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第1课时 单调性与最大(小)值

发布时间:2021-09-22 07:07:43 影响了:

 § §2.2

 函数的基本性质 求 考试要求

 1. 借助函数图 像 ,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义. 2. 了解函数奇偶性的含义.3. 结合三角函数,了解函数的周期性、对称性及其几何意义.

  1. . 函数的单调性 (1) 单调函数的定义

 增函数 减函数

 定义 数 在函数 f (x) 的定义域内的一个区间 间 A 上,如果对于任意两数 x 1 ,x 2 ∈ ∈A

 当 当 x 1 <x 2 时,都有f (x 1 )<f (x 2 ) ,那么,就称函数f (x) 在区间 A上是增加的 当 当 x 1 <x 2 时,都有f (x 1 )>f (x 2 ) ,那么,就称函数f (x) 在区间 A 上 上是减少的 图像描述

 自左向右看图

 像是 上升的 自左向右看图像是 下降的

 (2) 单调区间的定义 数 如果函数 y =f (x) 在区间 A 上是 增加的 或是 减少的称 ,那么就称 A 为单调区间. 2. . 函数的最值 前提 数 函数 y =f (x) 的定义域为 D 条件 (1) 存在 x 0 ∈ ∈D, ,得 使得 f (x 0 ) =M; ; (2) 对于任意x ∈D ,都有f (x) ≤M. (3) 存在 x 0 ∈ ∈D, ,得 使得 f (x 0 ) =M; ; (4) 对于任意x ∈D ,都有f (x) ≥M. 结论 M 为最大值 M 为最小值

 3. . 奇函数、偶函数的概念 图像关于 原点 对称的函数叫作奇函数. 于 图像关于 y 轴 轴 对称的函数叫作偶函数. 4. 周期性 (1) 周期函数:对于函数 y =f(x) ,如果存在数 一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的有 任何值时,都有 f(x +T) =f(x) ,那么就称数 函数 y =f(x) 为周期函数,非零函数 T 为这个函数的周期. (2) 最小正周期:如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个 最小 的正数,那么这个最小正数 就叫作 作 f(x) 的最小正周期. 考 微思考 1 .函数 y =f(x) 满足意 任意 x 1 , ,x 2 ∈ ∈D, ,x 1 ≠ ≠x 2 ,f? ?x 1 ? ? -f? ?x 2 ? ?x 1 - -x 2>0(<0) ,能否判断 f(x) 在区间 D上的单调性? 提示

 能,f? ?x 1 ? ? -f? ?x 2 ? ?x 1 - -x 2>0(<0) ⇔f(x)在 在 D 上 上是增加的(减 减 少的) . 2 .奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的? 提示

 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

 题组一

 思考辨析 1 .判断下列结论是否正确( 请在括号中打“√” 或 “×”) (1) 函数 y= = 1x 的 递减区间是(- - ∞, ,0) ∪(0, ,+∞ ∞) .(

 ×

 ) (2) 若函数 f(x) 为奇函数,则 f(0)= =0.(

 ×

 ) (3)若 若 y =f(x) 在区间 D 上 上 是 增 加的 ,则函数 数 y =kf(x)(k<0), ,y= =1f? ?x? ? 间在区间 D 上 上 是 减少的. .(

 ×

 ) (4) 若函数 f(x) 满足 f(4 -x) =f(x) ,则 f(x)的图 像于 关于 x =2 对称.(

 √

 ) 题组二

 教材改编 2 .下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是(

 ) A .f(x) =x -1

 B .f(x) =x 2 + +x C .f(x) =2 x - -2- x

  D .f(x) =2 x + +2- x

 【答案】C 【解析】f(x) =x -1 为非奇非偶函数,f(x)= =x 2 + +x 为非奇非偶函数,f(x) =2 x + +2- x为偶函数. 3 .函数 y= =xx -1 在区间[2,3] 上的最大值是________ . 【答案】2

 【解析】数 函数 y= =xx -1 ==1+ +1x -1 在在[2,3]上为减函数, 当 当 x =2 时,y= =xx -1 取得最大值22 -1 ==2. 4. 设奇函数 f(x) 的定义域为[ -5,5] ,若当x ∈[0,5] 时,f(x) 的图 像 如图所示,则不等式 式 f(x)<0 的解集为________ .

 【答案】( -2,0) ∪(2,5] 】

 【解析】

 由图 像当 可知,当 0<x<2 , 时,f(x)>0; ;当 当 2<x ≤5 时,f(x)<0 ,又 f(x) 是奇函数,∴ 当-2<x<0 时,f(x)<0 ,当-5 ≤x< -2时,f(x)>0. 综上,f(x)<0 的解集为( -2,0) ∪(2,5] . 题组三

 易错自纠 5 .函数 f(x) =(x +1)x -1x +1 是是________函数.(填 填 “ 奇 ”“ 偶 ” 或 “ 非奇非偶” ”) 【答案】

 非奇非偶 【解析】f(x) 的定义域为(- - ∞ ,-1) ∪[1, ,+∞ ∞) 不关于原点对称. 故 故 f(x) 为非奇非偶函数.

 6 .函数 y =f(x) 是定义在[ -2,2] 上的减函且 数,且 f(a +1)<f(2a) ,则实数 a 的取值范围是________ . 【答案】[ -1,1) 【解析】

 由条件知? ?? ?? ?? ?? ? - -2 ≤a +1 ≤2, ,- -2 ≤2a ≤2, ,a +1>2a, , 解得-1 ≤a<1.

  第 第 1 课时

 单调性与最大( 小) 值 题型一 确定函数的单调性

 点 命题点 1

 求具体函数的单调区间 例 例 1

 (1) 函数 y= =12log ( -x 2 + +x +6)的 的 递增区间为(

 ) A. ? ?? ?? ?? ?12 ,,3

 B. ? ?? ?? ?? ?- -2, , 12 C .( -2,3)

 D. ? ?? ?? ?? ?12 ,+∞ ∞ 【答案】A 【解析】

 由-x 2 + +x +6>0 ,得-2<x<3, ,故函数的定义域为( -2,3) ,令 t =-x 2 + +x+ +6 ,则 y= =12log t ,易知其为减函数,由复合函数的单调性法则可知本题等价于数 求函数 t =-x 2 + +x +6 在( -2,3) 上的 递减得 区间.利用二次函数的性质可得 t =-x 2+ +x +6 在定义域( -2,3) 上的 递减区间为? ?? ?? ?? ?12 ,,3 ,故选 A.

 (2) 设函数 f(x)= =? ?? ?? ?? ?? ? 1 ,x>0, ,0 ,x =0, ,- -1 ,x<0, ,g(x)= =x 2 f(x -1) ,则函数 g(x)的 的 递减区间是__________ . 【答案】[0,1) 【解析】知 由题意知 g(x)= =? ?? ?? ?? ?? ? x 2 , ,x>1, ,0 ,x =1, ,- -x 2 , ,x<1, ,该函数图像如图所示,其 递减区间是[0,1) .

 点 命题点 2

 判断或证明函数的单调性 例 例 2

 试讨论函数 f(x)= =axx -1 (a ≠0) 在(- -1,1) 上的单调性. 【答案】

 【解析】

 方法一

 设-1<x 1 <x 2 <1 , f(x) =a ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?x -1 +1x -1= =a ? ?? ?? ?? ?1+ +1x -1, , f(x 1 ) -f(x 2 ) =a ? ?? ?? ?? ?1+ +1x 1 - -1- -a ? ?? ?? ?? ?1+ +1x 2 - -1

 =a? ?x 2 - -x 1 ? ?? ?x 1 - -1? ?? ?x 2 - -1? ? ,, 由于-1<x 1 <x 2 <1 , 以 所以 x 2 - -x 1 >0 ,x 1 - -1<0 ,x 2 - -1<0 , 当 故当 a>0 , 时,f(x 1 ) -f(x 2 )>0 ,即 f(x 1 )>f(x 2 ), ,数 函数 f(x) 在( -1,1) 上是 减 少的; ; 当 当 a<0 时,f(x 1 ) -f(x 2 )<0 , 即 即 f(x 1 )<f(x 2 ) ,函数 f(x) 在( -1,1)上 上 是 增 加的. . 方法二

 f ′(x)= =? ?ax? ? ′? ?x -1? ? -ax? ?x -1? ?′ ′? ?x -1? ? 2 = a? ?x -1? ? -ax? ?x -1? ? 2=-a? ?x -1? ? 2 . 当 当 a>0 时,f ′(x)<0 ,函数 f(x) 在( -1,1)上 是减少的; ; 当 当 a<0 时,f ′(x)>0 ,函数 f(x) 在( -1,1)上 是增加的. . 思维升华

 确定函数单调性的四种方法 (1) 定义法:利用定义判断. (2) 导数法:适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数. (3)图 图 像 象法:由图 像 确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图 像 象不连续的单调区间要分开写,用 “ 和 ” 或 “ , ” 连接,不能用 “ ∪ ” 连接.

 (4) 性质法:利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数 “ 同增异减 ” 的原则时,需先确定简单函数的单调性. 练 跟踪训练 1

 (1) 函数 f(x) =|x -2|x 的 的 递减区间是________ . 【答案】[1,2]

 【解析】f(x)= =? ? ? ?? ?? ?? ? x 2 - -2x ,x ≥2, ,- -x 2 + +2x ,x<2.

  出 画出 f(x) 的大致图像 像( 如图所示) , 知 由图知 f(x)的 的 递减区间是[1,2] .

 (2) 已知 a>0 ,函数 f(x) =x+ + ax (x>0) ,证明:数 函数 f(x) 在(0, , a]上 上 是 减 少的 ,在[ a, ,+∞ ∞)上 上 是增加的. . 证明

 方法一

 ( 定义法)设 设 x 1 >x 2 >0 , f(x 1 ) -f(x 2 ) =x 1 +ax 1 --x 2 -ax 2

 = =(x 1 - -x 2 )+ + a? ?x2 - -x 1 ? ?x 1 x 2 = ? ?x1 - -x 2 ? ?? ?x 1 x 2 - -a? ?x 1 x 2, ,

 ∵ ∵x 1 >x 2 >0, ,∴ ∴x 1 - -x 2 >0 ,x 1 x 2 >0 , 当 当 x 1 , ,x 2 ∈ ∈(0, , a] 时,0<x 1 x 2 <a, ,∴ ∴x 1 x 2- -a<0 , ∴ ∴f(x 1 ) -f(x 2 )<0 ,f(x 1 )<f(x 2 ) , ∴ ∴f(x) 在(0, , a]上 上 是 减 少的; ; 当 当 x 1 , ,x 2 ∈ ∈[ a ,+∞ ∞) 时,x 1 x 2 >a , ∴ ∴x 1 x 2 - -a>0, ,∴ ∴f(x 1 ) -f(x 2 )>0 , ∴ ∴f(x 1 )>f(x 2 ) , ∴ ∴f(x) 在[ a ,+∞ ∞)上 上 是 增 加的. . 方法二

 ( 导数法)f ′(x) =1- -ax 2 = x2 --ax 2(x>0) , 令 令 f ′(x)>0 ⇒x 2 - -a>0 ⇒x> a , 令 令 f ′(x)<0 ⇒x 2 - -a<0 ⇒0<x< a , ∴ ∴f(x) 在(0, , a]上 上 是 减 少的 ,在[ a ,+∞ ∞)上 上 是 增 加的. .

 题型二 函数单调性的应用

 点 命题点 1

 比较函数值的大小 例 例 3

 (1)设 设 f(x) 是定义域为 R 的偶函数,且在(0 ,+∞ ∞)上 上 是 减 少的 ,则(

 ) A. .2 33 2321l 2 og4f f f? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ??? ?? ???

 B. .2 33 2321log42 f f f? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? C. .3233212 log42 f f f? ? ? ?? ?? ??? ?? ?? ? ? ??? ??? D. .3322312 log42 f f f? ? ? ?? ?? ??? ?? ?? ? ? ??? ??? 【答案】C 【解析】f(x) 为偶函数且在(0 ,+∞ ∞)上 上 是减 少的, , f

 ? ?? ?? ?? ?log 3 14= =f( -log 3 4) =f(log 3 4) , 又 又 log 3 4>1,0<322?<232?<1 , ∴ ∴f(log 3 4)<33222 2 , f f? ? ? ? ??? ????? ??? 即22332 2 , f f? ? ? ? ??? ????? ???>f ? ?? ?? ?? ?log 3 14. (2)(2020· 全国Ⅰ Ⅰ)若 若 2 a + +log 2 a =4 b +2log 4 b ,则(

 ) A .a>2b

 B .a<2b

 C .a>b 2

  D .a<b 2

 【答案】B 【解析】

 由指数和对数的运算性质可得 2 a + +log 2 a =4 b + +2log 4 b =2 2b + +log 2 b. 令 令 f(x) =2 x + +log 2 x ,

 则 则 f(x) 在(0 ,+∞ ∞)上 上 是 增 加的, , 又∵ ∵2 2b + +log 2 b<2 2b + +log 2 b +1 =2 2b +log 2 2b , ∴ ∴2 a + +log 2 a<2 2b + +log 2 2b , 即 即 f(a)<f(2b), ,∴ ∴a<2b. [ 高考改编题]

 已知 2 a + +log 2 a>4 b + +2log 4 b+ +1 ,则(

 ) A .a>2b

 B .a<2b C .a<b 2

  D .a>b 2

 【答案】A 【解析】4 b + +2log 4 b +1 =2 2b +222log b +1 =2 2b + +log 2 b +1 =2 2b + +log 2 2b , ∴ ∴2 a + +log 2 a>2 2b + +log 2 2b , ∵数 函数 f(x) =2 x + +log 2 x 在(0 ,+∞ ∞) 上为增函数, ∴ ∴a>2b. 点 命题点 2

 求函数的最值 例 例 4

 (2020· 深圳模拟) 函数 y= =x 2 + +4x 2 + +5的最大值为________ . 【答案】

 25

 【解析】

 令 x 2 + +4 =t ,则 t ≥2 , ∴ ∴x 2 = =t 2 - -4, ,∴ ∴y= =tt 2 + +1 =1t+ + 1t, ,

 设 设 h(t) =t+ + 1t 则,则 h(t) 在[2 ,+∞ ∞) 上为增函数, ∴ ∴h(t) min = =h(2)= = 52 ,∴ ∴y≤ ≤ 152= 25 (x =0 时取等号) . 即 即 y 的最大值为 25 . 点 命题点 3

 解函数不等式 例 例 5

 已知函数 f(x)= = ? ?? ?? ?? ?13x --log 2 (x +2), ,若 若 f(a -2)>3 ,则 a 的取值范围是________ . 【答案】(0,1) 【解析】由 由 f(x)= = ? ?? ?? ?? ?13x --log 2 (x +2) 知, f(x) 在定义域( -2 ,+∞ ∞) 上是减函数,且f( -1) =3 , 由 由 f(a -2)>3 ,得 f(a -2)>f( -1) , 即-2<a -2< -1 ,即 0<a<1. 点 命题点 4

 求参数的取值范围 例 例 6

 如果函数 f(x)= =? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?2 -a? ?x +1 ,x<1, ,a x , ,x ≥1意 满足对任意 x 1 ≠ ≠x 2 ,都有 f? ?x1 ? ? -f? ?x 2 ? ?x 1 - -x 2>0 成立,那么实数 a 的取

 值范围是(

 ) A .(0,2)

 B .(1,2) C .(1 ,+∞ ∞)

 D. ? ?? ?? ?? ?32 ,,2 【答案】D 【解析】意 因为对任意 x 1 ≠ ≠x 2 ,都有f? ?x 1 ? ? -f? ?x 2 ? ?x 1 - -x 2>0 , 以 所以 y =f(x)在 在 R 上是增函数. 所以? ?? ?? ?? ?? ? 2 -a>0, ,a>1, ,? ?2 -a? ? ×1 +1 ≤a, ,解得 32 ≤≤a<2. 数 故实数 a 的取值范围是 ? ?? ?? ?? ?32 ,,2 . 思维升华

 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1) 比较大小. (2) 求最值. (3) 解不等式.利用函数的单调性将 “f” ”符号去掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域. (4) 利用单调性求参数. ① 依据函数的图 像 或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较. ② 需注意若函数在区间[a ,b] 上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也单调.

 ③ 分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. 练 跟踪训练 2

 (1) 已知函数 f(x) 的图 像 关于线 直线 x =1 对称,当 x 1 ≠ ≠x 2 且 且 x 1 , ,x 2 ∈ ∈(1, ,+∞ ∞) 时,[f(x 2 ) -f(x 1 )]·(x 2 - -x 1 )<0 恒成立,设 设 a =f ? ?? ?? ?? ?- 12, ,b =f(2) ,c =f(e) ,则 a ,b, ,c 的大小关系为(

 ) A .c>a>b

 B .c>b>a C .a>c>b

 D .b>a>c 【答案】D 【解析】意 依题意 f(x) 在(1 ,+∞ ∞)上 上 是 减 少的 ,在(- - ∞, ,1)上 上 是 增 加的, , 且 且 f(x) 关于 x =1 对称, ∴ ∴a =f ? ?? ?? ?? ?- 12= =f

 ? ?? ?? ?? ?52, , ∴ ∴f(e)<f

 ? ?? ?? ?? ?52<f(2) , 即 即 c<a<b. (2) 已知函数 f(x)= =? ? ? ?? ?? ?? ? x 3 , ,x ≤0, ,ln? ?x +1? ? ,x>0, ,若f(2 -x 2 )>f(x) ,则实数 x 的取值范围是________ . 【答案】( -2,1) 【解析】数 根据函数 f(x) 的图像 像( 图略) 可知,f(x) 是定义在 R 上的增函数.∴ ∴2 -x 2 >x, ,∴- -2<x<1.

 (3) 已知函数 f(x) =e |x- a| (a 为常数) ,若 f(x)在区间[1 ,+∞ ∞) 上是增函数,则 a 的取值范围是________ . 【答案】(- - ∞, ,1] 【解析】令 令 t =|x -a|, ,∴ ∴y =e t , , t =|x -a| 在(- - ∞, ,a]上 上 是 减 少的 ,在[a, ,+∞ ∞)上 上 是 增 加的, , 又 又 y =e t 为增函数, ∴ ∴f(x) =e |x- a| 在在(- - ∞, ,a]上 上 是减少的 ,在[a ,+∞ ∞)上 上 是增加的 ,∴ ∴a ≤1.

 ...

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