篇一:管卫东轻松考数学:高考大题中的通解思维

管卫东轻松考数学:高考大题中的通解思维

当前教学上喜欢讲究一题多解,因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧,但是搏众高考中心今天我们要反其道而行之,那就是一解多题。

数学大题表面上是很难,但是通过多年的教学积累和经验总结,我们发现数学整个学科的解题思维基本上趋于一致,能够形成通解,使我们在数学教学上大幅的简化,甚至不需要刻意的思考。我们借助一下历年高考真题,看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。这里,我们全部采用05~08全国I卷的最后一题,发现是数列、函数或不等式题,没关系,题型不一样,看看是否能用固定的思维解法,解题步骤中存在什么样的共性:

4x2?7,x?[0,1]. (05全国卷)已知函数f(x)?2?x

(Ⅰ)求f(x)的单调区间和值域;

(Ⅱ)设a?1,函数g(x)?x3?3a2x?2a,x?[01,]。若对于任意x1?[0,1]总存在x0?[0,1],使得g(x0)?f(x1)成立,求a的取值范围。

解析:本题看似式子复杂,但是第一问直接可根据定义去做,这个分数必须拿到。根据定义得出以下式子:

?4x2?16x?7(2x?1)(2x?7)解:(I)对函数f(x)求导,得f?(x)?到这步几乎大家都会,??22(2?x)(2?x)

题目问的是的单调区间和值域,很多人看到这个式子不敢往下分析,其实仍旧跟据定义: 令f?(x)?0解得x?1或x?7.然后做表分析即可。【思考:凭什么令f?(x)?0?】 22

当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表:

所以,当x?(0,)时,f(x)是减函数;当x?(,1)时,f(x)是增函数.

当x?[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3].

第二问很多人看题目就晕菜了,其实这道题即使你不会分析,大胆的往下做,就能把题目做对,我们思考下,题目给的条件和我们要求的差距点是什么?这道题的差距点虽然较大,但是用这种求差值的思想是能一步步走下去的,题目给的是g(x),x1和x0,并且给了范围,要我们求解a的范围,要想求a的值,就必须列出a的表达式,a的表达式想要列出,就必须从g(x)入手,题目给的信息除了区间就没有其他能利用的条件了。既然题目给的是区间,因此我们不妨对函数g(x)求导,得

【思考:凭什么进行求导?目的是什么?】到了这一步,由于题目告诉我们a?1,g?(x)?3(x2?a2).1212

所以当x?(0,1)时,g?(x)?3(1?a2)?0.

因此当x?(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x?[0,1]时有g(x)?[g(1),g(0)].这个就是我们所要的缺失条件。到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导,因为题目给了我们取值区间,要想求出a值,只要判断这个函数的增减性就行了,这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的增减性,就容易了,马上可列出a的表达式:

又g(1)?1?2a?3a2,g(0)??2a,即当x?[0,1]时有g(x)?[1?2a?3a2,?2a].有人说这个不是表达式,还是个未知数,没关系,我们再用同样的思想去走,发现现在能利用的条件也异常清楚了(因为就这个没用上了):

任给x1?[0,1],f(x1)?[?4,?3],存在x0?[0,1]使得g(x0)?f(x1),

则[1?2a?3a2,?2a]?[?4,?3]

?1?2a?3a2??4 即???2a??3

解得 a?1或a???1??2? 53; a?. 32

3. 2又a?1,故a的取值范围为1?a?

评析:这道题式子复杂,05年高考时候正确率非常之低,但是其中的解题过程并不复杂,思维方向也十分明确,只是考题将多个概念进行转换,条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识点与逻辑能力的结合,但是总的思想是异常相似的,几乎全部的解答题都可以用一个思维来做,就是“条件差异弥补法”和“必要性思维”。所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果,必须获得的前提是什么,多属于逆推,两者的道理是一样的。

这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤:

全部的思维步骤:

1、 严格按照题目的要求,判断要我们干什么

2、 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么

3、 利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距

4、 最终联系条件得出这个结论

固定的解题步骤:

1、 直接根据课本定义得出结论(某类题注意取值分析)

2、 用求同存异的思想进行条件转换

3、 函数用式子变形推出结果(引申:若是证明,数列用数学归纳法)

我们来看下道题,是否能够套用以上结论:

(06全国卷)设数列?an?的前n项的和

Sn?412an??2n?1?,n?1,2,3,??? 333

(Ⅰ)求首项a1与通项an;

n32n

(Ⅱ)设Tn?,n?1,2,3,???,证明:?Ti? 2Sni?1

解析:题目直接要求我们求首项和通项,由于我们知道通项和Sn公式,就能直接根据定义来做。

412412解: (Ⅰ)由 Sn=n-2n+1+,? , ① 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2. 333333

412再由①有 Sn-1=an-1-2n+,4,? ② 333

41将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= n-an-1)-(2n+1-2n),n=2,3, ?做到这一步相信大家都会,那么33

我们要求an公式,通过这个式子,我们发现差距点在an-an-1,同时可以2n+1-2n也是相差一次,

-因此直接提出后,可以得出: an+2n=4(an-1+2n1),n=2,3, ? , 这个就是我们所弥补的缺失点。因而

-数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, ?, 因而an=4n-

2n, n=1,2,3, ?, 做到这里,我们要问自己凭什么这么转化,我们所求的an和得到的结果(an与an-1)存在差异点,要想把这个差异点弥补,就把他们之间的关系列出,就能得出结论。

第二问是数学证明,首先可以考虑数学归纳法证明,但是这题题设与我们得到的结论差距较少,直接求解较快,如果为求稳妥,建议用数学归纳法。看看直接求解的思路:

2n

题目让干嘛就干嘛,别多想,直接用定义。题目给的是Tn?这个式子,那么必须求出Sn。 S

管卫东高考数学学习方法

n

4121(Ⅱ)将an=4n-2n代入①得 Sn= ×(4n-2n)-×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 【请思考】 3333

2= ×(2n+1-1)(2n-1) ,然后求出Tn和3?T(问题与题目的差距点,并想办法补上) i

i?1n

2n32n311 Tn= = ×= ×( - ) Sn2 (2-1)(2-1)22-12-1

所以, ?i?1n3Ti= 2?(i?1n113113 - ) = ( - 22-122-12-12-1评析:这题本身难度不高,但是第一步的难度较大,但是用上必要性思维和求差距思想,要想获得an通项,必须结合起来解答,全部的难点仅此而已。总体而言,全部的解题思维是惊人的趋于一致的。不信?看下道题:

,2,3,…. (07全国卷)已知数列?an?中a1?

2,an?1?1)(an?2),n?1

(Ⅰ)求?an?的通项公式;

(Ⅱ)若数列?bn?中b1?2,bn?1?3bn?4,2,3,…,

,n?12bn?3

,2,3,…. ?bn≤a4n?3,n?1

(07全国卷)解析:发现这题的做法思路完全和06年的一致,显然不能一步到位,还是先求出an

与某个数的关系式,题目告诉我们an?1?1)(an?2),说明差距体现在

个式子来决定我做题的方向: 1上,用这

解(Ⅰ)由题设:an?1?

1)(an?2)?1)(an?1)(2

?1)(an

an?1?1)an(.2

)

所以,数列an?

是首项为2

1的等比数列,

n2,3,…. 1)?1?an1)n,即a

n的通项公式为an??,n?1,?这道题难在第一步不知道如何去想,题目告诉我们的条件似乎比较棘手,但是用这种“追求差异”并想法弥补的思维定式去做,很容易就将题目解答出来了。对于高考,方法越简单越实用越好,尤其是第二步给出了个看似复杂的式子,我们没有必要花费过多的精力推导,直接用数学归纳法即可(过程略)。

评析:整体难度其实不大,但是看起来比较有难度。我们只要沿用这种求同存异的“补差”思想,还是非常容易做的,甚至连计算都不难。

看到这里,大家应该能用这种思维去做其他题了吧,我们日常遇见的题型虽然各有差异,其实总的做题思维真的没有太多差距,并且在解题步骤上也十分类同。大家不妨用这种思维去看看08的最后一题。

(08全国卷)设函数f(x)?x?xlnx.数列?an?满足0?a1?1,an?1?f(an).

(Ⅰ)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数;

(Ⅱ)证明:an?an?1?1;

(Ⅲ)设b?(a1,1),整数k≥a1?b.证明:ak?1?b. a1lnb

简要解析:看看08高考题型结合函数了,依旧用同一个思想,第一步,依旧是题目让干嘛就干嘛,求函数增减性,直接用定义,要证明,数学归纳法。

解:第一步(略),第二步证明,发现第一步函数的增减性可以直接利用,直接用数学归纳法。 第三步较为复杂,没关系,这题表面是数列,其实考察的是不等式,无论是哪类题型,其根本点还是从条件中寻求差异,要我们证明ak?1?b,给的条件是设b?(a1,1),整数k≥a1?b,依旧是以a1lnb

“必要性思维”来思考,要想获得ak?1?b这个结论,必须列出他们的表达,要想列出他们的表达,必须利用有这两个字母的条件,我们发现题目有f(x)?x?xlnx和an?1?f(an),然后就能轻松的

?b?a?b?alna得出结论:由f(x)?x?xlnx.an?1?f(an) ,a?a1?b?k?1kkk

了这里,几乎全部出来了。

1, 若存在某i≤k满足ai≤b,则由第二步可知:ak?1?b?ai?b≥0 ?alna到iii?1k

?b?a?b?alna2, 若对任意i≤k都有ai?b,则a k?1kkk

a?b?kalnb?a1?b??ailnai?a1?b??ailnb?a1?b?(?ai)lnb?11

i?1i?1i?1kkk

?0,即a?b成立. ?a?b?kalnb?a?b?(a?b)1111k?1

解析:这道题出的十分经典,即考察定义,又综合了多个知识点,同时式子看起来比较能够“吓唬”人,思维跳跃过程很大,但是计算本身并不复杂,这题失分率非常之高,第一步的过程就把很多学生难倒,这是不应该的,其实无论多难的数学题,解题的根本方法是从题目本身入手,题目让干嘛就干嘛,要我们做什么就自然而然的做,而不是看到题就联系知识点套用,那样只能做简单的题,对付这类灵活多变的综合题,我们要在做题过程中形成这种相对固定的解题思路,达到用一招就能化解多题,做一题,会百题的效果。

纵观近年数学考题,几乎都可以用这种思维拿下,当然这是站在数学的理解基础上,核心原则是以题做题,挖掘各类题型思维的共性,这样才能在数学考试上战无不胜,攻无不克。

09试题的题型虽然比较独特,但是看看能否用这种思维来作出这道题呢?我们看看:设函数

,0],x1?[1,2]. f?x??x3?3bx2?3cx在两个极值点x1、x2,且x1?[?1

(I)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出

满足这些条件的点?b,c?的区域;

(II)证明:?10?f?x2???1 2

解析:不管这道题的问法是什么,拿到题后还是先关注题目让

我们干什么。题目意图是让我们画出关于f(x)成立bc的条件范

围,我们什么都不要想,直接顺着题意来:

f??x??3x2?6bx?3c由题意知方程f??x??0有两个根x1、x2

且x1?[?1,0],x2?[1,2].则有f???1??0,f??0??0,f??1??0,f??2??0故有

这个不等式组全部转化为c的表达式,出来后就能通过坐标系画图,它们

围起来的区域就是所得的区域。之所以要求导,是因为导数=0时是极值点,

这个就是直接根据定义得来的,符合我们说的通解思维。(具体图不画了)

第(II)问很多考生就不会做了,因为有一定的区分度,更主要原因是含字母较

多,不易找到突破口。来看我们的思想原则:首先找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么,然后利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距,题目让我们干嘛就干嘛。本题让我们证明?10?f?x2???1,既然是要求x2,我们不妨想办法列出f(x2)的表达,从题目给的极值2

32和x2的取值范围,我们不妨根据定义对f?x2??x2?3bx2?3cx2求导,得出

f??x2??3x22?6bx2?3c?0,有了这个式子,我们看看还有什么条件没用上?转化一步,写成

12113cbx2??x2?c,那么直接消去b得,f?x2???x23?x2为什么要消去b呢?因为由第2222

一步大家画的区域可以知道b,c的取值范围,我们只有将f?x2?转为b或c的表达式,

才能得出

管卫东高考数学学习方法篇二:【管卫东】高考数学基础构架及练习

第一章 集合与简易逻辑

一、知识网络:

简易逻辑

命题

复合命题

逻辑联结词

互为逆否命题与等价命题

简单命题

互逆命题与互否命题

交集、并集、补集

集合的运算与运算率

集合的表示方法

集合

子集与真子集

描述法空集与全集

两集合相等

集合的概念

常用数集的符号

列举法集合元素的性质

真值表四种命题的形式及关系

充分条件????必要条件

二、考点链接:

1. (2007,广东文)已知集合M??x|1?x?0?,N?{x|

A.?x|?1?x?1? B. ?x|?1?x?1? C.?x|x?1? D. ?x|x??1? 2. (2007

,广东理)已知函数f(x)?

为N,则M?N?( )

A.?x|x??1? B. ?x|x?1? C.?x|?1?x?1?D. ? 3. (2007,山东)已知集合M???1,1?,N?{x|

1

1

?0},则M?N?( ) 1?x

M,g(x)?ln(1?x)的定义域1

?2x?1?4,x?Z},则M?N?( ) 2

A.??1,1? B. ??1? C.?0? D. ??1,0?

4. (2000,上海)设I是全集,非空集合P、Q满足P?Q?I. 若集合P、Q的一个集合运

算表达式,使运算结果为空集?. 则这个运算表达式可以是________.

2

5. 已知集合A?x|x?4mx?2m?6?0,x?R, 若A?R-??,求实数m的取

??

值范围.

第二章 函数

一、知识网络:

定义域

定义

对应法则值域

映射

函数

性质

奇偶性

对数的性质

单调性周期性

对数

反函数

互为反函数的函数图像关系

对数函数

对数函数的图像和性质

对数恒等式和不等式常用对数自然对数积、商、幂与根的对数

指数函数

区间

一元二次函数一元二次不等式

根式分数指数

指数方程对数方程

指数函数的图像和性质

2

二、考点链接:

1. (2007,广东文)若函数f(x)?x(x?R),则函数y?f(?x)在其定义域上是( )

A. 单调递减的偶函数 B. 单调递增的偶函数 C. 单调递减的奇函数 D. 单调递增的奇函数 2. (2007,广东理)若函数f(x)?sinx?

2

3

1

(x?R),则f(x)是( ) 2

A. 最小正周期为

?

的奇函数 B. 最小正周期为?的奇函数 2

C. 最小正周期为2?的偶函数D. 最小正周期为?的偶函数 3. 实数m在什么范围,方程x?2x?1?m有四个互不相同的实数根.

4. 定义域是R的函数f(x)在?3,???上是增函数,且f(0)?0,又知函数f(x?2)为奇

函数,求满足条件

2

f(x)

?0的x的取值范围. x

5. (2005,广东)设函数f(x)在

???,???

?x)?f(?2x,上满足f(2

f(7?x)?f(7?x),且在闭区间?0,7?上,只有f(1)?f(3)?0.

(1) 判断函数y?f(x)的奇偶性

(2) 求方程f(x)?0在闭区间??2005,2005?上的根的个数,并证明结论.

2

6.(2007,广东)已知a是实数,函数f(x)?2ax?2x?3?a. 如果函数y?f(x)在区间

??1,1?上有零点,求a的取值范围.

3

第三章 数列

一、知识网络:

定义项,通项

数列基础知识

数列表示法数列分类

数列

等差数列等比数列

特殊数列

定义通项公式前n项和公式性质

其他特殊数列求和

二、考点链接:

1. (2006,广东)已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则

公差等于_______.

2. (2006,全国)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1?a2?a3?15,若a1a2a3?80,

则a11?a12?a13?________.

3. (2005,全国)在

827

和之间插入3个数,使这5个数成等比数列,则插入的三个数32

的乘积为________.

4. (2002,广东)已知等差数列前三项为a、4、3a,前n项和为Sn,Sk?2550.

(1) 求a及k的值; (2) 求lim(

n??

111??…?). S1S2Sn

4

5. (2005,全国)设正项等比数列{an}的首项a1?

1

,前n项和为Sn,且2

210S30?(210?1)S20?S

(1) (2)

10

? 0

求{an}的通项; 求{nSn}的前n项和Tn.

6.(2006,广东)已知公比为q(0?q?1)的无穷等比数列{an}各项的和为9,无穷等比数列{a2n}各项的和为

81

. 5

(1) 求数列{an}的首项a1和公比q; (2) 对给定的k(k?1,2,3,…,n),设T

求数列T

(2)

(k)

是首项为ak,公差为2ak?1的等差数列.

的前n项和;

(i)

(3) 设bi为数列T

使得lim

的第i项,Sn?b1?b2?…?bn,求Sn,并求正整数m(m?1),

Sn

存在且不等于零.

n??nm

5

管卫东高考数学学习方法篇三:【管卫东】高考数学基础构架及练习(全)

第一章 集合与简易逻辑

一、知识网络:

简易逻辑

真值表

四种命题的形式及关系

逻辑联结词命题

复合命题

互为逆否命题与等价命题

简单命题

互逆命题与互否命题

交集、并集、补集

集合的运算与运算率

集合的表示方法

集合

子集与真子集

空集与全集

两集合相等

描述法

集合的概念

常用数集的符号

列举法集合元素的性质

充分条件????必要条件

二、考点链接:

1. (2007,广东文)已知集合M??x|1?x?0?,N?{x|

A.?x|?1?x?1? B. ?x|?1?x?1? C.?x|x?1? D. ?x|x??1? 2. (2007

,广东理)已知函数f(x)?

为N,则M?N?( )

A.?x|x??1? B. ?x|x?1? C.?x|?1?x?1?D. ? 3. (2007,山东)已知集合M???1,1?,N?{x|

1

11?x

?0},则M?N?( )

M,g(x)?ln(1?x)的定义域

12

?2

x?1

?4,x?Z},则M?N?( )

A.??1,1? B. ??1? C.?0? D. ??1,0?

4. (2000,上海)设I是全集,非空集合P、Q满足P?Q?I. 若集合P、Q的一个集合运

算表达式,使运算结果为空集?. 则这个运算表达式可以是________.

5. 已知集合A??x|x2?4mx?2m?6?0,x?R?, 若A?R-??,求实数m的取

值范围.

第二章 函数

一、知识网络:

定义域

定义

对应法则值域

区间

一元二次函数一元二次不等式

指数函数

根式分数指数

映射

函数

性质

指数函数的图像和性质

指数方程对数方程

奇偶性

对数的性质

单调性

积、商、幂与

周期性

对数

反函数

互为反函数的函数图像关系

对数恒等式

对数函数

对数函数的图像和性质

常用对数自然对数和不等式根的对数

2

二、考点链接:

1. (2007,广东文)若函数f(x)?x3(x?R),则函数y?f(?x)在其定义域上是( )

A. 单调递减的偶函数 B. 单调递增的偶函数 C. 单调递减的奇函数 D. 单调递增的奇函数 2. (2007,广东理)若函数f(x)?sinx?

2

12

(x?R),则f(x)是( )

A. 最小正周期为

?2

的奇函数 B. 最小正周期为?的奇函数

C. 最小正周期为2?的偶函数D. 最小正周期为?的偶函数 3. 实数m在什么范围,方程x?2x?1?m有四个互不相同的实数根.

4. 定义域是R的函数f(x)在?3,???上是增函数,且f(0)?0,又知函数f(x?2)为奇

函数,求满足条件

f(x)x

?0的x的取值范围.

2

5. (2005,广东)设函数f(x)在

???,???

上满足f(2?x)?f(?2x,

f(7?x)?f(7?x),且在闭区间?0,7?上,只有f(1)?f(3)?0.

(1) 判断函数y?f(x)的奇偶性

(2) 求方程f(x)?0在闭区间??2005,2005?上的根的个数,并证明结论.

3

6. (2007,广东)已知a是实数,函数f(x)?2ax2?2x?3?a. 如果函数y?f(x)在区

间??1,1?上有零点,求a的取值范围.

第三章 数列

一、知识网络:

4

定义项,通项

数列基础知识

数列表示法数列分类

定义

等差数列等比数列

特殊数列

通项公式前n项和公式性质

数列

其他特殊数列求和

二、考点链接:

1. (2006,广东)已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则

公差等于_______.

2. (2006,全国)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1?a2?a3?15,若a1a2a?80,3

则a11?a12?a13?________.

3. (2005,全国)在

83

272

之间插入3个数,使这5个数成等比数列,则插入的三个数

的乘积为________.

4. (2002,广东)已知等差数列前三项为a、4、3a,前n项和为Sn,Sk?2550.

(1) 求a及k的值; (2) 求lim(

n??

1S1

?

1S2

?…?

1Sn

).

5. (2006,广东)已知公比为q(0?q?1)的无穷等比数列{an}各项的和为9,无穷等比

2

数列{an}各项的和为

815

.

(1) 求数列{an}的首项a1和公比q;

(2) 对给定的k(k?1,2,3,…,n),设T(k)是首项为ak,公差为2ak?1的等差数列.

求数列T(2)的前n项和;

(3) 设bi为数列T(i)的第i项,Sn?b1?b2?…?bn,求Sn,并求正整数m(m?1),

使得lim

n??

Snn

m

存在且不等于零.

5

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