第1课时　单调性与最大(小)值

　§ §2.2

　函数的基本性质 求 考试要求

　1. 借助函数图 像 ，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2. 了解函数奇偶性的含义.3. 结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．

　 1． ． 函数的单调性 (1) 单调函数的定义

　增函数 减函数

　定义 数 在函数 f (x) 的定义域内的一个区间 间 A 上，如果对于任意两数 x 1 ，x 2 ∈ ∈A

　当 当 x 1 <x 2 时，都有f (x 1 )<f (x 2 ) ，那么，就称函数f (x) 在区间 A上是增加的 当 当 x 1 <x 2 时，都有f (x 1 )>f (x 2 ) ，那么，就称函数f (x) 在区间 A 上 上是减少的 图像描述

　自左向右看图

　像是 上升的 自左向右看图像是 下降的

　(2) 单调区间的定义 数 如果函数 y ＝f (x) 在区间 A 上是 增加的 或是 减少的称 ，那么就称 A 为单调区间． 2． ． 函数的最值 前提 数 函数 y ＝f (x) 的定义域为 D 条件 (1) 存在 x 0 ∈ ∈D， ，得 使得 f (x 0 ) ＝M； ； (2) 对于任意x ∈D ，都有f (x) ≤M. (3) 存在 x 0 ∈ ∈D， ，得 使得 f (x 0 ) ＝M； ； (4) 对于任意x ∈D ，都有f (x) ≥M. 结论 M 为最大值 M 为最小值

　3． ． 奇函数、偶函数的概念 图像关于 原点 对称的函数叫作奇函数． 于 图像关于 y 轴 轴 对称的函数叫作偶函数． 4. 周期性 (1) 周期函数：对于函数 y ＝f(x) ，如果存在数 一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的有 任何值时，都有 f(x ＋T) ＝f(x) ，那么就称数 函数 y ＝f(x) 为周期函数，非零函数 T 为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这个最小正数 就叫作 作 f(x) 的最小正周期． 考 微思考 1 ．函数 y ＝f(x) 满足意 任意 x 1 ， ，x 2 ∈ ∈D， ，x 1 ≠ ≠x 2 ，f? ?x 1 ? ? －f? ?x 2 ? ?x 1 － －x 2>0(<0) ，能否判断 f(x) 在区间 D上的单调性？ 提示

　能，f? ?x 1 ? ? －f? ?x 2 ? ?x 1 － －x 2>0(<0) ⇔f(x)在 在 D 上 上是增加的(减 减 少的) ． 2 ．奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？ 提示

　奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

　题组一

　思考辨析 1 ．判断下列结论是否正确( 请在括号中打“√” 或 “×”) (1) 函数 y＝ ＝ 1x 的 递减区间是(－ － ∞， ，0) ∪(0， ，＋∞ ∞) ．(

　×

　) (2) 若函数 f(x) 为奇函数，则 f(0)＝ ＝0.(

　×

　) (3)若 若 y ＝f(x) 在区间 D 上 上 是 增 加的 ，则函数 数 y ＝kf(x)(k<0)， ，y＝ ＝1f? ?x? ? 间在区间 D 上 上 是 减少的． ．(

　×

　) (4) 若函数 f(x) 满足 f(4 －x) ＝f(x) ，则 f(x)的图 像于 关于 x ＝2 对称．(

　√

　) 题组二

　教材改编 2 ．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是(

　) A ．f(x) ＝x －1

　B ．f(x) ＝x 2 ＋ ＋x C ．f(x) ＝2 x － －2－ x

　 D ．f(x) ＝2 x ＋ ＋2－ x

　【答案】C 【解析】f(x) ＝x －1 为非奇非偶函数，f(x)＝ ＝x 2 ＋ ＋x 为非奇非偶函数，f(x) ＝2 x ＋ ＋2－ x为偶函数． 3 ．函数 y＝ ＝xx －1 在区间[2,3] 上的最大值是________ ． 【答案】2

　【解析】数 函数 y＝ ＝xx －1 ＝＝1＋ ＋1x －1 在在[2,3]上为减函数， 当 当 x ＝2 时，y＝ ＝xx －1 取得最大值22 －1 ＝＝2. 4. 设奇函数 f(x) 的定义域为[ －5,5] ，若当x ∈[0,5] 时，f(x) 的图 像 如图所示，则不等式 式 f(x)<0 的解集为________ ．

　【答案】( －2,0) ∪(2,5] 】

　【解析】

　由图 像当 可知，当 0<x<2 ， 时，f(x)>0； ；当 当 2<x ≤5 时，f(x)<0 ，又 f(x) 是奇函数，∴ 当－2<x<0 时，f(x)<0 ，当－5 ≤x< －2时，f(x)>0. 综上，f(x)<0 的解集为( －2,0) ∪(2,5] ． 题组三

　易错自纠 5 ．函数 f(x) ＝(x ＋1)x －1x ＋1 是是________函数．(填 填 “ 奇 ”“ 偶 ” 或 “ 非奇非偶” ”) 【答案】

　非奇非偶 【解析】f(x) 的定义域为(－ － ∞ ，－1) ∪[1， ，＋∞ ∞) 不关于原点对称． 故 故 f(x) 为非奇非偶函数．

　6 ．函数 y ＝f(x) 是定义在[ －2,2] 上的减函且 数，且 f(a ＋1)<f(2a) ，则实数 a 的取值范围是________ ． 【答案】[ －1,1) 【解析】

　由条件知? ?? ?? ?? ?? ? － －2 ≤a ＋1 ≤2， ，－ －2 ≤2a ≤2， ，a ＋1>2a， ， 解得－1 ≤a<1.

　 第 第 1 课时

　单调性与最大( 小) 值 题型一 确定函数的单调性

　点 命题点 1

　求具体函数的单调区间 例 例 1

　(1) 函数 y＝ ＝12log ( －x 2 ＋ ＋x ＋6)的 的 递增区间为(

　) A. ? ?? ?? ?? ?12 ，，3

　B. ? ?? ?? ?? ?－ －2， ， 12 C ．( －2,3)

　D. ? ?? ?? ?? ?12 ，＋∞ ∞ 【答案】A 【解析】

　由－x 2 ＋ ＋x ＋6>0 ，得－2<x<3， ，故函数的定义域为( －2,3) ，令 t ＝－x 2 ＋ ＋x＋ ＋6 ，则 y＝ ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于数 求函数 t ＝－x 2 ＋ ＋x ＋6 在( －2,3) 上的 递减得 区间．利用二次函数的性质可得 t ＝－x 2＋ ＋x ＋6 在定义域( －2,3) 上的 递减区间为? ?? ?? ?? ?12 ，，3 ，故选 A.

　(2) 设函数 f(x)＝ ＝? ?? ?? ?? ?? ? 1 ，x>0， ，0 ，x ＝0， ，－ －1 ，x<0， ，g(x)＝ ＝x 2 f(x －1) ，则函数 g(x)的 的 递减区间是__________ ． 【答案】[0,1) 【解析】知 由题意知 g(x)＝ ＝? ?? ?? ?? ?? ? x 2 ， ，x>1， ，0 ，x ＝1， ，－ －x 2 ， ，x<1， ，该函数图像如图所示，其 递减区间是[0,1) ．

　点 命题点 2

　判断或证明函数的单调性 例 例 2

　试讨论函数 f(x)＝ ＝axx －1 (a ≠0) 在(－ －1,1) 上的单调性． 【答案】

　【解析】

　方法一

　设－1<x 1 <x 2 <1 ， f(x) ＝a ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?x －1 ＋1x －1＝ ＝a ? ?? ?? ?? ?1＋ ＋1x －1， ， f(x 1 ) －f(x 2 ) ＝a ? ?? ?? ?? ?1＋ ＋1x 1 － －1－ －a ? ?? ?? ?? ?1＋ ＋1x 2 － －1

　＝a? ?x 2 － －x 1 ? ?? ?x 1 － －1? ?? ?x 2 － －1? ? ，， 由于－1<x 1 <x 2 <1 ， 以 所以 x 2 － －x 1 >0 ，x 1 － －1<0 ，x 2 － －1<0 ， 当 故当 a>0 ， 时，f(x 1 ) －f(x 2 )>0 ，即 f(x 1 )>f(x 2 )， ，数 函数 f(x) 在( －1,1) 上是 减 少的； ； 当 当 a<0 时，f(x 1 ) －f(x 2 )<0 ， 即 即 f(x 1 )<f(x 2 ) ，函数 f(x) 在( －1,1)上 上 是 增 加的． ． 方法二

　f ′(x)＝ ＝? ?ax? ? ′? ?x －1? ? －ax? ?x －1? ?′ ′? ?x －1? ? 2 ＝ a? ?x －1? ? －ax? ?x －1? ? 2＝－a? ?x －1? ? 2 . 当 当 a>0 时，f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在( －1,1)上 是减少的； ； 当 当 a<0 时，f ′(x)>0 ，函数 f(x) 在( －1,1)上 是增加的． ． 思维升华

　确定函数单调性的四种方法 (1) 定义法：利用定义判断． (2) 导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图 图 像 象法：由图 像 确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图 像 象不连续的单调区间要分开写，用 “ 和 ” 或 “ ， ” 连接，不能用 “ ∪ ” 连接．

　(4) 性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数 “ 同增异减 ” 的原则时，需先确定简单函数的单调性． 练 跟踪训练 1

　(1) 函数 f(x) ＝|x －2|x 的 的 递减区间是________ ． 【答案】[1,2]

　【解析】f(x)＝ ＝? ? ? ?? ?? ?? ? x 2 － －2x ，x ≥2， ，－ －x 2 ＋ ＋2x ，x<2.

　 出 画出 f(x) 的大致图像 像( 如图所示) ， 知 由图知 f(x)的 的 递减区间是[1,2] ．

　(2) 已知 a>0 ，函数 f(x) ＝x＋ ＋ ax (x>0) ，证明：数 函数 f(x) 在(0， ， a]上 上 是 减 少的 ，在[ a， ，＋∞ ∞)上 上 是增加的． ． 证明

　方法一

　( 定义法)设 设 x 1 >x 2 >0 ， f(x 1 ) －f(x 2 ) ＝x 1 ＋ax 1 －－x 2 －ax 2

　＝ ＝(x 1 － －x 2 )＋ ＋ a? ?x2 － －x 1 ? ?x 1 x 2 ＝ ? ?x1 － －x 2 ? ?? ?x 1 x 2 － －a? ?x 1 x 2， ，

　∵ ∵x 1 >x 2 >0， ，∴ ∴x 1 － －x 2 >0 ，x 1 x 2 >0 ， 当 当 x 1 ， ，x 2 ∈ ∈(0， ， a] 时，0<x 1 x 2 <a， ，∴ ∴x 1 x 2－ －a<0 ， ∴ ∴f(x 1 ) －f(x 2 )<0 ，f(x 1 )<f(x 2 ) ， ∴ ∴f(x) 在(0， ， a]上 上 是 减 少的； ； 当 当 x 1 ， ，x 2 ∈ ∈[ a ，＋∞ ∞) 时，x 1 x 2 >a ， ∴ ∴x 1 x 2 － －a>0， ，∴ ∴f(x 1 ) －f(x 2 )>0 ， ∴ ∴f(x 1 )>f(x 2 ) ， ∴ ∴f(x) 在[ a ，＋∞ ∞)上 上 是 增 加的． ． 方法二

　( 导数法)f ′(x) ＝1－ －ax 2 ＝ x2 －－ax 2(x>0) ， 令 令 f ′(x)>0 ⇒x 2 － －a>0 ⇒x> a ， 令 令 f ′(x)<0 ⇒x 2 － －a<0 ⇒0<x< a ， ∴ ∴f(x) 在(0， ， a]上 上 是 减 少的 ，在[ a ，＋∞ ∞)上 上 是 增 加的． ．

　题型二 函数单调性的应用

　点 命题点 1

　比较函数值的大小 例 例 3

　(1)设 设 f(x) 是定义域为 R 的偶函数，且在(0 ，＋∞ ∞)上 上 是 减 少的 ，则(

　) A． ．2 33 2321l 2 og4f f f? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ??? ?? ???

　B． ．2 33 2321log42 f f f? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? C． ．3233212 log42 f f f? ? ? ?? ?? ??? ?? ?? ? ? ??? ??? D． ．3322312 log42 f f f? ? ? ?? ?? ??? ?? ?? ? ? ??? ??? 【答案】C 【解析】f(x) 为偶函数且在(0 ，＋∞ ∞)上 上 是减 少的， ， f

　? ?? ?? ?? ?log 3 14＝ ＝f( －log 3 4) ＝f(log 3 4) ， 又 又 log 3 4>1,0<322?<232?<1 ， ∴ ∴f(log 3 4)<33222 2 , f f? ? ? ? ??? ????? ??? 即22332 2 , f f? ? ? ? ??? ????? ???>f ? ?? ?? ?? ?log 3 14. (2)(2020· 全国Ⅰ Ⅰ)若 若 2 a ＋ ＋log 2 a ＝4 b ＋2log 4 b ，则(

　) A ．a>2b

　B ．a<2b

　C ．a>b 2

　 D ．a<b 2

　【答案】B 【解析】

　由指数和对数的运算性质可得 2 a ＋ ＋log 2 a ＝4 b ＋ ＋2log 4 b ＝2 2b ＋ ＋log 2 b. 令 令 f(x) ＝2 x ＋ ＋log 2 x ，

　则 则 f(x) 在(0 ，＋∞ ∞)上 上 是 增 加的， ， 又∵ ∵2 2b ＋ ＋log 2 b<2 2b ＋ ＋log 2 b ＋1 ＝2 2b ＋log 2 2b ， ∴ ∴2 a ＋ ＋log 2 a<2 2b ＋ ＋log 2 2b ， 即 即 f(a)<f(2b)， ，∴ ∴a<2b. [ 高考改编题]

　已知 2 a ＋ ＋log 2 a>4 b ＋ ＋2log 4 b＋ ＋1 ，则(

　) A ．a>2b

　B ．a<2b C ．a<b 2

　 D ．a>b 2

　【答案】A 【解析】4 b ＋ ＋2log 4 b ＋1 ＝2 2b ＋222log b ＋1 ＝2 2b ＋ ＋log 2 b ＋1 ＝2 2b ＋ ＋log 2 2b ， ∴ ∴2 a ＋ ＋log 2 a>2 2b ＋ ＋log 2 2b ， ∵数 函数 f(x) ＝2 x ＋ ＋log 2 x 在(0 ，＋∞ ∞) 上为增函数， ∴ ∴a>2b. 点 命题点 2

　求函数的最值 例 例 4

　(2020· 深圳模拟) 函数 y＝ ＝x 2 ＋ ＋4x 2 ＋ ＋5的最大值为________ ． 【答案】

　25

　【解析】

　令 x 2 ＋ ＋4 ＝t ，则 t ≥2 ， ∴ ∴x 2 ＝ ＝t 2 － －4， ，∴ ∴y＝ ＝tt 2 ＋ ＋1 ＝1t＋ ＋ 1t， ，

　设 设 h(t) ＝t＋ ＋ 1t 则，则 h(t) 在[2 ，＋∞ ∞) 上为增函数， ∴ ∴h(t) min ＝ ＝h(2)＝ ＝ 52 ，∴ ∴y≤ ≤ 152＝ 25 (x ＝0 时取等号) ． 即 即 y 的最大值为 25 . 点 命题点 3

　解函数不等式 例 例 5

　已知函数 f(x)＝ ＝ ? ?? ?? ?? ?13x －－log 2 (x ＋2)， ，若 若 f(a －2)>3 ，则 a 的取值范围是________ ． 【答案】(0,1) 【解析】由 由 f(x)＝ ＝ ? ?? ?? ?? ?13x －－log 2 (x ＋2) 知， f(x) 在定义域( －2 ，＋∞ ∞) 上是减函数，且f( －1) ＝3 ， 由 由 f(a －2)>3 ，得 f(a －2)>f( －1) ， 即－2<a －2< －1 ，即 0<a<1. 点 命题点 4

　求参数的取值范围 例 例 6

　如果函数 f(x)＝ ＝? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?2 －a? ?x ＋1 ，x<1， ，a x ， ，x ≥1意 满足对任意 x 1 ≠ ≠x 2 ，都有 f? ?x1 ? ? －f? ?x 2 ? ?x 1 － －x 2>0 成立，那么实数 a 的取

　值范围是(

　) A ．(0,2)

　B ．(1,2) C ．(1 ，＋∞ ∞)

　D. ? ?? ?? ?? ?32 ，，2 【答案】D 【解析】意 因为对任意 x 1 ≠ ≠x 2 ，都有f? ?x 1 ? ? －f? ?x 2 ? ?x 1 － －x 2>0 ， 以 所以 y ＝f(x)在 在 R 上是增函数． 所以? ?? ?? ?? ?? ? 2 －a>0， ，a>1， ，? ?2 －a? ? ×1 ＋1 ≤a， ，解得 32 ≤≤a<2. 数 故实数 a 的取值范围是 ? ?? ?? ?? ?32 ，，2 . 思维升华

　函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1) 比较大小． (2) 求最值． (3) 解不等式．利用函数的单调性将 “f” ”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． (4) 利用单调性求参数． ① 依据函数的图 像 或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较． ② 需注意若函数在区间[a ，b] 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．

　③ 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 练 跟踪训练 2

　(1) 已知函数 f(x) 的图 像 关于线 直线 x ＝1 对称，当 x 1 ≠ ≠x 2 且 且 x 1 ， ，x 2 ∈ ∈(1， ，＋∞ ∞) 时，[f(x 2 ) －f(x 1 )]·(x 2 － －x 1 )<0 恒成立，设 设 a ＝f ? ?? ?? ?? ?－ 12， ，b ＝f(2) ，c ＝f(e) ，则 a ，b， ，c 的大小关系为(

　) A ．c>a>b

　B ．c>b>a C ．a>c>b

　D ．b>a>c 【答案】D 【解析】意 依题意 f(x) 在(1 ，＋∞ ∞)上 上 是 减 少的 ，在(－ － ∞， ，1)上 上 是 增 加的， ， 且 且 f(x) 关于 x ＝1 对称， ∴ ∴a ＝f ? ?? ?? ?? ?－ 12＝ ＝f

　? ?? ?? ?? ?52， ， ∴ ∴f(e)<f

　? ?? ?? ?? ?52<f(2) ， 即 即 c<a<b. (2) 已知函数 f(x)＝ ＝? ? ? ?? ?? ?? ? x 3 ， ，x ≤0， ，ln? ?x ＋1? ? ，x>0， ，若f(2 －x 2 )>f(x) ，则实数 x 的取值范围是________ ． 【答案】( －2,1) 【解析】数 根据函数 f(x) 的图像 像( 图略) 可知，f(x) 是定义在 R 上的增函数．∴ ∴2 －x 2 >x， ，∴－ －2<x<1.

　(3) 已知函数 f(x) ＝e |x－ a| (a 为常数) ，若 f(x)在区间[1 ，＋∞ ∞) 上是增函数，则 a 的取值范围是________ ． 【答案】(－ － ∞， ，1] 【解析】令 令 t ＝|x －a|， ，∴ ∴y ＝e t ， ， t ＝|x －a| 在(－ － ∞， ，a]上 上 是 减 少的 ，在[a， ，＋∞ ∞)上 上 是 增 加的， ， 又 又 y ＝e t 为增函数， ∴ ∴f(x) ＝e |x－ a| 在在(－ － ∞， ，a]上 上 是减少的 ，在[a ，＋∞ ∞)上 上 是增加的 ，∴ ∴a ≤1.

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